2022年菱形性质和判定复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 菱形性质和判定复习 教案 适用学科数学适用年级中学二年级适用区域全国课时时长（分钟）60 学问点1.菱形的性质2.菱形的判定教学目标1.把握菱形的定义；会用菱形的对角线长来2.探究并把握菱形的性质；3.会用菱形的定义和性质进行有关的论证和运算,运算菱形的面积；4.菱形的判定定理的运用教学重点 1.菱形的把握菱形的性质和应用；2.把握菱形的性质推导及面积运算方法的推导教学难点 1.应用菱形的定义和性质进行合理的论证和运算2,运用综合法解决菱形的相关题型名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页精选学习资料 - - - - -

2、 - - - - 教学过程 一、 复习预习 回忆 : 平行四边形的性质和判定学习过程：老师活动： 老师教具演示,移动平行四边形的一边,使之一组邻边相等,引出菱形与平行四边形的关系,由此得到菱形的概念；同学活动：一剪一剪：将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,打开即可1、观看所剪的菱形纸片,摸索以下问题：A B O D C 图 1 名师归纳总结 （1）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？第 2 页,共 30 页（2）有哪些是等腰三角形？哪些是直角三角形？（3）它是轴称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

3、 - 2、归纳菱形的特别性质：（1 ）边（2 ）对角线（3 ）对称性一探究一、 1、自主自习：菱形的对边 _ 菱形的性质菱形的四边 _ 菱形的对角线 _；菱形是 _ 对称图形；菱形的面积 =_或菱形的面积 = _ 四边 _的平行四边形是菱形；一组 _ 的四边形是菱形；菱形的判定：对角线 _ 的平行四边形是菱形；对角线 _ 的四边形是菱形；2、合作探究：如图,四边形ABCD 是边长为 13 cm的菱形,其中对角线BD 长 10 cm ,求： 1 对角线 AC 的长度； 2 菱形 ABCD 的面积由此（ 2）推出： S 菱形 = 对角线乘积的一半名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,

4、共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、学问讲解考点 1 菱形的性质菱形是特别的平行四边形,它具有平行四边形的全部性质,仍具有自己特殊的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补,对角相等 对角线性质：对角线相互垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形,也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线相互垂直,其面积就等于对角线乘积的一半菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

5、,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 易错点 1 重点是菱形的性质和判定定理；菱形是在平行四边形的前提下定义的,第一它是平行四边形, 但它是特别的平行四边形,特别之处就是“ 有一组邻边相等” ,因而就增加了一些特别的性质和不同于平行四边形的判定方法；菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的连续,又是以后要学习的正方形的基础；难点是菱形性质的敏捷应用；由于菱形是特别的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质, 同时仍具有自己特殊的性质；假如得到一个平行四边形是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线的条件,在实际解题中,应当应用哪些条件,怎样应用这些条件,常名

6、师归纳总结 常让很多同学手足无措,老师在教学过程中应赐予足够重视；第 5 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、 例题精析【例题 1 】【题干】 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如下列图 AOC=45 ,OC=,就点 B的坐标为（）A、（, 1）B、（1,）C、（+1 ,1） D、（1,+1 ）【答案】 应选 C【解析】：依据菱形的性质,作CDx 轴,先求 C 点坐标,然后求得点B 的坐标解答： 解：作 CDx 轴于点 D,四边形 OABC 是菱形, OC=, OA=OC=,又AOC=45 OCD为等腰直角三角形, OC=, O

7、D=CD=OCsin45=1 ,就点 C 的坐标为（ 1,1 ）,名师归纳总结 又 BC=OA=,B 的纵坐标为CD=1 ,第 6 页,共 30 页B 的横坐标为OD+BC=1+就点 B 的坐标为（+1 ,1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题 2 】【题干】 如图,在ABC 中, AB=AC ,D 是 BC 的中点,连接AD ,在 AD 的延长线上取一点 E,连接 BE,CE（1 ）求证：ABEACE；（2 ）当 AE 与 AD 满意什么数量关系时,四边形ABEC 是菱形？并说明理由【答案】（1 ）证明：AB=AC ,点 D 为 BC 的中点,

8、 BAE= CAE, AE=AEABEACE（SAS）或 DE=AE）时,四边形ABEC 是菱形（2 ）解：当 AE=2AD （或 AD=DE理由如下： AE=2AD , AD=DE ,又点 D 为 BC 中点, BD=CD,四边形 ABEC 为平行四边形, AB=AC ,四边形 ABEC 为菱形名师归纳总结 【解析】由题意可知三角形三线合一,结合SAS 可得ABEACE四边形 ABEC 相邻两第 7 页,共 30 页边 AB=AC ,只需要证明四边形ABEC 是平行四边形的条件,当AE=2AD （或 AD=DE或DE=AE）时,依据对角线相互平分,可得四边形是平行四边形- - - - - -

9、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题 3 】如图,在由12 个边长都为1 且有一个锐角为60 的小菱形组成的网格中,点P是其中的一个顶点,以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形）,请你写出全部可能的直角三角形斜边的长【答案 】：解：如下列图, PD=1 ,每个菱形有一个角是 60 , PC= APB=90 斜边 CD=2 ,CB=,DA=,AB=4 【解析 】依据已知求得PD ,PC 的长,再依据勾股定理即可求得斜边的长名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、课堂运用【基

10、础】 1、如图：在菱形ABCD 中, AC=6 ,BD=8 ,就菱形的边长为（）A、 5 B、10 C、6 D、8 【答案 】解：设 AC 与 BD 相交于点 O,由菱形的性质知：AC BD,AC=3 , OB=BD=4 在 Rt OAB中, AB=5 所以菱形的边长为5应选 A【解析 】：依据菱形的性质：菱形的对角线相互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角,可知每个直角三角形的直角边,依据勾股定理可将菱形的边长求出名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知：如图,在梯形 ABCD 中, AB CD,BC= CD,

11、AD BD,E 为 AB 中点,求证：四边形 BCDE 是菱形【答案】 AD BD,ABD 是 Rt E 是 AB 的中点,BE=1 2AB,DE=1 2AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）,BE= DE,EDB=EBD,CB= CD,CDB=CBD,AB CD,EBD=CDB,EDB=EBD=CDB=CBD,BD= BD,EBDCBD （SAS ）,BE= BC,CB= CD= BE= DE,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 菱形 BCDE（四边相等的四边形是菱形）3、如图,四边形ABCD 为菱形,已

12、知A（0,4）,B（ 3,0）（1）求点 D 的坐标；（2）求经过点 C 的反比例函数解析式【答案】（1 ）A（0 ,4 ）,B（ 3,0）,OB=3 , OA=4 ,AB=5 在菱形 ABCD 中,AD = AB=5 ,OD =1 ,D（0 , 1 ）（2）BC AD ,BC= AB=5 ,C（ 3 , 5）设经过点 C 的反比例函数解析式为y=k把（ 3, 5）代入解析式得： k=15 ,y=15xx【解析】 依据菱形的性质及反比例函数图像得名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】：1 、如图,在 .ABC

13、D 中, E,F 分别为边 AB,CD 的中点,连接 DE、BF、 BD（1 ）求证：ADECBF（2 ）如 AD BD,就四边形BFDE 是什么特别四边形？请证明你的结论【答案 】（1 ）证明：在平行四边形ABCD 中,A= C,AD=BC , E、F 分别为 AB、CD 的中点, AE=CF 在AED和CFB中,AEDCFB（SAS）；（2 ）解：如 AD BD,就四边形 BFDE 是菱形证明：AD BD,ABD是直角三角形,且ADB=90 E是 AB 的中点, DE= AB=BE 名师归纳总结 由题意可知EBDF且 EB=DF ,第 12 页,共 30 页- - - - - - -精选学

14、习资料 - - - - - - - - - 四边形 BFDE 是平行四边形四边形 BFDE 是菱形【解析 】1）依据题中已知条件不难得出,AD=BC , A= C,E、F 分别为边 AB、CD 的中点,那么 AE=CF ,这样就具备了全等三角形判定中的 SAS,由此可得出AEDCFB（2 ）直角三角形 ADB 中, DE 是斜边上的中线,因此 DE=BE ,又由 DE=BF , FDBE那么可得出四边形 BFDE 是个菱形2. 、如下列图,矩形 ABCD 的对角线相交于 O ,AE 平分BAD,交BC 于 E, CAE=15 ,那么AOB=CAE=15 和 AE 平分BAD【答案 】：解： B

15、AO=45 +15 =60 ,又 AO=BO,ABO为等边三角形, AOB=60 ,名师归纳总结 故答案为60 BAD,即可求得BAO=60 ,再依据 OA=OB即可判第 13 页,共 30 页【解析 】依据CAE=15 和 AE 平分定ABO为等边三角形,即可求AOB,即可解题- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、如下列图,在梯形ABCD 中, ADBC,AB=AD , BAD的平分线AE 交 BC 于点 E,连接 DE（1 ）求证：四边形 ABED 是菱形；（2 ）如ABC=60 ,CE=2BE ,试判定CDE 的外形,并说明理由【答案】（1 ）证

16、明：如图,平分BAD, 1= 2, AB=AD ,AE=AE ,BAEDAE, BE=DE , ADBC, 2= 3= 1, AB=BE , AB=BE=DE=AD ,四边形 ABED 是菱形名师归纳总结 （2 ）解：CDE 是直角三角形第 14 页,共 30 页如图,过点D 作 DFAE交 BC 于点 F,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就四边形 AEFD 是平行四边形, DF=AE ,AD=EF=BE , CE=2BE , BE=EF=FC , DE=EF ,又ABC=60 , ABDE, DEF=60 ,DEF 是等边三角形, DF=EF=FC

17、 ,名师归纳总结 CDE 是直角三角形第 15 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【拔高 】1、如图,在菱形ABCD 中,BAD=80 ,AB 的垂直平分线交对角线AC 于点 F,点 E 为垂足,连接DF ,就CDF 为（）解答： 解：如图,连接BF,在BCF和DCF中, CD=CB, DCF= BCF,CF=CF BCFDCF CBF= CDF FE垂直平分 AB, BAF= 80 =40 ABF= BAF=40 ABC=180 80 =100 ,CBF=100 40 =60 CDF=60 【解析 】：连接 BF,利用 SAS 判定B

18、CFDCF,从而得到CBF= CDF,依据已知可注得 CBF的度数,就CDF 也就求得了3、以四边形 ABCD 的边 AB 、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶名师归纳总结 点分别为 E、F、G、H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH2,当第 16 页,共 30 页（1 ）如图 1 ,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发觉四边形EFGH 是正方形；如图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四边形 ABCD 为矩形时,请判定：四边形EFGH 的外形（不要求证明） ；（2 ）如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设 （ 0

19、 90 ）试用含 的代数式表示HAE；求证： HE HG ；四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由【答案】（1 ）答：四边形 EFGH 的外形是正方形（2 ）解：HAE 90 在平行四边形 ABCD 中 ABCD, BAD 180 ADC 180 HAD和EAB是等腰直角三角形, HAD EAB 45 , HAE 360 HAD EAB BAD 360 45 45 （a） 90 180 答：用含 的代数式表示是 90 a证明：AEB DGC是等腰直角三角形,名师归纳总结 AE2AB ,DG 2CD ,第 17 页,共 30 页22在平行四边形ABCD 中, AB CD ,- - - - -

20、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - AEDG ,HAD和GDC是等腰直角三角形, HDA CDG 45 , HDG HDA ADC CDG 90 a HAE,HAD是等腰直角三角形, HAHD ,HAEHDC, HEHG 答：四边形 EFGH 是正方形,理由是：由同理可得：GH GF,FGFE, HEHG , GHGF EFHE,四边形 EFGH 是菱形,HAEHDG, DHG AHE, AHD AHG DHG 90 , EHG AHG AHE 90 ,四边形 EFGH 是正方形名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 30 页精选学习资料 - - - -

21、 - - - - - 【解析】（1 ）依据等腰直角三角形得到角都是直角,且边都相等即可判定答案；名师归纳总结 （2 ）HAE 90 a,依据平行四边形的性质得出, BAD 180 a,依据HAD和EAB第 19 页,共 30 页是等腰直角三角形,得到HAD EAB 45 ,求出即可；HAE依据AEB 和DGC是等腰直角三角形,得出AE2AB ,DG 2CD ,平行四边形22的性质得出AB CD ,求出HDG 90 a HAE,证HAEHDC,即可得出 HEHG ；由同理可得：GH GF, FG FE,推出GH GF EFHE ,得出菱形EFGH ,证 HAEHDG,求出AHD 90 ,EHG

22、90 ,即可推出结论- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 课程小结 1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半2菱形的性质菱形是特别的平行四边形,它具有平行四边形的全部性质,仍具有自己特殊的性质：边的性质：对边平行且四边相等角的性质：邻角互补,对角相等对角线性质：对角线相互垂直平分且每条对角线平分一组对角对称性：菱形是中心对称图形,也是轴对称图形3、菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形课后作业名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 30 页精

23、选学习资料 - - - - - - - - - 【基础】1、如图,在菱形 ABCD 中, AB=5 , BCD=120 ,就对角线AC 等于（）A、 20 B、15 C、10 D、5 AB=BC , B+ BCD=180 ,BCD=120 【答案】解： B=60 ABC 为等边三角形 AC=AB=5应选 D【解析】依据菱形的性质及已知可得为等边三角形,从而得到AC=AB 2.能判定一个四边形是菱形的条件是（）名师归纳总结 A、对角线相等且相互垂直 B、对角线相等且相互平分第 21 页,共 30 页C、对角线相互垂直D、对角线相互垂直平分- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

24、 - - - - 【答案】依据菱形的判定方法：对角线相互垂直平分来判定即可解：菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线相互垂直平分的四边形是菱形只有 D 能判定为是菱形,应选 D【解析】依据菱形的判定方法：对角线相互垂直平分来判定即可3、如图,在平行四边形 ABCD 中,点 P 是对角线 AC 上一点, PE AB, PF AD,垂足分别为 E、F,且 PE=PF,平行四边形【答案】 解：是菱形ABCD 是菱形吗？为什么？名师归纳总结 理由如下： PE AB, PF AD,且 PE=PF,第 22 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 -

25、- - - - - - - - AC 是DAB 的角平分线,DAC=CAE,四边形 ABCD 是平行四边形,DCAB,DCA= CAB, DAC= DCADA=DC ,平行四边形 ABCD 是菱形名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【巩固】1、四边形的四边长顺次为 a、b、c、d ,且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,就此四边形肯定是（）A、平行四边形 B、矩形C、菱形 D 、正方形【答案】应选 C【解析】 此题可通过整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad 得到（a b）2+（

26、 b c）2+ （c d ） 2+ （a d） 2=0 ,从而得出 a=b=c=d,四边形肯定是菱形解：整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,2（a2+b2+c2+d2）=2 （ab+bc+cd+ad）,）（a b ）2+ （b c）2+ （c d ）2+ （a d ）2=0 ,由非负数的性质可知： （a b ）=0 ,（b c）=0 ,（c d ）=0 ,（a d ）=0 , a=b=c=d,四边形肯定是菱形,名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【拔高 】1、如图,已知点D 在ABC的 B

27、C 边上,DEAC 交 AB 于 E, DFAB交 AC 于 F（1 ）求证： AE=DF ；（2 ）如 AD 平分BAC,试判定四边形AEDF 的外形,并说明理由【答案】证明： （1） DEAC, ADE= DAF,同理DAE= FDA, AD=DA ,ADEDAF, AE=DF ；（2 ）如 AD 平分BAC,四边形AEDF 是菱形, DEAC, DFAB,四边形 AEDF 是平行四边形, DAF= FDA AF=DF 平行四边形 AEDF 为菱形名师归纳总结 【解析】 1）利用 AAS 推出ADEDAF,再依据全等三角形的对应边相等得出AE=DF ；第 25 页,共 30 页- - -

28、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2 ）先依据已知中的两组平行线,可证四边形DEFA 是.,再利用AD 是角平分线,结合AEDF,易证DAF= FDA,利用等角对等边,可得AF=DF ,从而可证 .AEDF 实菱形2、如图,已知的面积为 3 ,且 AB=AC ,现将ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到 EFA （1 ）求ABC 所扫过的图形的面积；（2 ）试判定 AF 与 BE 的位置关系,并说明理由；（3 ）如BEC=15 ,求 AC 的长【答案】解：（1）连接 BF,由题意知ABCEFA , BABA=EF EF,且四边形 ABFE 为平行四边形,S

29、平行四边形ABFE=2S EAFABC 扫过图形的面积为S ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；（2 ）由（ 1）知四边形ABFE 为平行四边形,且AB=AE ,名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四边形 ABFE 为菱形, AF与 BE 相互垂直且平分（3 ）过点 B 作 BD CA 于点 D, AB=AE , AEB= ABE=15 BAD=30 BD=AB= AC BD.AC=3 ,AC.AC=3 AC2=12 AC=2【解析】（1 ）依据题意：易得ABCEFA , BABA=EF ,进而得出 S 平行

30、四边形 ABFE=2S EAF,故可求出ABC 扫过图形的面积为 S ABC+S 平行四边形 ABFE；（2 ）依据平移的性质,可得四边形 ABFE 为菱形,故 AF 与 BE 相互垂直且平分；（3 ）依据题意易得：所以AEB= ABE=15 ,BD.AC=3 ,AC.AC=3 ,进而可得AC 的长度3、已知：在梯形 ABCD 中,AD BC,ABC 90 ,BC 2AD ,E 是 BC 的中点,连接 AEAC（1 ）点 F 是 DC 上一点,连接EF,交 AC 于点 O（如图 1 ）,求证： AOECOF；名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 30 页精选学习资料 - -

31、 - - - - - - - （2 ）如点 F 是 DC 的中点,连接BD,交 AE 与点 G（如图 2）,求证：四边形EFDG 是菱形【答案】（1 ）证明：点 E 是 BC 的中点, BC2AD ,1 ECBEBCAD ,2又 ADDC,四边形 AECD 为平行四边形, AEDC, AEO CFO, EAO FCO,名师归纳总结 AOECOF；第 28 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2 ）证明：连接 DE, DE平行且等于 BE,四边形 ABED 是平行四边形,又 ABE 90 ,ABED是矩形,1BD 1AE, GEGA GB

32、GD 22 EF 分别是 BCCD 的中点, EFGE 是CBD的两条中线,1 1 EFBD GD ,GECD DF,2 2又 GEGD , EFGDGEDF,四边形 EFDG 是菱形【解析】（1 ）由点 E 是 BC 的中点, BC2AD ,可证得四边形得AOECOF；AECD 为平行四边形,即可名师归纳总结 （2 ）连接 DE,易得四边形ABED 是平行四边形,又由ABE 90 ,可证得四边形第 29 页,共 30 页是矩形,依据矩形的性质,易证得EFGD GEDF,就可得四边形EFDG 是菱形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 30 页