2022年中考数学专题探究面积问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载中考数学专题探究 -面积问题面积问题在中考中占有很重要的位置,一般情形下, 运算一些基本图形的面积,可以直接运用图形的面积公式,对于一些不规章的图形面积的运算,可以对图形进 行转化,这类问题虽然解题方法比较敏捷多样,但难度一般不太大；但是,在中考 压轴题中,有关面积的问题常常以动态的方式显现,常常与函数学问联系起来,有 时仍需要分类争论；因此,对考生要求较高,在解题时,要留意分清其中的变量和 不变量,并把运动的过程转化成静止的状态,做到动静结合,以静求动；考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、（2022 年湖南衡阳）如图

2、12,直线yx4与两坐标轴分别相交于A 、 B 点,点 M是线段 AB 上任意一点（ A 、B 两点除外）,过 M 分别作 MC OA 于点 C,MD OB 于 D（1）当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形 OCMD 为正方形时,将四边形OCMD 沿着 x 轴的正方向移动,设平移的距离为a（0a4,正方形OCMD 与 AOB 重叠部分的面积为S试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函数的图象B y M x B y A x B y A x D O C A

3、 O O 图 12（1）图 12（2）图 12（3）解：（1）设点 M 的横坐标为x,就点 M 的纵坐标为 x+4（ 0x0 , x+40 ）；就： MC x+4 x+4,MD x x；C四边形OCMD2（ MC+MD ） 2（ x+4+x ） 8 名师归纳总结 当点 M 在 AB 上运动时,四边形OCMD 的周长不发生变化,总是等于8；x第 1 页,共 11 页（2）依据题意得：S四边形 OCMD MC MD （ x+4）x x2+4x x-22+4 四边形 OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x（0x4 ）的二次函数,并且当2,即当点 M 运动到线段AB 的中点时, 四边形 OCMD 的面

4、积最大且最大面积为4；（3）如图 10（2）,当0a2时,S41a21a24；22如图 10（3）,当2a4时,S14a 21a4 2；22S 与 a 的函数的图象如下图所示：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载S 4S 1a 2（0 a 2 22S 1 a 4 （22 a 4 20 2 4 a2、（2022 宁夏） 已知： 等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米, 长为 1 厘米的线段 MN 在ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 /秒的速度向 B 点运动（运动开头时,点 M 与点 A 重合,点 N 到达点 B 时运动终

5、止）,过点 M、N 分别作 AB 边的垂线,与ABC 的其它边交于 P、Q 两点,线段 MN 运动的时间为 t 秒（1）线段 MN 在运动的过程中,t 为何值时, 四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段 MN 在运动的过程中, 四边形 MNQP 的面积为 S ,运动的时间为 t 求四边形 MNQP名师归纳总结 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量t 的取值范畴B B 第 2 页,共 11 页C 解：（1）过点 C 作 CDAB ,垂足为 D Q 就AD2,P 当 MN 运动到被 CD 垂直平分时,四边形MNQP 是矩形,即AM3 2时,四边形 MNQP

6、 是矩形,A M N t3 2秒时,四边形MNQP 是矩形PMAMtan60 = 323,S四边形MNQP332（2）1 当 01时,C tS 四边形MNQP1 2PMQNMNQ 13 t3t1P 23 t3 2A M N - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 当1 2时学习好资料欢迎下载P C Q B MNS 四边形MNQP1 2PMQN13 t33t 1A M N 23 233 当 2t3时,S 四边形MNQP1 2PMQNMNA C Q B 1 23334tP t3 t7 23M N 3、（ 2022 年辽宁丹东）如图,平面直角坐标系中有始终角梯

7、形 6, 4）OMNH,点 H的坐标为（ 8,0）,点 N的坐标为（1）画出直角梯形 OMNH绕点 O旋转 180 的图形 OABC,并写出顶点 A,B,C的坐标（点M的对应点为 A, 点 N的对应点为 B, 点 H的对应点为 C）；（2）求出过 A,B,C三点的抛物线的表达式；（3）截取 CE=OF=AG=m,且 E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积 S与 m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范畴； 面积 S 是否存在最小值.如存在,恳求出这个最小值；如不存在,请说明理由；（4）在（ 3）的情形下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情形,如存在,请直接 写出此时m

8、的值,并指出相等的邻边；如不存在,说明理由y解：（1） 利用中心对称性质,画出梯形 OABCA,B,C三点与 M,N,H分别关于点 O中心对称,A（0,4）,B（6, 4）,C（ 8,0）y D H（-8,0）OxA B N（-6,-4）MF 名师归纳总结 H 8 N 6, 4 O M E C x 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料yax欢迎下载（2）设过 A,B, C三点的抛物线关系式为2bxc ,抛物线过点A（ 0,4）,yax2bx4c4就抛物线关系式为将 B（6, 4）, C（8,0）两点坐标代入关系式,得36

9、 a 6 b 4 4,解得 a 14,64 a 8 b 4 0b 32所求抛物线关系式为：y 1 x 2 3 x 44 2（3） OA=4,OC=8, AF=4m,OE=8mS 四边形 EFGB S 梯形 ABCO SAGF SEOF SBEC1 OA（ AB+OC）1 AFAG1 OEOF1 CE OA2 2 2 21 4（6 8）1 m 4 m 1 m 8 m 1 4 m2 2 2 2m 2 8 m 28（ 0 m 4）2S m 4 12 当 m 4 时, S的取最小值又0 m4,不存在 m值,使 S的取得最小值（4）当 m 2 2 6 时, GB=GF,当 m 2 时, BE=BG4、如

10、下列图, 菱形 ABCD 的边长为 6 厘米,B 60 从初始时刻开头,点 P 、 Q 同时从 A点动身,点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B 的方向运动,点 Q 以 2 厘米 /秒的速度沿A B C D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、 Q 两点同时停止运动,设 P 、 Q运动的时间为 x 秒时,APQ 与ABC 的面积为 y 平方厘米 （这里规定： 点和线段是面积为 O 的三角形）,解答以下问题：（1）点 P 、 Q 从动身到相遇所用时间是秒；是等边三角形时x 的值是B 秒；（2）点 P 、 Q 从开头运动到停止的过程中,当APQD C （3）求 y 与 x 之间

11、的函数关系式P A Q （第 28 题）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载解：（1）6（2）8（3）当 0x3时,P3D Q3C O P2Q2P1E A Q1B 3x2ySAPQ 131AP AQ1sin 601 x22x3222当 3x6时,ySAPQ 12=1AP PQ 221AP CQ 2sin6021x12- 2 322=3x23 3 .2当 6x9时,设P Q 与 AC 交于点 O 解法一 名师归纳总结 过Q 作Q ECB,就CQ E为等边三角形3第 5 页,共 11 页Q ECECQ

12、 32 x12.Q ECB .COP 3EOQ 3OCCP 32x61 , 2OEEQ3x12OC1CE1 2 3x12,3ySAQP 3SACP 3- SCOP 31CP ACsin 601OC CP3sin 60221x663112x12x622232- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3x27 3x15 3学习好资料欢迎下载62（解法二）名师归纳总结 如右图,过点 O 作OFCP 于点 F ,OGCQ ,于点G,Q3G C H B 第 6 页,共 11 页过点3P 作P HDC 交 DC 延长线于点 H D ACBACD,A O F P3OFOG.

13、又CP 3x6,CQ3,2x122x6,SCQP 31SCOQ32SCOP 31SCP Q 3 3,3112CQ P H 3 3311 2 2x12x63233 6x2 6 .又SACP31CP AC 3sin 6021x663223 3 2x6.ySAOP 3SACP 3SOCP 33 3x63x62263x27 3x15 3.62- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点 2、面积最值问题典型例题：1、（ 2022 年广东广州）如图 11,在梯形 ABCD 中, AD BC,AB=AD=DC=2cm ,BC=4cm ,在等腰PQR

14、中, QPR=120 ,底边 QR=6cm ,点 B、C、Q、R 在同始终线 l 上,且 C、Q两点重合, 假如等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动,t 秒时梯形 ABCD与等腰PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米（1）当 t=4 时,求 S 的值（2）当 4 t,求 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值解（1）t4 时,Q 与 B 重合, P 与 D 重合,图 11 重合部分是BDC 1 2223232当4t10 时,如图QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 名师归纳总结 由PQR BQM CRN2CRN6t2SPQR3 6t2第 7 页,

15、共 11 页得SBQMt 24 23SCRN6tSSPQR23PQRSBQMt42SPQR3t42 ,S234234S333（4t2 4）36-t2353t-52422当 t 取 5 时,最大值为532- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 t 取 6 时,有最大值2学习好资料欢迎下载3综上所述,最大值为532二、名题精练：1、（2022 湖南永州） 如图,在平面直角坐标系中,点 A、C 的坐标分别为 10 0,、 ,3,点 B在 x 轴上已知某二次函数的图象经过 A 、 B 、 C 三点,且它的对称轴为直线 x 1,点 P 为直线 BC 下方的二次函数

16、图象上的一个动点（点 BC 于点 F（1）求该二次函数的解析式；P 与 B 、 C 不重合）,过点 P 作 y 轴的平行线交名师归纳总结 （2）如设点 P 的横坐标为 m,用含 m 的代数式表示线段PF 的长A y B x 第 8 页,共 11 页（3）求PBC面积的最大值,并求此时点P 的坐标解：（1）设二次函数的解析式为O F yax2bxc a0, 、 、 为常数,abc0A C x=1P B x 由抛物线的对称性知B 点坐标为 3 0,依题意得：9 a3 bc0（第 25 题）c3a3 3y 解得：b2 3O F 3c3C x=1P 所求二次函数的解析式为y3x22 3x3332 3m

17、3（第 25 题）（2）P 点的横坐标为m, P点的纵坐标为3m233- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设直线 BC 的解析式为y学习好资料欢迎下载3kb30kxb k0, 、 是常数 ,依题意,得b3k3b 3故直线 BC 的解析式为 y 3x 33点 F 的坐标为 m,3m 333 2PF m 3 m 0 m 33（3）PBC 的面积 S SCPF SBPF 1 PF BO221 3 2 3 3 9 3= m 3 m 3 m2 3 2 2 8当 m 3时,PBC 的最大面积为 9 32 8把 m 3代入 y 3m 2 2 3m 3 得 y 5 32

18、 3 3 4点 P 的坐标为 3,5 32 42、（2007 年淮安）在平面直角坐标系中,放置一个如下列图的直角三角形纸片 AOB,已知 OA=2 AOB=30 ,D、E 两点同时从原点 O动身, D点以每秒 3 个单位长度的速度沿 x 轴的正方向运动, E点以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴的正方向运动,设 D、E 两点运动的时间为 t 秒；（1）点 A的坐标为,点 B 的坐标为；（2）在点 D、E 运动的过程中, 直线 DE与直线 OA垂直吗？请说明理名师归纳总结 3 当 t 在什么范畴时,直线DE与线段 OA有公共点？第 9 页,共 11 页（4）将直角三角形纸片AOB在直线 DE下

19、方的部分沿直线DE向上折叠,设折叠后重叠部分的面积为s,请写出 s 与 t 的函数关系式,并求出s 的最大值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料中,A欢迎下载10,ABC的面积为 25,点4、（2022 年湖北恩施） 如图 12,在ABC90,BCD 为 AB 边上的任意一点（D 不与 A 、 B 重合）,过点 D 作 DEBC,交 AC 于点 E 设DE x ,以 DE 为折线将ADE 翻折（使ADE 落在四边形 DBCE 所在的平面内） ,所得的A DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y A （1）用 x 表示ADE 的面积；D

20、E （2）求出 0 x5 时 y 与 x 的函数关系式；AB C （3）求出 5 x 10 时 y 与 x 的函数关系式；图 12 （4）当 x 取何值时, y 的值最大？最大值是多少？A 解:1 DE BC ADE=B, AED=C ADE ABC S ADE DE 2 B C S ABC BC即 S ADE 1 x 242 BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为 5 当 0x 5 时 y S ADE 1 x 24（ 3）5 x 10 时,点 A落在三角形的外部 , 其重叠部分为梯形S ADE=S ADE= 1 x 24DE边上的高 AH=AH= 1 x2由已知求得 AF=5 AF=AA-AF=x-5 由 AMN ADE知名师归纳总结 SAMNAF2中3x2中10 x25第 10 页,共 11 页ADESAHSAMNx52y1x2x5 244（4）在函数y1 x 420 x5 2525当 x=5 时 y 最大为：4在函数y3x210 x4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x学习好资料欢迎下载b20时 y 最大为：252a3325 4253 20时, y 最大为：25当x33名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页