2022年三角函数基础,两角和与差倍角公式.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -课题学习必备欢迎下载三角函数基础,两角和与差、倍角公式能运用两角和与差公式、倍角公式解答问题；公式的熟记和运用；教学目标重点、难点教学内容任意角角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的正半轴重合, 此时角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角,或者说这个角属于第几象限 . 例如教材图 5-31 中的 60 角、 420 角都是第一象限的角,2 中 135 角、 225 角都是其次象限角 . 特殊规定：假如角的终边在坐标轴上 , 就认为这个角不属于任何一个象限 .例 2：回答以下问题1 锐角是第几象限角

2、. k360,kZ, 即任2 第一象限的角肯定是锐角吗. 3 小于 90 的角肯定是锐角吗. 4 0 90 的角肯定是锐角吗. 二、终边重合的角例子：我们可以用集合表示全部与60 角终边重合的角k36060 ,kZ. 当k0时,60 ,集合中也包括了60 本身 .一般地 , 我们有 : 全部与角终边重合的角, 连同角在内 , 可构成一个集合 一与角终边重合的角 , 都可以表示成角与整数个周角的和.四、弧度制的定义五、角度制与弧度制的互化七三角函数定义在直角坐标系中,设 是一个任意角, 终边上任意一点P （除了原点）的坐标为 , x y ,它与原点的距离为r r|x2 |y2 |x22 y0,那

3、么（1）比值y r叫做 的正弦,记作 sin,即 siny；r（2）比值x r叫做 的余弦,记作cos,即 cosx； 第 1 页,共 8 页 r细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 的大小,只说明与 的（3）比值y x叫做 的正切,记作 tan,即 tany；x说明： 的始边与 x 轴的非负半轴重合, 的终边没有说明 肯定是正角或负角,以及终边相同的角所在的位置；依据相像三角形的学问,对于确定的角 ,六个

4、比值不以点 P x y 在 的终边上的位置的转变而转变大小；当 k k Z 时, 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,所以 tan y无意义；2 x八三角函数的定义域、值域函数定义域,kZ值域ysin|Rk 1,1 1,1ycosRytan2R3例题分析例 2已知角 的终边过点 ,2 a a0,求 的六个三角函数值；r5 |a ,xa y2a解：由于过点 ,2 a0,所以当a0 时,siny2 a|2 a2 5；r5 |a5 a5cosxa5 a；r5 a5当a0 时,siny2 a|2 a2 5；r5 |a5 a5cosxa5 a5r5 a九三角函数的符号由三角函数

5、的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知：正弦值y对于第一、二象限为正（y0,r0）,对于第三、四象限为负（y0,r0）；r余弦值x r对于第一、四象限为正（x0,r0）,对于其次、三象限为负（x0,r0）；正切值y对于第一、三象限为正（,x y 同号）,对于其次、四象限为负（,x y 异号）x说明：如终边落在轴线上,就可用定义求出三角函数值；十诱导公式三角函数诱导公式（原函数,同时可把细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -k）的本质是：奇变偶不变（对k 而言,指 k 取奇数或偶数）,符号看象限（看2看成是锐角） . 诱导公式的应用是求任

6、意角的三角函数值,其一般步骤： 可概括为：“ 负 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载与角的化正,大化小,化到锐角为终了” （有时也直接化到锐角求值）；sin2ksinkZcos2kcoskZ（公式一）tan2ktankZ如角的终边与角的终边关于x 轴对称,那么与的三角函数值之间有什么关系？特殊地,角终边关于 x轴对称,由单位圆性质可以推得：特殊地,角与角sinsin（公式二）coscostantan的终边关于y轴对称,故有特殊地,角与角sinsin（公式三）cosco

7、stantan的终边关于原点O 对称,故有sinsin（公式四）coscostantan诱导公式五：sin24cos（4）tan11cos2sin诱导公式六：sincos2sin2cos诱导公式七：sin3cos,2cos3 2sin1 确定以下三角函数值的符号：；（3） tan 672 ；（1） cos250 ；（2） sin32 化简ycosxtanxcosxtanx练习：一、填空题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

8、 - - - - - -1是其次象限角,就2是第学习必备欢迎下载象限角 . 2已知扇形的半径为R,所对圆心角为,该扇形的周长为定值c,就该扇形最大面积为. 同角三角函数的基本关系公式: sintancoscotcossintancot1sin2cos211 “ 同角” 的概念与角的表达形式无关,如：sin23cos231sin2tan2cos22 上述关系（公式）都必需在定义域答应的范畴内成立；3 由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且由于利用“ 平方关系” 公式,最终需求平方根,会显现两解,因此应尽可能少用 ,如使用时 ,要留意争论符号 . 对角线上两个函数的乘积为 1

9、倒数关系 . 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积 商数关系 .阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方 平方关系 .二、讲解范例：2例 1 化简：1 sin 4402 2 2解：原式 1 sin 360 80 1 sin 80 cos 80 cos 80例 2 已知 是第三象限角,化简 1 sin 1 sin1 sin 1 sin解：原式 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 2 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin2 21 sin 1 sin | cos | | cos |1 sin 1 sin是第三象限角,

10、cos 0 原式 2 tan（留意象限、符号）cos cos例 3 求证：cos 1 sin1 sin cos分析：思路 1把左边分子分母同乘以 cos x,再利用公式变形；思路 2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满意右式分子的要求；思路 3：用作差法,不管分母,只需将分子转化为零；思路 4：用作商法,但先要确定一边不为零；思路 5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路 6：由乘积式转化为比例式；思路 7：用综合法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师

11、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证法 1：左边 =cosxcosxx 11sin2x学习必备欢迎下载x1sinx右边,1sinx cossinxcoscosx原等式成立 . 证法 2：左边 =1sinxcosx 1sinx 2cosx 1sinx1sinx1sinx1sinxcosx1sinx右边 . 例 4已知 tancos2xcosx=3,求以下各式的值 14sin2cos 2 sin22sincos22 cos3sin5cos42 cos3sin3 3 4sin1 2cos 24 sincos5 sincos6 sincos7 11 8

12、sin66 cossincos课后作业1.已知 sin cos 123,且 0 ,就 tan 的值为 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - A .3B.-3C.3D.3332.如 sin 4 cos 4 1,就 sin cos 的值为 A.0 B.1 C.1 D. 1 3.如 tan cot 2,就 sin cos 的值为 A.0 B.2C.2D.24.如 4 sin 2 cos10,就 tan 的值为5 cos 3 sin5.如 tan cot =2,就 sin 4 cos 4 6.如 tan 2 cot 2 2,就 sin cos . . . 7.求证1sin6xco

13、s6x3. 1sin4xcos4x28.已知 tan sin ,tan sin . 求证： 1cos mnmn细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sinsincoscossinsinsincoscossin等；3coscoscossinsincoscoscossinsintantantantantantan1tantan1tantan注：充分留意用已知角表示要求的角,如,20留意角的范畴对三角函数值的符号

14、 的限制；已知sin,cos,tan中的一个求另外两个,可以通过直角三角形来求简洁；正切公式可以变形为：tantantan1tantantantantan 1tantan,如tan200tan 4000 3 tan 20 tan 402.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin224224以及tan212tan2cos212sintan熟记降幂公式：cos21cos2,sin2122注：1sin2sincos2cos2sin222sin4cos4,2cos241sin2cos22cos24sin24sin2cos22cos24sin24

15、2cos2411sinsin4cos4,如：已知sin41,就cos41,sin273394.引入帮助角公式：asinbcosa2b2sin）（其中,02且cosa2ab2,sina2bb25.几种题型 有 关 齐 次 多 项 式 的 函 数 化 为yAsinx2k的 形 式 , 如y2sin2xx2sinxcosx可 以 化 为y2sin2x41ysinxcosx可以化为y2sin2xsin1,如设tsinx,就可以通过换元转化为二次函数问题,如细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

16、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -yx2 t2xt11, 此 时t11,； 再 如学习必备欢迎下载xcosx1,可 以 设tsinxcosx, 就ysinxcosxsinyt22；2t 2从而转化为二次函数t1,但需留意此时sincost222基础过关1、已知tan4,tan3,就tan= = ；= ；2、cos43cos77sin43cos 1673、函数fxsinxcosx的最小值是4、设 ,02, 0 ,2,如cos1,sin7,就 sin39例题讲解例 1（ 1）运算以下各式的值cos80 cos20 +sin80sin20 = 1t

17、an15= 的值1tan15tan17+tan28 + tan17tan28 = sin7cos15 sin8= cos7sin15 sin8 （2）ABC 中,已知cosAcosBsinAsinB就ABC 肯定是 A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定（3）如sinsin13,coscos1,就 cos = 22cos2变式：如cos1,cos3就 tantan= . 55例 2已知cos4,sin3,且32,2,求552变式拓展已知tan2,tan41,求tan4的值；54细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3已知tanx21 2,tan41 7,且,3学习必备欢迎下载0,求 2的值例 4、求函数fcosxcosx4sin2x的值域和最小正周期；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -