2022年三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三角形“ 四心” 向量形式的充要条件应用学问点总结1O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 1如 O 是 ABC 的重心,就 S BOC S AOC S AOB3 S ABC 故 OA OB OC 0 ;PG 1 3 PA PB PC G为 ABC的重心 . 2O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 如 O 是 ABC 非直角三角形 的垂心,就 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C故 tan A OA t

2、an B OB tan C OC 02 2 23O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | 或 OA OB OC 如 O 是 ABC 的外心就 S BOC：S AOC：S AOB sin BOC：sin AOC：sin AOB sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C故 sin 2 A OA sin 2 B OB sin 2 C OC 0AB AC BA BC CA CBOA OB OC 04O 是内心 ABC 的充要条件是 | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |引进单位向量,使条件变得更简洁；假如记 AB , BC ,

3、CA 的单位向量为 e 1 , e 2 , e 3,就刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成 OA e 1 e 3 OB e 1 e 2 OC e 2 e 3 0,O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 a OA b OB c OC 0；如 O 是 ABC 的内心,就 S BOC：S AOC：S AOB a：b：c故 a OA b OB c OC 0 或 sin A OA sin B OB sin C OC 0 ; A 1ee 2| AB PC | BC | PA | CA PB 0 P 是 ABC的内心 ; B C 向量 | ABAB | | ACAC | 0 所在直线过 ABC 的内

4、心 是 BAC 的角平分线所在 P 直线 ；范 例一将平面对量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的肯定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满意OPOAABAC,0 ,就 P 点的轨迹肯定通过ABC的（）ABAC（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：由于AB 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 ABe 和e2,又OPOAAP,就原式可化为APe 1e 2,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ,那么在ABC中, AP 平分BAC ,就知选B. 第 1 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

5、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二 将平面对量与三角形垂心结合考查“ 垂心定理”例 2H 是 ABC 所在平面内任一点,HA HB HB HC HC HA 点 H 是 ABC 的垂心 . 由 HA HB HB HC HB HC HA 0 HB AC 0 HB AC , 同理 HC AB,HA BC .故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）例 3.湖南 P 是 ABC 所在平面上一点,如 PA PB PB PC PC PA,就

6、P 是 ABC 的（ D）A外心 B内心 C重心 D垂心解析 :由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0 .即 PB PA PC 0 , 即 PB CA 0就 PB CA ,同理 PA BC , PC AB 所以 P 为 ABC的垂心 . 应选 D. 三 将平面对量与三角形重心结合考查“ 重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面内一点,GAGBGC=0点 G 是 ABC 的重心 . OCOD ,证明作图如右,图中GBGCGE连结 BE 和 CE,就 CE=GB , BE=GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点, AD 为 BC 边上的中线 . 将GBGCGE代入GAG

7、BGC=0,得GAEG=0GAGE2GD,故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）例 5P 是 ABC 所在平面内任一点.G 是 ABC 的重心PG1PAPBPC. 3证明PGPAAGPBBGPCCG3PGAGBGCGPAPBPC G 是 ABC 的重心GAGBGC=0AGBGCG=0,即3PGPAPBPC由此可得PG1PAPBPC.（反之亦然（证略） ）3例 6 如 O 为ABC 内一点,OAOBOC0,就 O 是ABC 的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由OAOBOC0得 OBOCOA ,如图以 OB、OC为相邻两边构作平行四边形,就OB由平行四边形性质知OE1OD,OA2O

8、E,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D；2四 将平面对量与三角形外心结合考查例 7 如 O 为ABC内一点,OAOBOC ,就 O 是ABC的（） 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - A内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等；故O是ABC的外心 ,选 B；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思五 将平面对量与三角形四心结合考查例 8已知向量OP ,1OP

9、2,OP 3满意条件OP + 1OP 2+OP 3=0,|OP |=| 1OP 2|=|OP 3|=1,|.求证 P1P2P3是正三角形 .（数学第一册（下） ,复习参考题五B 组第 6 题）证明由已知OP + 1OP2=-OP3,两边平方得OP 1OP 2=1,2同理OP 2OP 3=OP 3OP = 11 ,2|P 1P 2|=|P 2P 3|=|P 3P 1|=3 ,从而P1P2P3是正三角形 . 反之,如点O 是正三角形P1P2P3 的中心,就明显有OP + 1OP 2+OP 3=0 且|OP |=| 1OP2|=|OP 3即 O 是 ABC 所在平面内一点,OP + OP 2 + O

10、P 3 =0 且 | OP |=| OP 2 |=| OP 3 | 点 O 是正 P1P2P3的中心 . 例 9在 ABC 中,已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心；求证：Q、 G、 H 三点共线,且 QG:GH=1:2 ；【证明】：以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴,建立如下列图的直角坐标系；设 A0,0 、 B（ x 1,0 ）、 Cx 2,y 2 , D、 E、F分别为 AB、BC、AC的中点,就有：D（x1,0、Ex12x2,y2、Fx2,y2由题设可设Q（x1,y3、H x2,y4, F D G Cx 2,y2 22222y Gx13x2,y2AHx2,y4,Q

11、Fx2x1,y2y33222BC x2x1,y2H E AHBCA AHBCx2x2x1y y40x Q y4x2x22x1yBx1,0 QFACQFACx2x2x1y2y2y30222y3x2x22x1y22y2y2QHx2x1,y4y3（2x2x1,3x2x22x1y2222y2QGx23x1x1,y2y3（2x2x1,y2x2x22x123632y2y2 第 3 页,共 10 页 2x2x1,3x2x22x1y212x22x1,3x2x22x166y632y2 =1QH3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

12、 - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思即QH=3 QG,故Q、G、H三点共线,且QG：GH=1： 2 OAOBOC. 例 10如 O、H 分别是ABC 的外心和垂心 .求证OH证明如 ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图 . CHAB,连 BO 并延长交外接圆于D,连结 AD, CD. ADAB,CDBC.又垂心为H,AHBC, AH CD,CH AD,四边形 AHCD 为平行四边形,AHDCDOOC,故OHOAAHOAOBOC. 闻名的“ 欧拉定理” 讲的是锐角三角形的“ 三心” 外心、重心、垂心的

13、位置关系：（ 1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“ 欧拉线”；. 即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍；（ 2）三角形的重心在 “ 欧拉线”上,且为外垂连线的第一个三分点,“ 欧拉定理” 的向量形式显得特殊简洁,可简化成如下的向量问题. 求证OG1OH例 11设 O、G、 H 分别是锐角ABC 的外心、重心、垂心. 3证明按重心定理G 是 ABC 的重心OG1 OAOBOC3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1OH3补充练习1已知 A、B、 C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点P 满意+2 OC 可 得 P 不过重心,故OP =11 OA + 21OB+2O

14、C ,就点 P 肯定为三角形ABC 的（ B ）32A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点1.B取AB边 的 中 点M , 就OA2OB 2 OM, 由 OP = 1 1 OA + 1 OB3 2 2MC,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点3OP3 OM2MC,MP3AB2,就为选 B. 2在同一个平面上有ABC 及一点满意关系式：2 OABC2OB2CA2OC2ABC的（D ）外心内心C 重心D 垂心P 为ABC的2 已 知 ABC 的 三 个 顶 点A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点P 满 足 ：P AP BP

15、C0, 就（C ）外心内心C 重心D 垂心3已知 O是平面上一定点, A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满意：OPOAABAC,就 P的轨迹肯定通过ABC的（C ） 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 外心内心C 重心D 垂心4已知ABC ,P 为三角形所在平面上的动点,且动点P 满意：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思PA PC PA PB PB PC 0,就 P 点为三角形的（D ）

16、 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC , P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满意：a PA b PB c PC 0,就 P 点为三角形的（B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心2 26 在 三 角 形 ABC 中 , 动 点 P 满 足 ：CA CB 2 AB CP, 就 P 点 轨 迹 一 定 通 过 ABC 的 ：（B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量 AB 与 AC 满意 AB|AB | + AC|AC | BC=0 且AB|AB |AC AC | =1 2 , 就 ABC 为 A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

17、解析： 非零向量与满意 | ABAB | | ACAC | =0,即角 A 的平分线垂直于 BC,AB=AC,又 cosA| ABAB | | ACAC | = 12,A=,所以ABC 为等边三角形,选 D38. ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH m OA OB OC ,就实数 m = 19. 点 O是三角形 ABC所在平面内的一点,满意 OA OB OB OC OC OA,就点 O是 ABC的（ B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10. 如图 1,已知点 G是 ABC的重心,过 G作直线与 AB,

18、AC两边分别交于 M, N两点,且 AM xAB ,AN yAC ,就1 13；x y证 点 G是 ABC 的重心,知 GA GB GC O,得 AG AB AG AC AG O,有 AG 1 AB AC ；又 M, N, G三点共线（ A 不在直线 MN上）,3于是存在 ,使得 AG AM AN 且 1,有 AG xAB yAC =1 AB AC ,31得x y 1,于是得1x 1y 3；3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标： 1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简洁的三角形外形判定方法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,

19、共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合教学重点：敏捷应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1 已知 O是 ABC内的一点,如OA2OB2OC2,就 O是 ABC的ACABAC0,就A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2 在 ABC中,有命题ABACBC；ABBCCA0；如ABABC为

20、等腰三角形；如ABAC0,就 ABC为锐角三角形,上述命题中正确选项A、 B、 C、 D、2、学问回忆 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简洁的三角形外形判定方法 2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例 1、已知ABC中,有ABaACBC0和ABAC1, 试判定ABC的外形；2练习 1、已知ABC中,ABACABACab0,试判定ABC的外形；AB,BCb,B 是 ABC中的最大角,如4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 O是 ABC所在平面内的一点, 满意OA2BC2OB2AC2OC2AB2,就 O是 ABC

21、的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例 3、已知 P 是 ABC所在平面内的一动点,且点P 满意OPOAABAC,AB0 ,就动点 P肯定过ABAC ABC的OPOA1 BC 2,0,A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习 2、已知 O为平面内一点, A、B、C平面上不共线的三点,动点 P 满意就动点 P 的轨迹肯定通过ABC的 第 6 页,共 10 页 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料

22、 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 4、已知 O是 ABC所在平面内的一点,动点 P 满意OPOAABBAC,0 ,就动ABcosACcos C点 P 肯定过ABC的、内心点P满足A、重心 B、垂心 C、外心 D练习3、已知O是ABC所在平面内的一点,动OPOB2OCABBAC,0,就动点 P 肯定过ABC的AC,求证：ABcosACcos C、内心A、重心 B、垂心 C、外心 Dy例 5、已知点 G是的重心,过G作直线与 AB、 AC分别相交于M、N两点,且AMxAB ,AN113xy6、小结处理与三角形有关的向量问题时,要允

23、分留意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键；7、作业 51、已知 O是 ABC内的一点,如OAOBOC0,就 O是 ABC的cOC0,就 O是A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、如 ABC的外接圆的圆心为O,半径为 1,且OAOBOC0,就OAOB等于A、1 B 2、 0 C、1 D、123、已知 O是 ABC所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是a、b、c如aOAbOB ABC的ABC为正三A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、已知 P 是 ABC所在平面内与A 不重合的一点,满意ABAC3AP,就 P是 ABC的A、重

24、心 B、垂心 C、外心 D、内心,求证：、平面上的三个向量OA 、 OB 、 OC 满意OAOBOC0,OAOBOC1角形；6、在 ABC中, O为中线 AM上的一个动点,如AM2,求OAOBOC三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小；在高中数学“ 平面对量”细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（必修 4 其次 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思章

25、）的学习中,一方面通过数形结合来讨论向量的概念和运算；另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题；在平面对量的应用中,用平面对量解决平面几何问题时,第一将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示, 然后挑选适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最终将运算的结果再仍原为几何关系；下面就以三角形的四心为动身点,应用向量相关学问,奇妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质；既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的奇妙特殊的数学美感；一、 “重心”的向量风采【命题 1】已知 G 是ABC 所在平面上的一点,如 G

26、A GB GC 0,就 G 是ABC 的重心 如图 . CPA BA GB A M CO图 图【 命 题 2 】已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, ,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足OP OA AB AC ,0,就 P 的轨迹肯定通过ABC 的重心 . 【解析】由题意 AP AB AC ,当 0, 时,由于 AB AC 表示 BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的重心,如图 . 二、 “垂心”的向量风采【命题 3】P是ABC所在平面上一点,如PAPBPBPCPCPA,就 P 是ABC的垂心【解析】0,即由 PA

27、 PBPB PC ,得PBPAPCPB CA0,所以 PBCA同理可证PCAB, PABC P 是ABC的垂心如图. CAEBCPAPHMB 第 8 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 图OF图 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【 命 题4 】已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, ,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足AB ACOP OAAB cos B

28、 AC cos C,0,就动点 P的轨迹肯定通过ABC 的垂心【解析】由题意 AP AB AC,由于 AB ACBC 0,AB cos B AC cos C AB cos B AC cos C即 AB BC AC BCBC CB 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量,即 P 点在过点 A 且垂直AB cos B AC cos C于 BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的垂心,如图 . 三、 “内心”的向量风采【命题 5】已知 I 为ABC所在平面上的一点,且 ABc,ACb,BCa如aIA bIB cIC0,就 I 是ABC的内心BCOcaIPAbCAB图图【解析】 IB

29、IAAB , ICIAAC ,就由题意得abc IAbABcAC0,bABcACACABABACACABABAC,ABACAIabccABACAB AB与AC AC分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量,bABAC AI 与BAC平分线共线,即AI平分BAC同理可证： BI 平分 ABC, CI 平分 ACB从而 I 是【 命 题 6 】已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, ,ABC 的内心,如图 . C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10

30、页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思OPOAABAC,0,就动点 P 的轨迹肯定通过ABC的内心ABAC【解析】由题意得APABAC,当0,时, AP 表示BAC 的平分线所在直线方向ABAC的向量,故动点P的轨迹肯定通过ABC的内心,如图. 四、“ 外心” 的向量风采【命题 7】已知 O 是ABC所在平面上一点,如2OA2OB2OC2,就 O 是ABC的外心的外【解析】COCBMPABAOCO图如图 2 OAOB22 OC ,就OA2OB2, OAOBOC ,就 O

31、 是ABC心,如图；【 命 题 7 】已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A, ,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足OP O B O C A B A C,0,就动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的外心；2 AB c o s B AC c o s【解析】由于 OB OC 过 BC 的中点, 当 0, 时,AB AC 表示垂直于 BC 的2 AB cos B AC cos C向量（留意：理由见二、4 条说明；）,所以 P 在 BC 垂直平分线上,动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的外心,如图；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -