2022年直线与圆位置关系知识点与经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点直线与圆位置关系一 课标要求 1.能依据给定直线、圆的方程,判定直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想；二学问框架 相离 几何法 弦长直线与圆的位置关系相交代数法切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程圆的切线方程过圆外一点的切线方程切点弦方程三直线与圆的位置关系及其判定方法1. 利用圆心Oa ,b 到直线AxByC0的距离dAaBb2C与半径 r 的大小来判2 AB定；（1）dr直

2、线与圆相交消去其中一个未知量,得到关于另外一个未知量的一元（2）dr直线与圆相切（3）dr直线与圆相离2. 联立直线与圆的方程组成方程组,二次方程,通过解的个数来判定；（1）有两个公共解（交点）,即0直线与圆相交0直线与圆相切（2）有且仅有一个解（交点）,也称之为有两个相同实根,即（3）无解（交点） ,即0直线与圆相离3. 等价关系相交dr0相切dr0相离dr0练习（位置关系） 1. 已知动直线l:ykx5和圆C:x12y21,试问 k 为何值时,直线与圆相切、相离、相交？名师归纳总结 （位置关系） 2. 已知点Ma ,b 在圆O:x2y21外,就直线axby1与圆 O 的位置关第 1 页,共

3、 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点系是（）A.相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定（最值问题） 3. 已知实数 x 、 y满意方程 x 2y 2 4 x 1 0,（1）求 y 的最大值和最小值；x（2）求 x y 的最大值和最小值；（3）求 x 2y 2的最大值和最小值；分析 考查与圆有关的最值问题,解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解,运用数形结合的方法,直观的懂得；转化为求斜率的最值；转化为求直线 y x b截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题；2 2（位置关系） 4. 设 m, n R,如

4、直线 m 1 x n 1 y 2 0 与圆 x 1 y 1 1 相切,就 m n 的取值范畴是（）（位置关系）5. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 x 2y 24 上有且仅有四个点到直线12 x 5 y c 0 的距离为 1,就实数 c 的取值范畴是6直线 3 x y 2 3 0 截圆 x 2+y 2=4 得的劣弧所对的圆心角是 C A、 B、 C、 D、6 4 3 2（位置关系）7圆 x 2y 2 2 x 2 y 1 0 上的点到直线 x y 2 的距离最大值是（）A 2 B1 2 C1 2 D1 2 22（最值问题） 8. 设 A为圆 x 2 2 y 2 21 上一动点,就 A 到直

5、线 x y 5 0 的最大距离为_. 9已知圆 C的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3 x 4 y 4 0 与圆 C相切,就圆C的方程为（）Ax 2y 2 2 x 3 0 Bx 2y 24 x 0Cx 2y 2 2 x 3 0 Dx 2y 24 x 010. 如曲线 y 1 x 2与直线 y x b 始终有两个交点,就 b 的取值范畴是 _. （对称问题）11. 圆 C 1 : x 3 2 y 1 2 4 关于直线 x y 0 对称的圆 C 2 的方程为: 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. x3

6、2y1 24名师总结优秀学问点y3 24 B. x1 2C. xy1 2y32x42 D. 32x32y1 24| MN|2 3 ,kx2y12. 直线3与圆4相交于M ,N两点,如就 k 的取值范畴是 A 3,0 B 3, 3 C 3, 3 D 2,04 3 3 313. 圆 C： x1 2 y2 225,直线 l ：2 m1 x m 1 y7m4 mR1 证明：不论 m取什么实数,直线 l 与圆恒相交于两点；2 求 C与直线 l 相交弦长的最小值 解析 1 将方程 2 m1 x m1 y7m 4,变形为 2 x y7 m xy4 0. 直线 l 恒过两直线 2xy70 和 xy 40 的交

7、点,2x y70由 得交点 M3,1xy40又 3 1 21 2 2525,点 M3,1 在圆 C内,直线 l 与圆 C恒有两个交点2 由圆的性质可知,当 l CM时,弦长最短又| CM| 3 1 21 2 25,弦长为 l 2 r 2| CM| 22 2554 5. 四运算直线被圆所截得的弦长的方法1. 几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt运算,即AB2r2d22. 代数法：运用根与系数关系（韦达定理）,即ABk21xAxBk21 xAxB24xAx B（注：当直线 AB 斜率不存在时,请自行探究与总结；弦中点坐标为（x A2xB,yA2y B）,求解弦中点轨迹方程； ）练习1. 直线

8、y2x3被圆x2xy26x8y0所截得的弦长等于（）2. 过点y24y0截得的弦长最大的直线方程2 1, 的直线中被圆22x是 名师归纳总结 A.3 xy50 B. 3xy70 C. x3y5l0 D. x3y50第 3 页,共 7 页3. 已知圆 C 过点 ,10 ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线:yx1被圆 C 所截得的弦长为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22,就过圆心且与直线名师总结优秀学问点l 垂直的直线方程为（）4. 直线 x2y30 与圆 C： x2 2 y3 29 交于 E、F 两点,就 ECF的面积为 A.3 2 B. 34 C2

9、 5 D. 35 55. 已知圆 C : x 3 2 y 4 2 4 和直线 l : kx y 4 k 3 0（1 求证 : 不论 k 取什么值 , 直线和圆总相交 ; 2 求 k 取何值时 , 圆被直线截得的弦最短 , 并求最短弦的长 . 6. 如曲线 x 2y 22x 6y1 0 上相异两点 P、Q关于直线 kx2y40 对称,就 k 的值为1 A1 B 1 C. D2 27. 已知过点 M 3, 3 的直线 l 与圆 x 2y 24 y 21 0 相交于 A B 两点,（1）如弦 AB 的长为 2 15 ,求直线 l 的方程；（2）设弦 AB 的中点为 P ,求动点 P 的轨迹方程名师归

10、纳总结 解：（ 1）如直线l 的斜率不存在,就l 的方程为x3,此时有y24y120,弦第 4 页,共 7 页|AB| |yAy B|268,所以不合题意故设直线 l 的方程为y3k x3,即kxy3k30将圆的方程写成标准式得x2y2225,所以圆心0, 2 ,半径r5圆心 0, 2 到直线 l 的距离d| 3 k1|,由于弦心距、半径、弦长的一半构成直角三k21角形,所以1523 k1225,即k320,所以k3k21所求直线 l 的方程为 3xy120（2）设P x y,圆心O 10, 2,连接O P ,就O PAB 当x0且x3时,kO P 1kAB1,又kABkMPy 3,x 3就有

11、yx2y31,化简得x32y525（1）0x3222当x0或x3时, P 点的坐标为0, 2 , 0, 3 ,3, 2 ,3, 3 都是方程（ 1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的解,所以弦名师总结3优秀学问点525AB 中点 P 的轨迹方程为x2y2228. 已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30相交于P,Q两点 ,O 为原点 , 且OPOQ, 求实数 m 的取值 . 五已知切点,求切线方程1. 经过圆x2y2r2上一点P（x0, y0）的切线方程为x 0xy 0yr2x3y202. 经过圆xa2yb 2r2上一点P（x 0, y0）的切线方程

12、为x0axay 0bybr23. 经过圆x2y2DxEyF0上一点Px 0y0的切线方程为x 0xy 0yDx 02xEy02yF0练习1. 经过圆上一点P4 ,8作圆x72y8 29的切线方程为（）2. 圆x2y24x0在点P 1 ,3处的切线方程为（）Ax3y20 B x3y40 Cx3y40 D 六切点未知,过园外一点,求切线方程 1. k 不存在,验证是否成立；2. k 存在,设点斜式,用圆到直线的距离dr,即yy0kxx 0rby0kk ax 021练习1. 求过A 3 ,5 且与圆C:x2y24x4y70相切的直线方程；七切线长名师归纳总结 如圆C:xaa 2yb2rr2,就过圆外

13、一点Px 0y 0的切线长第 5 页,共 7 页dx02y0b22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点练习1. 自点A ,14作圆x22y3 21的切线,就切线长为（ B ）A 5 B 3 C 10 D 5 2. 自直线 y=x 上点向圆 x2+y2-6x+7=0 引切线,就切线长的最小值为八切点弦方程过圆C:xa 2yb2r2外一点Px0y0作圆 C 的两条切线方程, 切点分别为A,B,就切点弦 AB 所在直线方程为：x0axay 0b ybr21过点 C6 ,8 作圆 x2y225 的切线于切点A、B,那么 C到两切点 A、B 连

14、线的距离为 D5 A15 B 1 C.152九切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,即PT2PCPD练习1.自动点 P 引圆x2y2y10的两条切线PA,PB,直线PA,PB的斜率分别为k 1, k2；（1）如k 1k2k1 k21,求动点 P 的轨迹方程；（2）如点 P 在直线xm上,且PAPB,求实数 m 的取值范畴；解析名师归纳总结 （1）由题意设Px0y0在园外,切线l:yy 0kxx 0,kx 0k2y010,第 6 页,共 7 页1x0210k222x 0y0ky 02100xy250；由k 1k2k 1k1得点 P 的轨迹方程为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）Px 0y0在直线xym名师总结x 0优秀学问点上,y0m名师归纳总结 又PAPB,k1 k2,1y0210或1,即x 02y 0220,将xym代入化简得第 7 页,共 7 页x02102x 022 mx 02 m200210m25又0 ,-210m又x 02y 0210恒成立,m2m 的取值范畴是210,2525,210- - - - - - -