2022年电大高等数学基础形成性考核手册答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学基础形考作业 1：第 1 章函数第 2 章 极限与连续（一）单项挑选题x以下各函数对中,（C）中的两个函数相等 A. fxx2,gxx B. fx x2,gxx21 C. fxlnx3,gx 3lnx D. fxx1,gx x1设函数fx的定义域为,就函数fxfx的图形关于（ C）对称 A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. yx以下函数中为奇函数是（B） A. yln 1x2 B. yxcosx C. yaxax D. yln1x2以下函数中为基本初等函数是（C） A. yx1 B. yx C. yx2 D. y11,x0,

2、x0以下极限存运算不正确选项（D） A. lim xxx221 B. lim x 0ln1x02 C. lim xsinx0 D. lim xxsin10xx当x0时,变量（ C）是无穷小量 A. sinx B. 1xx C. xsin1 D. ln x2x如函数fx在点0x 满意（ A）,就fx在点0x 连续； A. lim x x 0fxfx0 B. fx在点0x 的某个邻域内有定义 C. lim x x 0fxfx0 D. lim x x 0fxlim x x 0fx1 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - -

3、 - （二）填空题函数fx xxx29ln 1x 的定义域是,3x3已知函数f1x2x,就fxx2-xlim x 111e 2x1如函数fx1xx,x0,在x0处连续,就 kxe ；函数yxk,x000 时的无穷小量x1,x0的间断点是xfsinx,x0如x lim x 0x A称为xxA,就当xx 0时,f（三）运算题 设函数求：f2,f0,f 1 f11 efx xex,xx00x,x0e解：f22,f00,求函数y2lg2x1的定义域1 2或2x1x0解得解：ylgx1有意义,要求xxx0就定义域为x x0 或x1x02在半径为 R 的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另

4、一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积 表示成其高的函数解：D A R O h E B C 2 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形,设高为h,即 OE=h,下底 CD2R 21sinx直角三角形AOE 中,利用勾股定理得AEOA 2OE2R 2h2就上底2AE22 Rh2故Sh2R2R2h2h R2 Rh22求lim x 0sin3xsin2x解：lim x 0sin3xlim x 0sin3x3 xlim x 0sin3x31 1333 xsin23 xsin2si

5、n2xx2xx2222x2x求x lim 1x21sinx1 解：x lim1x21lim x1x1x1x lim1xx11112sinx1sinx1sin1x1求lim x 0tan3xx解：lim x 0tan 3xlim x 0sin3x1xlim x 0sin3x1x31133xxcos33 xcos31求lim x 01x21sinx解：lim x 01x21lim x 0 1x21 1x21lim x 0 1xxsinx 1x21sinx2lim x 0 1x2x1sinx0101 1x求lim xx1xx3e4解：lim xx1xlim x11xlim x11xlim x11x1

6、e1x 3x 3xx311x1x3 e13 xxx3求lim x 4x26x8x4x2lim x 4x2422x25x4解：lim x 4x26x8lim x 42 xx4x15x4x14133 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设函数争论fx的连续性；1,x1fxx22,x11x,1x处争论连续性x1,x1解：分别对分段点x（1）lim x 1fxxlim x 1xf11 10x1处不连续x lim 1fxx lim 1x1所以x lim 1fx lim 1x,即 fx 在（ 2）lim x 1fxli

7、m x 1x2211221x1处连续lim x 1fxlim x 1x1f1即 fx 在f11xlim x 1f所以lim x 1fx由（ 1）（ 2）得 fx在除点x外均连续高等数学基础作业2 答案：第 3 章导数与微分（一）单项挑选题设f00且极限lim x 0fx存在,就lim x 0ffx（C）xx A. f0 B. f0x 02h x 0（ D） C. fx D. 0 cvx 设fx在0x 可导,就lim h 0f2 h A. 2fx 0 B. fx 0xf1 （A ） C. 2fx0 D. fx 0设fxx e,就lim x0f1x A. e B. 2eC. 1e D. 1e244

8、 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设fx xx1 x2x99,就f0 （ D） A. 99 B. 99 C. 99 D. 99.f x在点x 连续,就在点0x 可导以下结论中正确选项（C） A. 如fx在点x 0有极限,就在点x 可导 B. 如 C. 如fx在点x 可导,就在点x 有极限 D. 如f x在点x 有极限,就在点0x 连续（二）填空题设函数fxx2sin1,x0,就f0x0；x0,x0ln55 ex,就dflnx 2设f ex2 exdxxx曲线fx xk1 2；1 在1 ,2处的切线斜率是

9、曲线fxsinx在,1处的切线方程是y1；2设yx2 ,就 y2x2x1lnx设yxlnx,就y1；x（三）运算题求以下函数的导数y ：2xx3exxx3xx3x1exxyxx3 ex解:yxx3ex23 e22ycotxx2lnxlnxx2ln2 cscx2xln解：ycotxxyx2lnx5 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：yx2lnx2x2lnx2xlnxxlnxln2xycosx32xx3xsinx2xln2x3 cosx2xx解：ycosx2xx3x3cosx2x2x4ylnxx2sinx

10、xsinx12x lnxx2cosx解：ylnxx2sinx2lnxx2sinxsinxxsin2x2 3xln3yx4sinxlnx4x3sinxcosxlnx解：yx4sinxlnxsinxlnxxysinxxx233xcosx2x sinx解：ysinxx23x3xsinxx23x232xyextanxlnxtanxexx1解：yextanxextanxlnxecos2x求以下函数的导数y ：yex解：yexex1x121xex22ylncosx解：y1xsinxsinxtanxcoscosyxxx6 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料

11、 - - - - - - - - - 解：yx77 x 8188ysin2x1xcosxcosnxnsinnxsinnxy解：y2sinxsinx2sinxcosx2sin2xysin x2解：ycosx22x2xcosxycosex2解：ysinex 2ex22x xe2sinex2ysinnxcos nx解：ysinnxcosnxsinnxcosnxnsinny5sinx解：y5sinxln5cosxln5cosx5sinxycos ex解：ycos exsinxsincos xex在以下方程中,yy x 是由方程确定的函数,求y ：ycosx2 ey解：ycosxysinx2 2 eyy

12、yysinx2ycosx2 eycosylnx解：ysiny .ylnxcosy.1yx 1cosylnxxsiny2 x2yx2sinyy2 xy 2 y sin2 xy 2 cos y2xsinyx2y解：2xcosy . y2siny2yxy2x2yy 2xcosyy2y2x27 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - yxlny解：y y 1 y yy y 1 ln x e y y 2解：1 e y y 2 y y y 1yx x 2 y e y 2 1 e x sin y解：2 y y e xcos

13、y . y sin y . e xy e x sinx y2 y e cos y e y e x y 3x解：e yy e x3 y 2y y ey 3y 2e y 5 x2 yx解：y 5 xln 5 y 2 yln 2 y 5 lny 51 2 ln 2求以下函数的微分 d y：（注：dy y dx） y cot x csc x解：y csc 2 x csc x cot x dy 12 cos2 x dxcos x sin xln x ysin x1 sin x ln x cos x 1 sin x ln x cos x解： y x2 dy x2 dxsin x sin x y sin 2

14、 x解：y 2 sin x cos x dy 2 sin x cos xdxx y tan e解：y sec 2e x e xdy sec 2e x 3e xdx e x 3sec 2e xdx8 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求以下函数的二阶导数：yyxy1331x31x3sinx2cosxxsinx1 x 21 2解：22224yy3xylnxln3ln233x3xln3解：ylnx1y1 xy解：xx2ycosxcosxxyxsinxycosxsinx解：（四）证明题设fx是可导的奇函数,试证f

15、x是偶函数fx证：由于 fx 是奇函数 所以fxfx两边导数得：fx1 fxfx 所以fx是偶函数；第 4 章导数的应用高等数学基础形考作业3 答案：（一）单项挑选题如函数fx满意条件（ D）,就存在a,b,使得,ffbfaba A. 在a,b内连续 B. 在a,b内可导b内可导 C. 在a,b内连续且可导 D. 在a,b 内连续,在a函数fx x24x1的单调增加区间是（D） A. ,2 B. 1,1 C. 2, D. 2,函数yx24 x5在区间6,6 内满意（ A） A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降9 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精

16、选学习资料 - - - - - - - - - C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升fx的（ C）函数f x 满意fx0的点,肯定是 A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设fx在a,b 内有连续的二阶导数,x0 a,b ,如fx满意（ C ）,就fx在0x 取到微小值 A. fx 00,fx 00 B. fx00,fx 000,就fx在此区间内是（ A ） C. fx00,fx 00 D. fx00,fx 00设fx在a,b 内有连续的二阶导数,且fx 0,fx A. 单调削减且是凸的 B. 单调削减且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的（二）填空题设fx

17、在a,b 内可导,x0 a,b ,且当xx 0时f x 0,当xx0时fx0,就x 是f x的微小值点x的极值点,就fx00fa如函数fx在点0x 可导,且x 是f函数yln 1x2的单调削减区间是,0函数fx x e2的单调增加区间是0,a,b 上的最大值是如函数fx在a,b 内恒有fx 0,就fx 在函数fx 25 x3x3的拐点是0 ,2（三）运算题求函数yx1 x2 5的单调区间和极值1,5 5 ,5解：令yx52x1 2x5 3x5 x1驻点x,1 x5X 1, 1 列表：极大值：f 1 32y+ 0 0 + y 上升极大值下降微小值 0 上升32 微小值：f503在区间0,3 内的

18、极值点,并求最大值和最小值求函数yx22x10 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：令：y2x20x1驻点）,列表：x（0,1）1 （ 1,3）1y2y+ 0 y上升极大值 2 下降yx22x3x122f 0 3f 3 6f 12极值点：f12最大值f36最小值f1 23. 求曲线y22 x上的点,使其到点A 2,0的距离最短解：设p x,y 是y22 x 上的点, d 为 p 到 A 点的距离,就：dx22y2x222x令d22 x2 2xx12x0xx2 22 x2 2y22x 上点 ,12或1,

19、2到点A,20 的距离最短；4. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为hR,高为 h,就体积V22 RhL2h2 hL3 hh3L令：V2h L2h22 L3 h203R2L当h3,RL时其体积最大；3335.一体积为 V 的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设园柱体半径为R,高为 h,就体积VR2h23 RR3Vh34VS表面积2Rh2R22V R2R令：S2 VR24R0V2211 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答

20、：当R3Vh34V时表面积最大；26. 欲做一个底为正方形,容积为 62.5 立方 M 的长方体开口容器,怎样做法用料最省？解：设底长为 x,高为 h；就：2 62 . 562 . 5 x h h 2x侧面积为：S x 24 xh x 2 250x令 S 2 x 2502 0 x 3 125 x 5x答：当底连长为 5M,高为 2.5M 时用料最省；（四）证明题当x0时,证明不等式xln1xx 单调上升且f00证：在区间1,1x上对函数fxlnx 应用拉格朗日定理,有ln1xln11x其中11x ,故11,于是由上式可得xln1x 当x0时,证明不等式exx1证：设fx e xx1 fxx e

21、10 当x0 时）当x0 时,ffx 0, 即exx1高等数学基础形考作业4 答案：第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用（一）单项挑选题如fx的一个原函数是1 ,就 xf x （ D） A. lnxB. 1x2C. 1D. 2xx3以下等式成立的是（D） AfxdxfxB. dfx fx C. 12 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - dfx d xfxD. dfx d xfxdx（B）d x如fxcosx,就fx dx（B） A. sinxcB. cosxcC. sinxcD. cosxcdx2f

22、x3d x（ B）dx A. f3 xB. x2fx3 C. 1fx D. 1fx3331fx如fxdxFxc,就xA. Fxc B. 2FxccC. F 2xcD. 1Fxx以下无穷限积分收敛的是（D）A. 11dxB.0exdxxC.11dxD. 11dxxx2（二）填空题函数fx的不定积分是fx dx；9Fx与Gx之间有关系式Fx Gx c 常数）；如函数Fx与Gx是同一函数的原函数,就dex d xx e2；cos 3x；tanx dxtanxc；如fxdxcos3 xc,就fx3sin5x1dx3 32如无穷积分11d x收敛,就p0；xp（三）运算题cos1d xcos1d1sin

23、1cx2 xxxx13 / 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - exd x2exdx2 excxx1xd xx1xdlnxlnlnxc3e1xcos2x1sin2xclnlnxsin2x d x1xdcos2x1xcos2x1cos2xdx22224e3lnxde3lnx d3lnx13lnxe71111x2221e2xx111e2xdx1e21e2x11xe2xdx0202024041411elnxdx2x2lnxe1exdxe211e2eexlnx dx2 e1212121222144elnxd x1lnxee1dx11e211x2x11x2ex1e（四）证明题证明：如fx在a,a上可积并为奇函数,就afx d x0证毕a证 :令xtafx dxaaft dtaft dtaf t dtaaaafx dxafx dxafx dx0aaa证毕证明：如fx在a,a上可积并为偶函数,就afx d x2af