2022年一元二次方程根的分布情况归纳.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳设方程2 axbxc1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情形2 axbxc0,方程的0a0的不等两根为x x 且x 1x ,相应的二次函数为fx根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情形见下面各表（每种情形对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情形）分0两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0,布 情 况x 10,x 20x 10,x 20一个大于 0x 10x 2大致 图 象（a）

2、得 出 的 结 论000f00b0b02a2af00f00大 致 图 象（a）得 出 的 结 论00f00b0b02a2af00f00综 合 结 论（不 讨 论 a）b000ab000af00 第 1 页,共 7 页 2a2aa f0f0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载表二：（两根与 k 的大小比较）a分0两根都小于k即k两根都大于k即一个根小于 k ,一个大于k即布 情 况x 1k,x2kx 1k,

3、x2kx 1kx2大 致 图 象（kk）得fb0kfb0kfk0出 的 结 论2a2 ak0k0大 致 图 象（a）0得 出 的 结fb0kfb0kfk02a2 a论k0k0综 合 结b0k0ab0k0afk0 第 2 页,共 7 页 论（不2a2 a讨 论 a）a fkfk细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载表三：（根在区间上的分布）a分0两根都在0m,n内两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n内,另一

4、根在p,q布 情 况内,mpq（图象有两种情形,只画了一种）n大 致 图 象（fm0）a得 出 的 结 论0mfm0nfmfn0fn0或fmfn0fn0fp0fpfq0bfq0大 致 图2a象（）得mf00nfmfn0fm0或fmfn0mfn0出 的 结 论fn0fp0fpfq0bfq02a综 合 结 论mfnn0x 1fm2fn0（不 讨 论 a）fm,外,即在区间两侧fpfq0m xn ,（图形分别如下）需满根在区间上的分布仍有一种情形：两根分别在区间足的条件是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - -

5、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）a0时,fm0；精品资料0欢迎下载m0（2）a时,f ffn0n0对以上的根的分布表中一些特别情形作说明：（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特别情形：2m 或 n ,可以如fm0或fn0,就此时f mf n0不成立,但对于这种情形是知道了方程有一根为求出另外一根,然后可以依据另一根在区间m,n内,从而可以求出参数的值；如方程2 mxmx20在区间1,3 上有一根, 由于f10,所以2 mxm2x2x1mx2,另一根为2,由123得2 3m2mm即为所求；方程有且只有一根,且这个根在

6、区间 m, n 内,即 0 ,此时由 0可以求出参数的值,然后再将参数的值带2入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如如不在,舍去相应的参数；如方程 x 4 mx 2 m 6 0 有且一根在区间 3,0 内,求 m 的取值范畴； 分析：由 f 3 f 0 0 即 14 m 15 m 3 0 得出 3 m 15；14由 0即 16 m 24 2 m 6 0 得出 m 1 或 m 3,当 m 1 时,根 x 2 3,0,即 m 1 满意题意；23 3 15当 m 时,根 x 3 3,0,故 m 不满意题意；综上分析,得出 3 m 或 m 12 2 14根的分布练习题例 1、已知二次方程2

7、 m1x22 mxm10有一正根和一负根,求实数m 的取值范畴；解：由2 m1f00即2 m1m10,从而得1m1即为所求的范畴；2例 2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根,求实数m 的取值范畴；解：由细心整理归纳 精选学习资料 fm000m128 m0m32 2或m32 2 第 4 页,共 7 页 1m12 2m0m00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -0m32 2或m32 2精品资料3欢迎下载1,一个小于1,求实数 m即为所求的范畴；

8、例 3、已知二次函数ym2x22 m4x3 m与 x 轴有两个交点,一个大于的取值范畴；解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2 m 1 0 2 m 1即为所求的范畴；22例 4、已知二次方程 mx 2 m 3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数m的取值范畴；解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根, 就 f 0 f 1 0 4 3 m 1 0 m 1即为所求范畴；3（注：此题对于可能显现的特别情形方程有且只有一根且这个根在 0,1 内,由 0运算检验,均不复合题意,计算量稍大）例 1、当关于 x 的方程的根满意以下条件时,求实数 a 的取值范畴：2 2（1）方程 x a

9、x a 7 0 的两个根一个大于 2,另一个小于 2；2 2（2）方程 7 x a 13 x a a 2 0 的一个根在区间 0,1 上,另一根在区间 1,2 上；（3）方程 x 2ax 2 0 的两根都小于 0；2变题：方程 x ax 2 0 的两根都小于 12 2（4）方程 x a 4 x 2 a 5 a 3 0 的两根都在区间 1,3 上；（5）方程 x 2ax 4 0 在区间（1,1）上有且只有一解；例 2、已知方程 x 2mx 4 0 在区间 1,1上有解,求实数 m 的取值范畴例 3、已知函数 f x mx 2 m 3 x 1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数 m

10、 的取值范畴检测反馈：1如二次函数 f x x 2 a 1 x 5 在区间 1,1 上是增函数,就 f 2 的取值范畴是 _22 2 22如、是关于 x 的方程 x 2 kx k 6 0 的两个实根 , 就 1 1 的最小值为23如关于 x 的方程 x m 2 x 2 m 1 0 只有一根在 0,1 内,就 m _ _4对于关于 x 的方程 x 2+2m 1x+4 2m=0 求满意以下条件的 m 的取值范畴：（1）有两个负根（ 2） 两个根都小于 1 （3）一个根大于 2,一个根小于 2 （4） 两个根都在（ 0 ,2）内（5）一个根在 2,0内,另一个根在 1,3内（6）一个根小于 2,一个

11、根大于 4 （7） 在（ 0, 2）内 有根（8） 一个正根,一个负根且正根肯定值较大5已知函数fxmx2x1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范畴； 第 5 页,共 7 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设fx精品资料欢迎下载2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨ax2bxc0a0,就二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情形：mnbmbn即bm ,nbmn2a2

12、 a2 a2a图 象最 大、fxmaxfmfxmaxmaxfn,fmfxmaxfn最 小 值fxminfnfxminfbfxminfm2 a对于开口向下的情形,争论类似；其实无论开口向上仍是向下,都只有以下两种结论：（1）如bm ,n,就fxmaxmaxfm,fb,fn,fxminminfm,fb,fn；2a2 a2 a（2）如bm ,n,就fxmaxmaxfm,fn,fxminminfm,fn2ax 轴越远,就对应的函数值越大；反过来,当二次函数开口向下另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开时,自变量的取值离开x 轴越远,就对应的函数值越小；二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间

13、上求最值,争论的情形无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情形；例 1、函数fxax22 ax2b a0在 2,3 上有最大值5 和最小值 2,求a b 的值；fa1 0；解：对称轴x 012,3,故函数fx 在区间2,3 上单调；xmaxf33 ab25x 在区间 2,3 上是增函数,故f f（1）当a0时,函数 fxminf22b2b（2）当a0时,函数 fx 在区间 2,3 上是减函数,故f fxmaxf2b25a1xminf33 ab22b3例 2、求函数fxx22 ax1,x1,3的最小值；f a12 a ；（3）当a3时,y min3106 a解

14、：对称轴0xa122a（2）当 1a3时,y min（1）当a1时,yminf细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载改： 1此题如修改为求函数的最大值,过程又如何？解：（1）当a2时,fxmaxf31026 a ；（2）当a2时,fxmaxf12a ；2此题如修改为求函数的最值,争论又该怎样进行？解：（1）当a1时,fxmaxf3106 a ,fxminf122 a ；1；（ 2）当

15、 1a2时,fxmaxf3106a ,fxminfa1a ；2（ 3）当 2a3时,fxmaxf122 a ,fxminf a1a ；2（ 4）当a3时,fxmaxf122 a ,fxminf3106 a ；例 3、求函数yx24x3在区间t t1上的最小值；解：对称轴x 02（1）当 2t 即t2时,y minftt24 t3；（2）当t2t1即 1t2时,y minf21；（3）当 2t1即t1时,yminf t1t22 t例 4、争论函数fx2 xxa1的最小值；解：fxx2xa1x2xa1,xa,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线2xaxxa1,x1,x1,当a1,1a1,a1时原函数的图象分别如下（1）,（2）,（3）222222因此,（ 1）当a1时,fxminf13a； （2）当1a1时,fxminfaa222422（ 3）当a1时,fxminf13a 第 7 页,共 7 页 224细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -