2022年一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学,是一门自然学科；对于全部的高中生来说,要学好这门学科,却不是一件 简单的事；大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有爱好；但由于高考“ 指 挥棒” 的作用,又不得不学； “ 怎样才能学好数学？” 成了学子们问得最多的问题；而 怎样回答这个问题便成了老师们的难题；很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做 题,见的题多了,做的题多了,自然就娴熟了,成果就提高了！于是,“ 题海战术” 便 受到很多训练工作者的青睐；熟话说, “ 熟能生巧” ,当然,

2、多做体确定对同学数学成 绩的提高有肯定的好处；但长期这样,只会使数学越来越枯燥,让同学越来越厌烦,于是显现厌学、抄作业等现象；众所周知, 数学题是做不完的； 我认为要使同学学好数学, 仍是要从提高同学的 数学思维才能和学习数学的爱好上下工夫；要利用书本上有限的例题和习题来提高学 生的学习爱好和才能；在数学教学过程中,通过利用一切有用条件,进行对比、联想,实行一题多解与一题多变的形式进行教学；这对培育同学思维的宽阔性、深刻性、探 干脆、敏捷性、独创性无疑是一条有效的途径；另外,才能提高的过程中,同学的成 就感自然增强,并且在不断的变化和解决问题的不同途径中,爱好油然而生；对于传统的数学教学来说,

3、 教学过程的重点不外乎为： 讲解定义推导公式, 例题 演练,练习,及习题的支配；下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人 的几点看法；一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是特别庞大的；并且,要学好数学,就必需 娴熟的运用公式；但很多同学对公式的记忆大多实行死记硬背的方法,对公式的推导 往往不够重视；其实,公式的推导过程就是一种解题的方法,或是一种解题技巧；我 们假如在公式的推导过程中运用一题多解的话,就会让同学在学习学问的产生过程中 同时把握解题的规律和方法,也便于公式的懂得记忆；例如：在学习等差数列通项公 式 an=a1+n-1d 时,方法一 ：a2a 1da

4、 12da3a2da4a 3da 13 d 由此得到an=a1+n-1d 方法二：有等差数列定义知：an1a n12ddd所以有a na nan2an3 细心整理归纳 精选学习资料 a3a2d 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a2a 1学习必备欢迎下载d累加得a na 1n1d从而得到an=a1+n-1d 方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法累差法；这样的话,同学对这个公式 的产生过程印象就更深刻,对公式也就更难忘；另

5、外,在记忆公式的同时,也学到了 重要的数学方法和思路,更有助于同学数学思维的进展；这种实例在高中阶段的新课 教学中仍有很多,就不一一列举；二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变一题多变和一题多解的变式在教学之中,往往能起到一座桥的作用, 在最近进展区之中能把同学从已知的彼岸渡到未知的彼岸；一题多解,一道数学题,因摸索的角 度不同可得到多种不同的思路,宽阔寻求多种解法,有助于拓宽解题思路,进展同学 的思维才能,提高同学分析问题的才能；一题多变,对一道数学题或联想,或类比,或推广,可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,积极开展多种变式题的 求解,哪怕是不能解决,有助于同学应变才能的养成,培

6、育同学发散思维的形成,增 强同学面对新问题敢于联想分析予以解决的意识；在例题讲解中运用一题多解和一题多变,就不用列举大量的例题让同学感到无法接受；技巧,从而举一反三；而是从一个题中获得解题的规律,下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例： 已知 x、y0 且 x+y=1,求 x 2+y 2 的取值范畴；解答此题的方法比较多,下面给出几种常见的思想方法,以作示例；解法一： （函数思想）由 x+y=1 得 y=1-x ,就 x2+y 2= x2+（1-x ）2=2x 22x+1=2（x1 2）2+1 2由于 x0 ,1 ,依据二次函数的图象与性质知当 x=1 2时,x2+y2取最小值1 2；当

7、 x=0 或 1 时,x2+y 2 取最大值 1；评注： 函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一种变量之间的联系,往往用函数观点来探求变量的最值；对于二元或多元函数的最值问题,往往是通过变量替换转化为一元函数来解决,这是一种基本的数学思想方法； 解决函数的最值问题,我们已经有比较深的函数理论,函数性质,如单调性的运用、导数的运用等都可以求 函数的最值；解法二： （三角换元思想）由于x+y=1,x、y0,就可设 x=cos2 ,y=sin2其中 0 , 2 2 sin2 第 2 页,共 5 页 就 x2+y 2= cos4 +sin4 =（cos2 +sin2 ）22 cos =11 2

8、（2sin cos ）2=11 2 sin22=11 2 1cos4 = 3 4 + 1 4 cos4 于是,当 cos4 =1 时, x2+y 2 取最小值1 2；当 cos4 =1 时, x 2+y 2取最小值 1；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载评注： 三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一,通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决,而三角恒等变形却有着一系列的三角公式,所以运用三角

9、换元解决某些问题往往比较便利；解法三： （对称换元思想）由于 x+y=1,x、y0,就可设 x= 2 +t , y= 1 2t ,其中 t 1 2,1 2 于是, x 2+y 2= （1 2 +t ）2+（1 2t ）2=1 2 +2t 2 t 20 ,1 4 所以,当 t 2=0 时,x 2+y 2取最小值1 2；当 t 2=1 4时, x 2+y 2 取最大值 1；评注： 对称换元将减元结果进行简化了,从而更简单求最值；这三种方法,在本质上都一样,都是通过函数观点来求最值,只是换元方式的不同而已,也就导致了化简运算量大小不同,老师通过引导、启示同学主动摸索、运用,提高了同学对数学的熟悉,也

10、增强了同学思维才能的提高；解法四： （运用基本不等式）由于 x、y0 且 x+y=1 2就 xy（x+y）4 = 1 4,从而 0xy1于是, x 2+y 2=（x+y）22xy=12xy 所以,当 xy=0 时, x 2+y 2 取最大值 1；当 xy=1 4时, x 2+y 2 取最小值1 2；评注： 运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题,但要留意等号成立的条件是否同时满意；解法四： （解析几何思想）设 d= x 2+y 2 ,就 d 为动点 C（x,y）到原点（ 0,0）x y 1的距离,于是只需求线段 x 0 上的点到原点的最大和最小距离就可；y 0 y 当点 C与 A或

11、 B重合时, dmax=1,就（ x 2+y 2） max=1 1 B 当 OCAB时 dmin= 2 2 ,就（ x 2+y 2）min=1 2 O C 1 A x 评注： 用几何的观点讨论代数问题,可以加强同学数形结合思想的养成,使同学在数和形的懂得把握好一个联系的尺度,能够由数想到形的意义, 由形想到数的结构,从而达到快速解决这类问题的目的；事实上,有很多解析几何最值问题和代数中很多 最值问题都可以用类似的方法解决,这对同学数学思维才能的培育,有着很积极的作用； 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - 解法五： （数形结合思想）设x 2+y 2=r2（r 0）,此二元

12、方程表示以坐标原点为圆心、半径为 r 的动圆,记为 F；xy1y B 1 于是,问题转化为 F 与线段x0有公共点,求 r 的变化范畴；y0O A 1 x 当F 经过线段 AB端点时 rmax=1；当 F 与线段 AB相切时 rmin=2 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就1 2x 2+y 21 学习必备欢迎下载评注： 此解法与解法四并无本质区分,关键是数形结合思想的形成；至此,解答此题的几种常见方法介绍完毕,下面展现对此题的变式和推广；7+y7的范变式

13、 1：已知 a、b 为非负数, M=a 4+b 4,a+b=1,求 M的最值；变式 2：已知 x、y0 且 x+y=1,能求 x8+y 8 的取值范畴吗？ x8+y 6 呢？x围能求吗？变式 3：如 x、y0 且 x+y=1,能求得1 2 n1 xn+yn1 的结论吗？这样一个由特别性逐步一般化的思维过程,加强了同学思维才能的培育,通过这 样一系列的一题多解和一题多变,培育了同学的综合分析才能、提高了同学数学思维 才能,渗透了一些数学方法, 表达了一些数学思想, 也供应了一个推向一般性的结论；在数学教学中 ,如将经典例题充分挖掘, 留意对例题进行变式教学 ,不但可以抓好基础知 识点,仍可以激发

14、同学的探求欲望 ,提高创新才能；不仅能让老师对例题的讨论更加深 入,对教学目标和要求的把握更加精确,同时也让同学的数学思维才能得到进一步提 高,并逐步体会到数学学习的乐趣；当然,在新课的教学中有些方法所用的学问,学 生仍未学到,此时,我们可从中选择同学学过的学问；其他方法可在今后的总复习中 给出；三、在练习和习题中训练同学运用一题多解和一题多变 在数学教学中,很多老师在课后给同学布置除书上练习题和习题以外的大量习题；使同学感到负担很重；很多同学根本无法完成,便显现了抄作业的现象；对数学的厌 恶感便油然而生；仍有老师从网上查找各种各样的所谓的新奇题布置给同学做；这样 也只会挫伤同学的自信心； 我

15、们为什么不能从书上的习题入手,进行演化, 逐步加深；让同学有规律可寻,循序渐进；日积月累过后,同学解题才能自然提高,对于从未见 过的新题也会迎刃而解；另外,我们在把变式题布置给同学的同时,便可要求同学运 用一题多解,甚至可以要求同学自己对题型进行变式；这样的作业方式不只可以达到 复习巩固的目的,仍可以提高同学的探究才能及学习数学的爱好；例如,在学习抛物线后,在习题中显现了以下一题：过抛物线 y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交,设两个交点纵坐标为y1,y2,求证： y1y2=-p2；（设线段 AB为过抛物线焦点的弦）此题证明并不难,但其结论却很有用,关键是运用其结论；在布置此题给同学时

16、我们便可以有针对性的演化；如变成（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线,三点共线；（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线,平行于抛物线的对称轴；（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段,等于焦点弦长的一半,并且被这条抛物线平分；另外,我们仍可以让同学自己变式,便仍可能显现如下变式：（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线相互垂直；（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习

17、资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（6）证明：过抛物线焦点一端,作准线的垂线,那么垂足、原点以及弦的另一端 点,三点共线；在数学习题教学中,一题多变也得循序渐进,步伐要相宜,变得自然流畅,使同学的思维得 到充分发散,而又不感到突然；总之,在数学习题教学中,选用一些非加探究不能发觉其内在联系的习题,采纳一题多解与一题多变的形式进行教学,有助于启示同学分析摸索,逐步把同学引入胜境,从而使同学开拓知 识视野,增强才能,进展制造思维,同时仍可以帮忙同学对学问系统性、特别性、广泛性的深刻 懂得；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -