2022年一元二次不等式及其解法学案3.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3.3一元二次不等式及其解法二 自主学习学问梳理1解分式不等式的同解变形法就1 f x g x 0. _；2 f x0. _；g x3 f x g xa. f x ag xg x0. 2处理不等式恒成立问题的常用方法1一元二次不等式恒成立的情形：ax2bxc0 a 0恒成立 . _；ax 2bxc0 a 0恒成立 . _. 2一般地,如函数 yfx, xD 既存在最大值,也存在最小值,就：afx, xD 恒成立 . _；afx, xD 恒成立 . _. 自主探究 对于一元二次方程ax2bxc0 a 0,你能借

2、助二次函数的图象,探求两根满意下列特点的等价条件吗？1两个正根 . _；2两个负根 . _；3一正一负根 . _；4两根都小于 k. _；5一根大于 k,一根小于 k. _. 注：答案不唯独 对点讲练细心整理归纳 精选学习资料 学问点一分式不等式的解法 第 1 页,共 9 页 例 1解以下不等式：12 x 2；2 x22x3 x2x61. 学问点二 恒成立问题例 2 设函数 fxmx2 mx1. 1如对于一切实数 x,fx0 恒成立,求 m 的取值范畴；2对于 x1,3 , fxmx21对满意 |m| 2 的全部实数都成立,求x 的取值范围学问点三 一元二次方程根的分布细心整理归纳 精选学习资

3、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3 设 aR,关于 x 的一元二次方程且 0x11x22,求 a 的取值范畴7x2 a13xa2a20 有两实根 x1,x2,总结解二次方程根的分布问题,第一要分清对应的二次函数的开口方向,及根所在的区间范畴,列出有关的不等式及不等式组,进而求解变式训练 3 如方程 4xm3 2xm0 有两个不相同的实根,求 m 的取值范畴1解分式不等式时肯定要等价变形为一边为零的形式,再化归成整式

4、不等式 组或高 次不等式如不等式含有等号时,分母不为零2用数轴穿根法解高次不等式的过程可简记为“ 化正、化积、 穿根、 写出 ”四个步骤,某些点是保留仍是去掉,要仔细检查3对于有的恒成立问题,分别参数是一种行之有效的方法这是由于将参数予以分别 后,问题往往会转化为函数问题,从而得以快速解决当然这必需以参数简洁分别作为前提分别参数时,常常要用到下述简洁结论：. afx恒成立 . afxmax；2a1 B x|x1 C x|x1 或 x 2 D x|x 2 或 x1 2不等式x22x2 x 2x1 2 的解集为 A x|x 2 BRC.D x|x2 3如 a0,b0,就不等式 b1 xa 等价于

5、A1 bx0 或 0x1B1 ax1abCx1Dx1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4设函数 fxx24x 6,x0,就不等式fxf1的解集是 x6, x0,A3,13, B3,12, C1,13, 是D, 31,3 5对任意 a1,1,函数 fxx 2a4x42a 的值恒大于零,就x 的取值范畴 A1x3 Bx3 C1x2 Dx2 二、填空题6假如 Ax|ax2 ax10 .,就实数 a 的取值范畴为 _7已知 x 1 是不等式 k 2x 2

6、6kx8 0 的解,就 k 的取值范畴是 _ax8已知关于 x 的不等式 x11 的解集为 x|x3 ,就 a 的值是 _三、解答题x 29已知函数 fxaxba,b 为常数 ,且方程 fxx120 有两个实根为 x13,x24. 1求函数 fx的解析式； 2设 k1,解关于 x 的不等式： fx02f x g x 0a0afxmax0x1 x202x1x20x1x20x1x20050 x1k x2k 0x1 x20对点讲练例 1解1x 12.2 xx120.2x5x0.2xx50.x2x2 x5 0x2 0x2 或 x5. 原不等式的解集为 x|x0x 2 x60 x22x 30x2x60

7、由解得 x|x1 ；由解得 x|x3 不等式组 1的解集是 x|x3 由解得 x| 3x1 ；由解得 x| 2x3 不等式组 2的解集是 x|2x1 综上,原不等式的解集是 x|x3 或 2x3 细心整理归纳 精选学习资料 变式训练 1解由于 x2x10, 第 5 页,共 9 页 所以原不等式可化为x2x2x1, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即 x210,解得 1x1,所以原不等式的解集为 x|1x1 例 2 解 1要 mx2mx10 恒成立

8、,如 m0,明显 10. 如 m 0,m0,. 4m0. m2 4m04m0. 2要 fxm5,就要使 m x1 2 23 4m60 时, gx在1,3 上是增函数,gxmaxg3,7m60,得 m6 7.0m6 7. 当 m0 时, 60 恒成立当 m0 时, gx在1,3 上是减函数fxmaxg1 m60,得 m6.m0. x综上所述, m6 7. f 2 0,2又mx2x160,mx6. 2x1函数 y6x2x1x623 4在1,3 上的最小值为6 7. 12只需 m6 7即可变式训练 2解不等式变为mx212x10 ,即 fmmx212x 10 在 m|2m2 上恒成立,故f 2 0.

9、2123,即 x 的取值范畴是71,213. 2例 3解设 fx7x2a13x a2a2. 由于 x1,x2 是方程 fx0 的两个实根,且 0x11,1x20,所以 f 1 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a 2a 20,. 7 a 13 a2a20a2a 20,. a 22a80a2,.2a4,a3. 2a1 或 3a4. 所以 a 的取值范畴是 a|2a1 或 3a0t0.关于 t 的二

10、次方程有两不同正根的充要条件为：x1x2 m3 0,解x1x2m0得 0m2 时,原不等式变为 x10,即 x1. 不等式的解集为 x|x1 或 x 2 2A 原不等式 . x 22x20. x220, x 2. 不等式的解集为 x|x 2 x0 x013D b xa. 1xbx0 x 1a 或bx1 a或 x3,解得 x3 或 0x1；当 x3,解得 3xf1的解集是 x 3,13, 5B设 gax2ax24x4 ga0 恒成立且 a 1,1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名

11、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -.g 1 x2 3x20.x2g 1 x 25x60x3. x3. 60a4 解析a0 时, A.；当 a 0 时, A. ax2ax10 恒成立 .a0. 0a4, 0综上所述,实数a 的取值范畴为0a4. 7k2 或 k4 解析x1 是不等式 k2x26kx80 的解,把 x1 代入不等式得 2 8. 3k26k80,解得 k 4 或 k 2. 解析 原不等式化为 ax1a1 x10,其等价于 x1 a1x10. x 1 x1不等式的解集为 x|x3 ,x1a 13,解得 a2 3. 9解 1将 x13,x

12、24 分别代入方程 x 2x120 axb9 9,3ab a 1得 解得,16 8,b24ab所以 fxx2 x 22 x2不等式即为 x 2 k 1 xk,2x 2xx2 k1 xk可转化为 0. 2x当 1k2 时,原不等式的解集为 x|1x2 ；当 k2 时,不等式为 x 22x10,原不等式的解集为当 k2 时,原不等式的解集为 x|1xk 综上知,当 1k2 时,不等式的解集为 x|1x2 ；当 k2 时,不等式的解集为 x|1x2 ；当 k2 时,不等式的解集为 x|1xk x|1x2 ；细心整理归纳 精选学习资料 10解1当 a21 0 时,由a210, 第 8 页,共 9 页

13、a124 a21 0, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得 a5 3.又 a210 时,得 a1. a 1 时,满意题意a1 时,不合题意fx的值域为R,实数 a 的取值范畴为a1 或 a5 3. 2只要 ta21x2a 1x1 能取到 0, 上的任何值,就故当 a21 0 时,有a210,得 1a5 3. 0,又当 a210,即 a1 时, t 2x1 符合题意a 1 时不合题意细心整理归纳 精选学习资料 实数 a 的取值范畴为1a5 3. 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -