2022年中考数学压轴题汇编函数与几何综合.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考压轴题汇编（一）函数与几何综合的压轴题1.（2004 安徽芜湖） 如图, 在平面直角坐标系中,AB、CD 都垂直于 x 轴,垂足分别为B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A-2,-6, C1,-3 1 求证： E 点在 y 轴上；2 假如有一抛物线经过A,E, C 三点,求此抛物线方程. 3 假如 AB 位置不变, 再将 DC 水平向右移动kk0个单位,此时 AD 与 BC 相交于 E 点,如图,求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式 . y O ED B y D B A O x 图x E C（1+k,-3）C（1, -

2、3）A （2,-6）（2,-6）图解 （ 1）（本小题介绍二种方法,供参考）方法一：过 E 作 EOx 轴,垂足 OAB EO DCEO DO , EO BOAB DB CD DB又 DO +BO =DBEO EO 1AB DCAB=6,DC =3, EO=2又DO EO,DO EO DB 2 3 1DB AB AB 6DO =DO ,即 O与 O 重合, E 在 y 轴上方法二：由 D（1,0）,A（-2,-6）,得 DA 直线方程： y=2x-2再由 B（-2,0）,C（1,-3）,得 BC 直线方程： y=-x-2 x 0联立得y 2E 点坐标（ 0,-2）,即 E 点在 y 轴上名师归

3、纳总结 （2）设抛物线的方程y=ax2+bx+ca 0过 A（-2,-6）,C（ 1,-3）第 1 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4a2bc6E（0,-2）三点,得方程组ab2c3c解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法,供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后,过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 轴垂足为 F；同（ 1）可得：E F ABE F 1DCE F得： EF=2 DF1 3DB2DBDF DB,方法一：又 EF ABABSAEC= SADC- SEDC=1 2=

4、1 DC DB =DB=3+ k 3DCDB1DCDF1 2DC23S=3+k 为所求函数解析式方法二： BA DC, S BCA=S BDAS AEC= S BDE1BD2S=3+k 为所求函数解析式E F1 3 2k23k2=14 AC. 证法三： S DECS AEC=DEAE =DCAB=12 同理： S DECS DEB=12,又 S DECS ABE=DC2ABSAE C2S 梯形ABCD21ABCDBD3k992M （1,0）为圆心、直径S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图,在直线坐标系中,以点为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （1）求

5、点 A 的坐标；（2）设过点 A 的直线 yxb 与 x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接 BC,记ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为 S2,如S 1h,抛物线. S 24yax2 bxc 经过 B、M 两点,且它的顶点到x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式解（1）解：由已知AM 2 ,OM 1,在 Rt AOM 中, AO AM2OM21,点 A 的坐标为 A（0, 1）名师归纳总结 （2）证：直线yx b 过点 A （0,1） 10b 即 b1yx 1 第 2 页,共 32 页令 y0 就 x 1B（1,0）,- - - - -

6、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB BO2AO21 21 22在 ABM 中, AB 2 ,AM 2 ,BM 2 2 2 2 2 2AB AM 2 2 4 BM ABM 是直角三角形,BAM 90直线 AB 是 M 的切线（3）解法一：由得BAC 90, AB 2 , AC222 ,B 10M C x BC AB 2AC22222 BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC,y S 1BC21025222A 而S 2AC222222D 2S 1h,5h,h5即2S 244设经过点 B（1,0）、M （1,0）的抛物线的解析式为：ya（ 1）（x1）,（a 0）即 y

7、ax2 a, a5, a5 抛物线的解析式为 y5x2 5 或 y 5x25 解法二：（接上）求得 h5 由已知所求抛物线经过点B（1,0）、M （1、0）,就抛物线的对称轴是 y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为（0,5）抛物线的解析式为 ya（x 0）25 又 B（ 1,0）、M（1,0）在抛物线上,抛物线的解析式为 y5x 25 或 y 5x 25 解法三：（接上）求得h5 由于抛物线的方程为 y ax 2bxc（a 0）a50, a5 名师归纳总结 abc05a5a55第 3 页,共 32 页由已知得abc0解得b0或b04acb2c5c4ay5x25 或 y 5x25. 抛物线的解析式

8、为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.2004 湖北荆门 如图,在直角坐标系中,以点P（1,1）为圆心, 2 为半径作圆,交 x 轴于A、B 两点,抛物线yax2bxca0过点 A、B,且顶点 C 在P 上. 1求 P 上劣弧AB 的长；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否存在一点 D,使线段 OC 与 PD 相互平分？如存在,求出点 D 的坐标；如不存在,请说明理由 . y 解 （ 1）如图,连结 PB,过 P 作 PM x 轴,垂足为 M. A B 在 Rt PMB 中, PB=2,PM=1, O x P（1,1） MPB 60, APB 120

9、AB 的长120180 2 43 C （2）在 Rt PMB 中, PB=2,PM=1, 就 MB MA 3 . y 又 OM=1 , A（13 ,0）,B（13 ,0）,由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上,A M B 就 C1, 3. O P（1,1）x 点 A 、B、 C 在抛物线上,就20 a 1 3 b 1 3 c a 1 C 20 a 1 3 b 1 3 c 解之得 b 23 a b c c 22抛物线解析式为 y x 2 x 2（3）假设存在点 D,使 OC 与 PD 相互平分,就四边形 OPCD 为平行四边形,且 PC OD. 又 PC y 轴,点 D 在 y 轴上

10、, OD 2,即 D（0, 2） . 又点 D（0, 2）在抛物线yx22x2上,故存在点D（0, 2）,使线段 OC 与 PD 相互平分 . 4.（2004 湖北襄樊） 如图, 在平面直角坐标系内,Rt ABC 的直角顶点 C（0,3）在 y 轴的正半轴上, A、B 是 x 轴上是两点,且 OAOB 31,以 OA、OB 为直径的圆分别交 AC于点 E,交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想 . （3）在 AOC 中,设点 M 是 AC 边上的一个动点,过 M 作 M

11、N AB 交 OC 于点 N.试问：在 x 轴上是否存在点 P,使得 PMN 是一个以 MN 为始终角边的等腰直角三角形？如存在,求出 P 点坐标；如不存在,请说明理由 . y E C 名师归纳总结 A O1O Q F x 第 4 页,共 32 页O2B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解1在RtABC中,OCAB, AOC COB . OC 2OAOB . OAOB3 1,C0,3, y3x22A O1E N y F x 323 OB OB .OB1.OA3. A-3,0,B1,0. 设抛物线的解析式为yax2bxc.C 就9 a3 bc0,0,解

12、之,得a3 , 3M Q 3 1 2 2 33,4 abcbP O2B O c3.c3 x3.3.经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为332EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结O1E、OE、OF. ECF AEO BFO90, 四边形 EOFC 为矩形 . QEQO. 1 2. 3 4,2+4 90,EF 与 O1 相切 . 同理：EF理O2 相切. 3作 MPOA 于 P,设 MNa,由题意可得MNOA, MPMN a. CMN CAO. 名师归纳总结 MNCN.第 5 页,共 32 页AOCOa33a.3解之,得a3 33 .2此时,四边形OPMN 是正方形 . MNOP3 3

13、3 .2P3 33,0.2PMNO 此时为正方形,考虑到四边形点 P 在原点时仍可满意PNN 是以 MN 为始终角边的等腰直角三角形 . 故 x 轴 上 存 在 点 P 使 得 PMN 是 一 个 以 MN 为 一 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 且P3 33,0或P0,0.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.（2004 湖北宜昌）如图,已知点A0 ,1、C4,3、E 4 15 ,23 ,P 是以 AC 为对角线的 8矩形 ABCD 内部 不在各边上 的个动点,点D 在 y 轴,抛物线yax2+bx+1 以 P 为顶点1说明点 A 、C

14、、E 在一条条直线上；名师归纳总结 2能否判定抛物线yax2+bx+1 的开口方向 .请说明理由；第 6 页,共 32 页3设抛物线 yax2+bx+1 与 x 轴有交点 F、GF 在 G 的左侧 , GAO 与 FAO 的面积差为3,且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗 .如能,恳求出 a、b 的值；如不能,请确定a、 b 的取值范畴Y 此题图形仅供分析参考用 D P C 解 （1）由题意,A0,1、C4,3确定的解析式为： y=1x+1. A B 2将点 E 的坐标 E15 ,423 代入 y= 2 8x+1 中,左边 =23 ,右 8O X 边=1 4 15

