2022年《线性代数》的主要知识点.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载线性代数的主要学问点第一部分 行列式概念：1 n 阶行列式绽开式的特点：共有 n.项,正负各半；每项有 n 个元素相乘,且掩盖全部的行与列；每一项的符号为1 行）（列）1ijMij2 元素的余子式以及代数余子式Aij3 行列式的性质运算方法：1 对角线法就2 行列式的按行（列）绽开另有异乘变零定理 其次部分矩阵1 矩阵的乘积留意：不满意交换率（一般情形下 AB BA）不满意消去率（由 AB=AC 不能得出 B=C ）由 AB=0 不能得出 A=0 或 B=0 如 AB=BA,就称 A 与 B

2、 是可换矩阵2矩阵的转置满意的法就：AB TxATBT,kATkAT,ABTBTAT3矩阵的多项式设a0a 1xanxn,A 为 n 阶方阵,就A a 0Ea 1AanAn称为 A 的 n 次多项式；对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：1 n（1）假如 A P P,就 A a 0 E a 1 A a nA1 1 n 1 1Pa 0 EP Pa 1 P Pa n P = P P（2）如 diag a 1 , a 2 , a n ,就 diag a 1 , a 2 , a n 4逆矩阵： n 阶矩阵 A, B ,如 AB BA E,就 A,B 互为逆矩阵；n 阶矩阵 A 可逆 A 0；r A n（

3、或表示为 R A n）即 A 为满秩矩阵；A 与 E 等价；A 可以表示成如干个初等矩阵的乘积；A 的列（行）向量组线性无关；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载A 的全部的特点值均不等于零求法：相伴矩阵法：A11* AE,A1或A初等列变换E,E 是单位矩阵A初等变换法：A,E初等行变换EA1性质：（1）矩阵 A 可逆,就 A 的逆矩阵是唯独的（2）设 A 是 n 阶矩阵,就有以

4、下结论如 A 可逆,就A1也可逆,且A11A如 A 可逆,就T A 也可逆,且AT1A1T1B1A1kA11A1如 A 可逆,数k0,就 kA可逆,且k如A. B为同阶矩阵且均可逆,就A. B也可逆,且AB5方阵 A 的行列式：满意下述运算规律（设A,B为 n 阶方阵,为数）*等ATAAnAABAB6相伴矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式A 所构成的如下的矩阵A 11A 21A n1* AA 12A 22A n2,称为矩阵A 的相伴矩阵（留意行与列的标记的不同）A 1nA 2nA nn相伴矩阵具有性质：* AA* AAAE常见的公式有：* AAn1* AAA1* A11A A* 1A1A7

5、初等矩阵：由单位矩阵E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵；三种初等变换对应着三种初等矩阵,分别记为：（1）Ei,j（互换 E 的第 i 、 j 列）初等矩阵都是可逆矩阵,j其逆矩 第 2 页,共 9 页 （2）E k（E 的第 i 行乘以不为零的数k ）（3）E ijk（把 E 的 j 行的 k 倍加到第 i 行上）初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；阵仍为初等矩阵且Ei,j1Ei,j、E ik1E ik1、Eijk1Ei,k；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习

6、资料 - - - - - - - - - - - - - - -初等矩阵的行列式分别是-1,k, 学习必备欢迎下载1；8矩阵的初等变换：初等行变换 : 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行；记为 r i r j 对换第 i与 行以数 k 0 乘某一行中的全部元素；记为 ri k 第 i 行乘 k把某一行全部元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去；记为 r i kr j 第 j 行 k 倍加到第 i行上；把定义中矩阵的行换成列,即得矩阵的初等列变换的定义 . 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个 m n 矩阵,就 对A施行一次初等行变换,相

7、当于在 A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换,相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵9矩阵的等价：假如矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A与矩阵 B等价；且如矩阵 A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵 A与B行等价；如仅经过初等列变换,就称A与B列等价；PAQB设A,B为mn矩阵 A与 B 行等价m 阶可逆矩阵 P ,使得PAB A 与 B 列等价n 阶可逆矩阵 Q ,使得AQBA,B等价m 阶可逆矩阵 P , n 阶可逆矩阵 Q ,使得利用矩阵的初等变换解矩阵方程AXB,XA1B,可以：AB初 等 行 变 换EA1B,从而解出X； 第 3

8、 页,共 9 页 XAB,XBA1,可以：A T BT初 等 行 变 换EXT10矩阵的秩：非零子式的最高阶数；记为rA或R（A）求法： A初等行变换行阶梯形矩阵B,R（A）=B 的非零行的行数；相关公式：如A 是mn矩阵,就0R A minn,m RA TRA A BR A =R B如设 A 为mn矩阵,P m,Qn均为可逆矩阵,就rArPAQ,就maxRA,RBRA ,BRA R B如A,B均为mn矩阵,就R ABR ARB细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

9、- - - - - - - - - - -R ABminRA ,RB 学习必备n欢迎下载O,就R A RB n如A mB nt11分块矩阵：主要记住：（1）分块对角矩阵：设A 为 n 阶方程,如A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,A 1其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块,即A .A 2A s其行列式与逆矩阵具有下述性质：AAA 2A s1 第 4 页,共 9 页 A 11如Ai,0 i,1 2 ,s ,就A0,故 A 可逆,并有 :A .1A 21A s设 A 是 m 阶方阵 , B 是 n 阶方阵 , 且Aa,Bb, 就OA1mnabBOH另有：（2）设有分块矩阵HAC,其中A,B

10、分别为 m 阶、 n 阶可逆矩阵,就矩阵OB可逆且H1A1A1 CB1OB1（3）设有分块矩阵HAO,其中A,B分别为 m 阶、 n 阶可逆矩阵,就CB矩阵 H 可逆且H1A11OB1CAB1第三部分向量组1 线性组合：给定向量组A：1,2,m,对于任意一组实数,称向量k11k22kmm为向量组的一个线性组合,k1,k2,km称为该线性组合的系数；给定向量组A：1,2,m和向量,假如存在一组数1,2,m,使得=1122mm就向量是向量组 A 的线性组合,也称向量可以由向量组A 线性表示向量能由向量组A线性表示方程组x11x22xmm有解细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -矩阵 A=（1,2,学习必备欢迎下载B=1,2,m,的秩,m）的秩等于矩阵2等价：设有两个向量组 A：1 , 2 , , m 及 B：1 , 2 , , s,如 B 中的每个向量都可以由向量组 A 线性表示, 就称向量组 B 能由向量组 A线性表示； 如向量组 A与向量组 B 能互相线性表示,就称这两个向量组等价；记为：（1 , 2 , , m）（1 , 2 , , s）主要结论：（1）矩阵 A 与 B 如行等价,就 A 的行向量组与 B 的行

12、向量组等价；如矩阵 A 与 B 如列等价,就 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（2）向量组 B：b 1 , b 2 , lb 能由向量组 A: a 1 , a 2 , a m 线性表示 存在矩阵 K,使得 B=AK方程 AX=B 有解 R A R A , B （3）向量组 A: a 1 , a 2 , a m 与向量组 B：b 1 , b 2 , lb 等价 R A R B R A , B ,其中, A,B 是向量组构成的矩阵（4）向量组 B：b 1,b2,lb能由向量组2A:a 1,a2,am线性表示,就Rb 1,b 2,lbRa 1,a,am 3线性相关与线性无关对向量组 A：1,2,

13、2,m,假如存在不全为零的一组数k1,k2,km,使得：k11k2kmm0就称向量组A是线性相关 的,否就称为 线性无关 ,也就是说当且仅当k 1k2,km都是零时才能使 （） 式成立, 就1,2,m线性无关；主要结论：（1）向量组1,2,m线性相关齐次线性方程组有非零解它所构成的矩阵A =（1,2,m）的秩小于 m ；nan1,an2,ann同样 线性无关仅有零解RA m（2）n 个 n 维向量1a 11,a 12,a 1 n,2a21,a 22,a 2na 11a 12a 1n0线性相关行列式a 21a 22a 2n0,线性无关行列式a n1an2a nnn1个 n 维向量必（3）m个 n

14、 维向量,当维数nm时,向量组肯定线性相关；特殊地,线性相关；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（4）如向量组 A：1,2,m学习必备欢迎下载1,2,m,m1肯定线性相关；线性相关向量组 B: 反之,向量组B 如线性无关向量组 A线性无关或表达为：整体无关,就任意部分无关；只要有一部分相关,就整体相关；（5）如向量组 A：1 , 2 , , m 线性无关,而向量组 B: 1 , 2 , , m ,

15、 线性相关必能由向量组 A 线性表示,且表达式唯独（6）如 r 维向量组 1 , 2 , , m 线性无关,就在每一个向量上再添加 n r 个重量所得到1 1 1的 n 维向量组 1 , 2 , , m也是线性无关的（7）向量组 A：1 , 2 , , m 线性相关 其中至少有一个向量是其余 m 1 个向量的线性组合 ；线性无关 每一个向量都不能由其余向量线性表示；（8）假如向量组 A：1 , 2 , , s 可由向量组 B: 1 , 2 , , t 线性表示,并且 s t 向量组 A：1 , 2 , , s 线性相关；（逆否命题 : A ：1 , 2 , , s 线性无关且可由向量组 B 1

16、 , 2 , , t 线性表示 s t）4最大（极大）线性无关组：设有向量组 A,假如在 A 中能选出 r 个向量 1 , 2 , , r,满意（ 1）向量组 A ：1 , 2 , , r 线性无关；（2）向量组 A 中任意 r 1 个向量（假如 A中有 r 1 个向量的话）都是线性相关的那么称 1 , 2 , , r 是向量组 A 的一个最大（极大）线性无关部分组条件（ 2）也可以改为：向量组 A 中任意一个向量都可以由 1 , 2 , , r 线性表示,结论 : 一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个一个向量组的极大无关组不是唯独的向量组的任意一个极大无关组所含向量的

17、个数是唯独确定的如向量组1,2,s线性无关,其极大无关组就是其本身任一向量组和它的极大无关组等价向量组1,2,s中任意两个极大无关组等价tr 称为向量组A的秩； 第 6 页,共 9 页 5向量组的秩：向量组1,2,s中极大无关组所含向量的个数记为： r （1,2,s）等价,就它们的秩相等主要结论：（ 1）假如向量组1,2,s与向量组1,2,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）假如向量组1,2,s学习必备1欢迎下载,t

18、线性表示,且可由向量组,2,r1,2,sr,r1,2,tp,就rp（3）矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩6向量空间：设 V 为 n 维向量的集合,假如集合 V 非空,且集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 V为向量空间；（1）设 , 是两个已知的 n 维向量,就集合 V x , R 是一个向量空间；称为由向量 , 所生成的向量空间；（ 2）向量空间的基-设 V 为向量空间,假如 r 个向量 1 , 2 , , r V,且满意1 , 2 , , r 线性无关； V 中任何一个向量都可以由 1 , 2 , , r 线性表示就称向量组 1 , 2 , , r 是向量空间

19、 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间；（3）在3 R 中取定一个基a 1,a2,a3,再取一个新基b 1,b2,b 3,设 A（a1,a2,a3）,B（b 1,b2,b 3）,就 P =A1B 称为从旧基到新基的过渡矩阵7向量的内积：x 1 y 11 设有 n 维向量 x x 2,y y 2,令 x , y x 1 y 1 x 2 y 2 x n,x n y nTx, y 称为向量 x 与 y 的内积 . 当 x 与 y 都是列向量时,有 x , y x y . 2 内积具有以下性质（其中 x , y , z 为 n 维向量,为实数）： x , y y

20、, x； x , y x , y； x y , z x , z y , z . 当 x o 时,x, x o；当 x o 时,x, x o2施瓦茨（ Schwarz）不等式 x , y x , x y , y 2 2 23 向量的长度 ： x = x , x x 1 x 2 x n, x 称为 n 维向量 x 的长度；（范数） .4 向量的正交 -当 x , y 0 时,称向量 x 与 y 正交 . 5 正交向量组 -两两正交的非零向量组称为正交向量组 . 正交向量组的性质细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - -

21、 - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如 n 维向量1,2,r学习必备欢迎下载1,2,r线性无关 . 是一组两两正交的非零向量组,就（6）施密特（ Schimidt ）正交化过程：设a 1,a2,ra是线性无关的：2b r1,ar1br1. 取b 1a 1；b2a 2b 1,a2b 1,brarb 1,a rb 1b 2,arbb 1,b 1b 1,b 1b2,b 2br1,b rb 1,b 2,rb两两正交,且b 1,b 2,rb与a 1,a2,ra等价第四部分线性方程组1 解的判定：a 11x 1a 12x2a 1

22、nx nb 1 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 线性方程组a21x 1a 22x2a2nxnb 2其系数矩阵与增广矩阵分别记为：am 1x 1am 12x 2amnx nb ma 11a 12a 1 na 11a 12a 1nb 1Aaijmna21a22a 2n, A 或（ A,b ）=a 21a 22a 2nb 2am 1am2amna m 1a m2a mnb m就方程组的矩阵表示形式为：Axba11a 12a1 nb 1a21a 22a2nb 2如记：1,2,n,b,就方程组的向量形式为：am 1a m2amnb mx 11x22xnnb判定定理： n 元非

23、齐次线性方程组A mnxb有解rArA且有唯独解rA rA n,有无穷多解rA rA na 11x 1a 12x2a 1nx n0对应的齐次线性方程组a 21x 1a22x 2a2nx n0,称谓原方程组的导出组；a m 1x 1a m 12x 2a mnx n0有结论： n 元齐次线性方程组仅有零解系数矩阵的秩rAnn 元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩rAn如系数矩阵A 为方阵,就有：n 元齐次线性方程组仅有零解A0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学

24、习必备欢迎下载A0n 元齐次线性方程组有非零解2基础解系：设 1, 2 s 都是齐次线性方程组 Ax 0 的解,且： 1, 2 s 线性无关 Ax 0 的任意解都可以由 1, 2 s 线性表示就称 1, 2 s 是齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系实际上,齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系就是它的解集的一个最大无关组结论：当系数矩阵的秩 r A r n 时,齐次线性方程组 Ax 0 有基础解系,并且它的任一个基础解系中解向量的个数为 n r如 0是 Ax b 的一个特解,1, 2 n r 是 Ax O 的一个基础解系,就 Ax b 的通解为 0+ c 1 1 c 2 2 c n r n r第五部分 矩阵的特点值（特点向量）与二次型1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -