2022年三角函数复习教案-整理.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三角函数复习教案【学问网络】应用弧长公式同角三角函数诱导应用运算与化简的基本关系式公式证明恒等式应用任意角的概念角度制与任意角的应用三角函数的应用已知三角函弧度制三角函数图像和性质数值求角和角公式倍角公式应用差角公式应用学法：1留意化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,角的三角函数问题等将不同角的三角函数问题化成同2留意数形结合思想的运用如争论函数性质等问题时,要结合函数图象摸索,便易找出解题思路和问题答案第 1 课 三角函数的概

2、念【学习目标】懂得任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算把握终边相同角的表示方法把握任意角的正弦、余弦、正切的意义明白余切、正割、余割的定义掌握三角函数的符号法就【考点梳理】考点一、角的概念与推广1任意角的概念：正角、负角、零角2象限角与轴线角：细心整理归纳 精选学习资料 与终边相同的角的集合：k|2k2 k,kZ 第 1 页,共 41 页 第一象限角的集合：| 22,kZ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -其次象限角的集合：|22k

3、32 kk,kkZ第三象限角的集合：|2k2,kZ2第四象限角的集合：|32 k2k,Z 22终边在 x 轴上的角的集合：|k,kZZZ|kk2,k终边在 y 轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合：,k2要点诠释：要熟识任意角的概念,要留意角的集合表现形式不是唯独的,终边相同的角不肯定相等,但相等的角终边肯定相同,仍要留意区间角与象限角及轴线角的区分与联系 . 考点二、弧度制 1弧长公式与扇形面积公式：弧长 lr ,扇形面积S 扇形1lr1r2（其中 r 是圆的半径,是弧所对圆心22角的弧度数） . 2角度制与弧度制的换算：180；1180rad0.01745rad；1 rad18057.

4、3057 18要点诠释：要熟识弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式 . 考点三、任意角的三角函数1.定义：在角上的终边上任取一点P x y , ,记rOPx2y2r y. 第 2 页,共 41 页 就 siny, cosx, tany, cotx, secr, cscrrxyx2. 三角函数线：如图,单位圆中的有向线段MP , OM , AT 分别叫做的正弦线,余弦线,正切线. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

5、3. 三角函数的定义域：ysin,ycos的定义域是R ；ytan,ysec的 定 义 域 是 |k2,kZ；ycot,ycsc的 定 义 域 是|k,kZ . 4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：三角函数的定义是本章内容的基础和动身点,正确懂得了三角函数的定义,就三角函数的定义域、 三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到坚固掌握利用定义求三角函数值时,也可以自觉地依据角的终边所在象限进行分情形争论 . 三角函数线是三角函数的几何表示,是处理有关三角问题的重要工具,它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来有关三角函数值的大小比较问题、简洁三角不等式及简单三角

6、方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线,的详细运用 . 【典型例题】类型一、角的相关概念这是数形结合思想在三角中细心整理归纳 精选学习资料 例 1. 已知是第三象限角 , 求角2的终边所处的位置.2 k3,kZ , 第 3 页,共 41 页 【答案】2是其次或第四象限角【解析】方法一：是第三象限角,即2k2k22k3,kZ , Z , 4当k2 n 时,2 n222n3,nZ , 42是其次象限角,当k2 n1时,2n322 n7,n242是第四象限角,2是其次或第四象限角. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结

7、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方法二：由图知 : 2的终边落在二,四象限. 【总结升华】（1）要娴熟把握象限角的表示方法此题简洁误认为 是其次象限角,2其错误缘由为认为第三象限角的范畴是 , 3解决此题的关键就是为了凑出 2 的2整数倍,需要对整数进行分类（2）确定“ 分角” 所在象限的方法：如是第 k 1 、 2、3、4 象限的角,利用单位圆判定n,nN*是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份,并从 x 正半轴开头,沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4,再循环,直到填满为止,就有标号 k 的区域就是角n nN* 终边所在的范畴

8、；如：k=3,如下图中标有号码3 的区域就是2终边所在位置y 3 2 4 2 3 1 x 1 4 举一反三：细心整理归纳 精选学习资料 【变式 1】已知是其次象限角 , 求角3的终边所处的位置. 第 4 页,共 41 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【答案】3是第一或其次或第四象限角【解析】方法一：是其次象限角,即2kk22 k,kZ ,k263k23,kZ , 33Z , Z , 当k3n 时, 2 n632n3,3是第一象限角,k当k3n

9、1时,2n532n63是其次象限角,5,kZ , 当k3n2时,2n332 n233是第四象限角,3是第一或其次或第四象限角. 方法二：k=2,如下图中标有号码2 的区域就是3终边所在位置由图知：3的终边落在一,二,四象限. 【变式 2】已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200 度,求这条弧所在的圆的半径（精确到 1cm） .【答案】 29cm.类型二、任意角的三角函数例 2.如 sincos0 ,就角在象限 . 【答案】第一或第三【解析】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 41 页 - - - - - - - - - 名师归

10、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方法一： 由 sincos0 知（ 1）sin0或（ 2）sin0cos0cos0由（ 1）知在第一象限,由（2）知在第三象限,Z 时,为第三象限所以在第一或第三象限. k2n1 n方法二： 由 sincos0 有 sin 20 ,所以 2 k22kkZ, 即kk2kZ当k2 n nZ时,为第一象限,当故为第一或第三象限. cos0 ,方法三： 分别令65、67、611、6,代入 sin只有6、7满意条件,6所以为第一或第三象限. 【总结升华】 角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定,填空题 .举一反三：【变式

11、1】确定tan 3.sin 5 cos1的符号 . 【答案】原式小于零方法三只能用于挑选题或【解析】由于3,5,1 分别是第三、第四、第一象限的角,所以tan 30 , sin 50 ,cos10 ,象限角 .所以原式小于零. 【变式 2】已知 tancos0 ,tan sin0,就是第【答案】二细心整理归纳 精选学习资料 【解析】tan10, cos0 , tan0 ,就是其次象限角 . 第 6 页,共 41 页 sincos【变式 3】求sinx| cos |tanx|的值 . |sinxcosx| tanx【答案】当 x 为第一象限角时,值为3；当 x 为其次、三、四象限角时,值为-1.

12、例3. 已 知 角的 顶 点 在 原 点 , 始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合 , 终 边 为 射 线4x3y0x0,就sinsincot2 cos的值是（） - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A .1B.2C.8D.95555【答案】 C【解析】在角的终边上任取一点P3, 4,就有r5,就原式4 54398,应选 C . 54255举一反三：【变式】已知角的终边过点 ,2 a a0,求 sin、 cos、 tan的值2 .【解析】r

13、a22 25 |a|2 5,cos5, tan2 ；（1）当a0时,r5 a,sin55（2）当a0时,r5 a ,sin2 5,cos5, tan55【课堂练习】1角 的终边在第一、三象限的角平分线上,角 的集合可写成2已知角 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 的终边 A 在 x 轴上 B在 y 轴上 C在直线 y=x 上 D在直线 y=x 上 3已知角 的终边过点 p5,12,就 cos = ,tan = 4tan3cot5cos8 的符号为5如 cos tan 0,就 是 A第一象限角 B其次象限角C第一、二象限角 D其次、三象限角【课后检测】1 已知 是钝角,那么是（） 第 7 页

14、,共 41 页 2A第一象限角B其次象限角C第一与其次象限角D不小于直角的正角2 角 的终边过点P（ 4k,3k）k 0 ,就 cos 的值是（）A3 B4 5C3D4 5553已知点 Psin cos ,tan 在第一象限, 就在 0,2 内, 的取值范畴是A 2, 3 4 , 5 4 B 4, 2 , 5 4 C ,3 4,3 2 5D 4,3 4, 2424如 sinx= 5,cosx =4 5,就角 2x 的终边位置在 A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

15、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5如 4 6 ,且 与2终边相同,就 = 36 角 终边在第三象限,就角 2 终边在 象限7已知 tanx=tanx,就角 x 的集合为8假如 是第三象限角,就 cossin sinsin 的符号为什么？9已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积参考答案：【课堂练习】1 | =k + 4, kZ 2 A 3.5,12 54135 C 【课后检测】 1 A 2 B 3 B 4 D 516 36一、二72k + 2x2k + 或 2k +3 2x2k +2, kZ 8负9 2cm2第

16、 2 课同角三角函数的关系及诱导公式【学习目标】把握同角三角函数的基本关系式：sin 2 +cos 2 =1,sincos =tan ,tan cot =1,把握正弦、 余弦的诱导公式能运用化归思想 （即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【考点梳理】考点一、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：sin22 cos1;2 sec12 tan;12 csc1cot2. 2. 商数关系：tansin cos;cotcos sin. cossec3. 倒数关系： tansincot1;csc1;要点诠释：同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数,求其它

17、各三角函细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 41 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -数值；（ 2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. 三角变换中要留意“ 1” 的妙用, 解决某些问题如用 “1” 代换,如1sin2cos2,12 sec2 tantan45,就可以事半功倍；同时三角变换中仍要留意使用“ 化弦法” 、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式1. 2 k k Z , , , 2 的三角函数值等于 的同名三角函数值,前面

18、加上一个把 看成锐角时原函数值所在象限的符号 . 2. ,3 的三角函数值等于 的互余函数值,前面加上一个把 看成锐角2 2时原函数值所在象限的符号 . 要点诠释：1、诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090 角的三角函数值,本节公式较的多,要正确懂得和记忆,诱导公式可以用“ 奇变偶不变,符号看象限（奇、偶指的是2奇数倍、偶数倍）” 这个口诀进行记忆. 2、在利用诱导公式求三角函数的值时,肯定要留意符号；3、三角变换一般技巧有切化弦,降次,变角,化单一函数,妙用 1,分子分母同乘除,类型三、诱导公式细心整理归纳 精选学习资料 例4. 已知cos633,求cos56sin26的值 . 6 第

19、 9 页,共 41 页 36【答案】23【解析】cos5 661sin26cos62 sin cos12 cos 6cos2 sin 63233. 133 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -举一反三：【变式 1】运算： sin330cos240sin30cos601. 【答案】130 cos180+60 =【解析】原式sin360【变式 2】化简 sin4cos4. 【答案】 0【解析】原式sin4cos24sin4sin 40. 类型四、同角三角

20、函数的基本关系式细心整理归纳 精选学习资料 例 5已知sincos1,且 0求 sincos、 sincos的值； 第 10 页,共 41 页 5【答案】12；7 5cos2 cos1 25,25【解析】 方法一： 由sincos1可得：sin22sin5即12sincos1,sincos1225252 cos1 25,sincos1,sincos12525 sin、 cos是方程x21x120的两根,525sin43或sin4355coscos55 0, sin0 ,sin4,cos3,55sincos75方法二： 由sincos1可得：sin22sincos5即12sincos1,sinc

21、os122525cos0 0, sin0 , cos0 , sin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由（sincos2）12sincos12124925257sincos5举一反三：【变式】已知sincos2,求11的值 . 2sin2cos2【答案】 16sin2【解析】由sincos2可得：5cos23tan51222sincoscos212sincos1；2于是sincos1,411sin222 cos16sin2cos2sin2 cos例

22、 6已知 2sincos0 ,求以下各式的值（1）4sin 2sin3cos；（ 2）2sin23sincos5cos【答案】5；1245【解析】由 2sincos0 得tan1,24sin3cos（1）原式2sincos 5cos4tan35；3tan542 tan2cos（2）原式2 cos2 tan23tan5112tan5举一反三：【变式】已知tan2 ,求值1cos2（1）sin sincos；（ 2）2sincoscos【答案】1 3；53【解析】（1）原式sincostan11；cos cossintan13cos细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

23、 - - - - - 第 11 页,共 41 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）原式cos22sin122 coscoscos1tan2152 tan3【 课堂练习】1sin 2150 +sin 2135 +2sin210 +cos 2225 的值是 1 3 11 9A 4 B4 C4 D42已知 sin + =3 5,就 A cos = 4 5 Btan = 3 4 Ccos = 4 5 Dsin = 3 53已 tan =3,4sin 2cos5cos 3sin 的值为4化简 1+2sin -

24、2cos +2 = 5已知 是第三象限角,且 sin 4 +cos 4 = 5 9,那么 sin2 等于 A 2 3 2 B2 2 3 C2 3 D23【课后反馈】1sin600 的值是（） 第 12 页,共 41 页 A 1 2B1 2C3 D3 222 sin 4 + sin（ 4 ）的化简结果为（）A cos2B1 2cos2Csin2D1 2sin23已知 sinx+cosx=1 5, x 0, ,就 tanx 的值是（A 3 4B4C4 3D3 4或 434已知 tan =1 3,就1 2sin cos +cos 2= 512sin10 cos10的值为cos10 1cos21706

25、证明1+2sin cos cos 2 sin 2= 1+ tan 1tan细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7已知2sin +cos sin 3cos= 5,求 3cos2 +4sin2 的值8已知锐角 、 、 满意 sin +sin =sin ,cos cos =cos ,求 的值参考答案：【 课堂练习】1 A 2 D 354sin2cos2 5 A 7【课后反馈】1 D 2 B 3 B 410 35 1 6 略77

26、583第 3 课两角和与两角差的三角函数（一）【学习目标】把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,把握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【学问梳理】一两角和与差的正弦、余弦和正切公式：tan21tantan）；1, 第 13 页,共 41 页 coscos cossinsin； coscos cossinsin； sinsincoscos sin sinsincoscos sin；tantantantan（ tan1 tantantantantan（ tantantan1tantan）1 tantan二二倍角的正弦、余弦和正切公式：11 2sin（2 co

27、scos2 sin22sincoscos22 cossin22 2cos2sin21cos2）2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -tan212tantan 24 降幂公式:cos2 1cos2 ;sin21cos2 225半角公式:1cos cos21cos ;sin2221tg1cos 1sincos 21cos cos sin 6万能公式:2sin12 tg22 tg2;cos 1tg22 1tg2三帮助角公式sin

28、cos22sin,其中 tan注：（）这些公式既可以从左向右运用,也可以从右向左运用（）要会把一个角分成两个角的和与差（）在一个十字中,如既有正余弦又有正切,一般是先切化弦,而后在运算【解题技巧】：1、以变角为主线,留意配凑和转化；2、遇见切,想化弦；个别情形弦化切；3、见和差,想化积；见乘积,化和差；4、见分式,想通分,使分母最简；5、见平方想降幂,见“1 cos ” 想升幂；6、见 2sin ,想拆成 sin +sin ；7、见 sin cos 或 sin +sin =p 及 cos +cos =q,想两边平方或和差化积；8、见 asin +bcos ,想化为a2b2sin 形式；,如不行

29、,就化和差； 第 14 页,共 41 页 9、见 cos cos cos ,先运用cos sin2 2sin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【典型例题】1 1例 1 已知 sin sin =3,cos cos = 2,求 cos 的值 分析 由于 cos =cos cos +sin sin 的右边是关于 sin 、cos 、sin 、cos 的二次式,而已知条件是关于 平方sin 、sin 、cos 、cos 的一次式

30、,所以将已知式两边解 sin sin =1 3, cos cos = 1 2, 2 2 ,得 22cos = 1336cos = 72 59【 点评】审题中要善于查找已知和欲求的差异,设法排除差异2cos10 -sin20 例 2 求 cos20 的值 分析 式中含有两个角,故需先化简留意到 10 =30 20 ,由于 30 的三角函数值已知,就可将两个角化成一个角解10 =30 20 ,原式 =2cos30 -20 -sin20 cos202cos30 cos20 +sin30 sin20 -sin203 cos30= cos20= cos20= 3 【 点评】化异角为同角,是三角变换中常用

31、的方法例 3 已知： sin2 + = 2sin 求证： tan =3tan + 分析 已知式中含有角 2 + 和 ,而欲求式中含有角 和 + ,所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解2 + = + + , = + ,sin + + =2sin + sin + cos +cos + sin =2sin + cos +2cos + sin 如 cos + 0 ,cos 0,就 3tan + =tan 【 点评】审题中要认真分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将 + 看成一个整体【留意】审题中, 要善于观看已知式和欲求式的差异,留意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想细

32、心整理归纳 精选学习资料 例 4 求以下各式的值3 第 15 页,共 41 页 （1）tan10 tan50 +3 tan10 tan50 ；2 （3 tan12 -3） csc124cos 212 -21解原式 =tan10 +50 （1tan10 tan50 ） +3 tan10 tan50 =（ 2）分析式中含有多个函数名称,故需削减函数名称的个数,进行切割化弦 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解原式 = （3 sin12cos123）1=3sin3s