15、+1=23 ,8左边 =右边,点E 在直线 y=1x+1 上,即点 A 、C、E 在一条直线上 . 2（2）解法一： 由于动点P 在矩形 ABCD 内部, 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标, 而点 A与点 P 都在抛物线上,且P 为顶点,这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下解法二：抛物线y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为4ab2,且 P 在矩形 ABCD 内部,4 a14ab23,由 1 1b2得b20, a0,抛物线的开口向下. 4 a4 a4 a（3）连接GA 、FA, S GAO S FAO=3 2 1 GOAO 2 1 FOAO=3 OA=1,GOFO=6. 设 F（x1,

16、0）、G（x2,0）,就 x1、x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且x1x2,又a0, x1 x2=1 0, x10 x2,aY GO= x2,FO= x1, x2（ x1）=6,D P E C 即 x2+x1=6, x2+x1= bb =6,aaA b= 6a, B 抛物线解析式为：y=ax26ax+1, 其顶点 P 的坐标为（ 3,F O G X 19a）, 顶点 P 在矩形 ABCD 内部,119a3, 2 a0. 9由方程组y=ax26ax+1 得： ax2（ 6a+1 ）x=0 2y= 2 1 x+1 x=0 或 x=6aa1=6+1 . 2 a2当 x=0 时,即抛物线与

17、线段AE 交于点 A ,而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有： 06+1 2 a15 ,解得：42 a9112综合得：2 a9 12 1 b= 6a, 2 1 b436.（2004 湖南长沙） 已知两点 O0,0、B0,2,A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点 O、C,A 被 y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为 线 l 上运动 . （1）求 A 的半径；31,直线 l 与 A 切于点 O,抛物线的顶点在直（2）如抛物线经过 O、C 两点,求抛物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C、E

18、两点,且 PCCE,求点 E 的坐标；（4）如抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点,其顶点P 的横坐标为m,求 PEC 的面积关x 于 m 的函数解析式 . y 解 1 由弧长之比为31,可得 BAO 90o0 再由 AB AOr,且 OB 2,得 r2 2A 的切线 l 过原点,可设l 为 ykx任取 l 上一点 b,kb,由 l 与 y 轴夹角为 45o可得：b kb 或 bkb,得 k 1 或 k1,直线 l 的解析式为 y x 或 yx 又由 r2 ,易得 C2,0或 C2,0 由此可设抛物线解析式为 yaxx2或 yaxx2 再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a1 抛物线为 yx

19、22x 或 yx 22x 6 分3 当 l 的解析式为 y x 时,由 P 在 l 上,可设 Pm, mm0 过 P 作 PP x 轴于 P, OP |m|,PP |m|, OP2m2,又由切割线定理可得：OP 2PC PE,且 PCCE,得 PCPEmPP 7分 C 与 P为同一点,即 PE x 轴于 C, m 2,E2,2 8 分同理,当 l 的解析式为 y x 时, m 2,E2, 2 4如 C2,0,此时 l 为 y x, P 与点 O、点 C 不重合, m 0且 m 2,当 m0 时, FC 22m,高为 |yp|即为 m,名师归纳总结 S22m m 2 m2 m22m；第 7 页,

20、共 32 页2同理当 0m2 时, S m22m；当 m2 时, SmS2 m2 m m0 或m2又如 C2, 0,2 m2 0m20此时 l 为 y x,同理可得； S2 m2 m m2 或m2 m2 m 2m0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y l A B A PE x l F C P y F C （ 2,0）x 2,0C O C 2,0 O F P 名师归纳总结 P P 第 8 页,共 32 页7.（2006 江苏连云港）如图,直线ykx4与函数ymx0,m0的图像交于A、B 两x点,且与 x、y 轴分别交于C、 D 两点（ 1）如COD 的面

21、积是AOB 的面积的2 倍,求 k 与 m 之间的函数关系式；（ 2）在（1）的条件下, 是否存在 k 和 m ,使得以 AB 为直径的圆经过点P2, 0如存在,求出 k 和 m 的值；如不存在,请说明理由y 解（1）设A x 1y 1,Bx2y2其中x 1x2,y 1y2,CA由SCOD2SAOB,得SCOD2SAODSBOD1 OC OD21 OD y 11 OD y ,OC2y 1y2,B222又OCm4,y 1y228,即y 14y224y1y28,Oy PDx 由y可得xm,代入ykx可得y24ykm0xyy1y 24,y 1y2km,CA164km8,即k2 m又方程的判别式164

22、km80,所求的函数关系式为k2m0 P,20 OMPNBx mD（2）假设存在k , m ,使得以 AB 为直径的圆经过点就APBP,过 A、 B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为M 、 N MAP与BPN 都与APM互余,MAPBPN RtMMMMAARNPB ,AM2MPy 20, m2 m2y 1y20,MMMMAARPNNBy x x2y 122x x 11,x 12x2y 1y2y 1y2即m22m y 1y 24y1y2y 1y220由（ 1）知y 1y24,y 1y22,代入得m28m120,m2或 6 ,又k2,m2或m6 1,k1km3存在 k , m ,使得以 AB 为直

23、径的圆经过点P,2 0,且m2或m6 1k1k3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. （ 2004 江苏镇江）已知抛物线ymx2m5x5m0与 x 轴交于两点A x 1,0、B x 2 ,0 x 1 x 2 ,与 y 轴交于点 C,且 AB=6. （1）求抛物线和直线 BC 的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线 BC. （3）如 P 过 A、B、C 三点,求 P 的半径 . （4）抛物线上是否存在点 M,过点 M 作 MN x 轴于点 N,使 MBN 被直线 BC 分成面积比为 1 3的两部分？如存在,恳求出点 M 的坐标；如不存

24、在,请说明理由 . 解（1）由题意得：x 1 x 2 mm 5 , x 1 x 2m 5 , x 2 x 1 6. y 2 x 1 x 2 2 4 x x 1 2 36, m 5 20 36,m m解得 m 1 1, m 2 5 . O x 72经检验 m=1,抛物线的解析式为：y x 4 x 5.或：由 mx 2 m 5 x 5 0 得,x 1 或 x 5mm 0,51 6, m 1.m2抛物线的解析式为 y x 4 x 5.2由 x 4 x 5 0 得 x 1 5, x 2 1.A（ 5,0）,B（1,0）,C（0, 5）. 设直线 BC 的解析式为ykxb,就bb5,0.b5,kk5.5

25、x5.直线 BC 的解析式为y2图象略 . 名师归纳总结 （3）法一：在 Rt DAOC中,OAOC5,OAC45 .第 9 页,共 32 页26,13.BPC90. 又BC2 OBOC22P 的半径PB262- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 法二：由题意, 圆心 P 在 AB 的中垂线上, 即在抛物线yx24x5的对称轴直线x2上,设P（ 2, h）（h0）,连结 PB、PC,就PB2122h2,PC25h 222,由PB2PC2,即122h25h222,解得 h=2. P 2, 2,P 的半径PB1 222 213. 法三：名师归纳总结 延长 CP

26、 交P 于点 F. 5,就点 E 的坐标为 ,5t5.第 10 页,共 32 页CF 为P 的直径,CAFCOB90 .又ABCAFC,DACF DOCB.CFAC,CFAC BC.BCOCOC又AC2 52 55 2,CO5,BC2 52 126,CF5 25262 13.P 的半径为13.（4）设 MN 交直线 BC 于点 E,点 M 的坐标为 , t t24 t如S DMEB:S DENB1 3,就ME EN1 3.EN MN3 4,t24 t545 t5.3解得t 11（不合题意舍去） ,t 25 , 3M5 40 ,3 9.如S DMEB:S DENB3 1,就ME EN3 1.EN

27、:MN1 4,t24t545t5.解得t31（不合题意舍去） ,t415,M15,280 .存在点 M ,点 M 的坐标为5 40 ,3 9或（ 15,280）. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9.如图, M 与 x 轴交于 A、B 两点,其坐标分别为A3,、B ,直径 CD x 轴于N,直线 CE 切 M 于点 C,直线 FG 切 M 于点 F,交 CE 于 G,已知点 G 的横坐标为 3. 1 如抛物线 y x 2 2 x m 经过 A、B、D 三点,求 m 的值及点 D 的坐标 . 2 求直线 DF 的解析式 . 3 是否存在过点G 的直线,

28、使它与（ 1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？如x 存在,恳求出满意条件的直线的解析式；如不存在,请说明理由. 解 1 抛物线过A、B 两点,31m ,m=3. 1D y F 抛物线为yx22x3. 又抛物线过点D,由圆的对称性知点DM 为抛物线的顶点. A N O B D 点坐标为1,4. 2 由题意知： AB=4. C G E CDx 轴, NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NANB=ND NC,（第 27 题图） NC4=2 2. NC=1. C 点坐标为1,1. 设直线 DF 交 CE 于 P,连结 CF,就 CFP=90 . 2+3=1+4=90 . GC、GF 是

29、切线, GC=GF. 3=4. D y 1=2. GF=GP. 名师归纳总结 GC=GP. b1,A 4M 4 O B F G 1 P x 第 11 页,共 32 页可得 CP=8. P 点坐标为 ,1 3 2 设直线 DF 的解析式为ykxbN 就7kb4解得k5C E 8kb1b27x3k108直线 DF 的解析式为：y5 x 82783 假设存在过点G 的直线为yk1x就3k1b 11,b 13k11. k1由方程组yk1x3k11得x22yx22x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由题意得2k14,k16. 当k16时,400,. c 的图象

30、经过点A（ 3,6）,并与 x 轴交于方程无实数根,方程组无实数解满意条件的直线不存在. bx10. （2004 山西）已知二次函数y12 x2点 B（ 1,0）和点 C,顶点为 P. （1）求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设 D 为线段 OC 上的一点,满意DPC BAC ,求点 D 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点M ,使以 M 为圆心的圆与AC、PC 所在的直线及y 轴都相x 切？假如存在,恳求出点M 的坐标；如不存在,请说明理由. 解 （ 1）解：二次函数y12 xbxc 的图象过点A （ 3,6）,B（ 1,0）2得93 bcc6解得b1y

31、 2c31b022这个二次函数的解析式为：y1x2x3O 22由解析式可求P（ 1, 2）,C（ 3,0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：ACB PCD45又已知： DPC BAC DPC BAC DC PC易求 AC 6 2, PC 2 2, BC 4BC ACDC 4OD 3 4 5D 5 ,03 3 3 3解法二：过 A 作 AE x 轴,垂足为 E. 设抛物线的对称轴交 x 轴于 F. 亦可证AEB PFD、PE EB. 易求： AE 6,EB 2,PF2 PF FDFD 2OD 2 1 5D 5 ,03 3 3 3（3）存在 . （1）过 M 作 MH AC ,MG PC 垂足

32、分别为 线交 y 轴于 T H、 G,设 AC 交 y 轴于 S, CP 的延长 SCT 是等腰直角三角形,M 是 SCT 的内切圆圆心,MG MH OM 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又MC2OM 且 OM MC OC 2 OM OM 3, 得 OM 3 2 3M 3 2 3,0（2）在 x 轴的负半轴上,存在一点 M 同理 OM OCM C,OM OC 2 OM得 OM 3 2 3M 3 2 3,0即在 x 轴上存在满意条件的两个点 . y A 6 5 4 3 S 2 ME -2 1 B F H 3 C x M -3 -1 0 D 2 1 -1 G -2 P T 11. （2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中,A（ 1,0）,B（3,0）. （1）如抛物线过 A ,B 两点,且与 y 轴交于点（ 0, 3）,求此抛物线的顶点坐标；（2）如图,小敏发觉全部过 A ,B 两点的抛物线假如与 y 轴负半轴交于点 C,M 为抛物线的顶点,那么ACM 与 ACB 的面积比不变,请你求出这个比值；（3）如对称轴是 AB 的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E, F,与 y 轴交于点 C,过 C作 CP