2022年初三数学函数综合题型及解题方法讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例 1：如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过 A（ 2, 4）,O （ 0,0 ）,B（2,0）三点（1 ）求抛物线 y=ax2+bx+c的解析式；y=ax2+bx+c中,得（2 ）如点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值解析：（1）把 A （ 2, 4）,O（0,0）,B（ 2,0）三点的坐标代入解这个方程组,得a= ,b=1 ,c=0 所以解析式为 y= x2+x （2 ）由 y= x2+x= （x 1）2+,可得抛物线的对称轴为 x=

2、1 ,并且对称轴垂直平分线段 OB OM=BM OM+AM=BM+AM 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点,就此时OM+AM最小过点 A 作 AN x 轴于点 N ,在 RtABN 中, AB= = =4,因此 OM+AM 最小值为方法提炼：已知一条直线上一动点 M 和直线同侧两个固定点 A、B,求 AM+BM 最小值的问题,我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点 A,将点 B 与 A连接起来交直线与点 M ,那么 AB 就是 AM+BM的最小值； 同理, 我们也可以做出点 B 关于这条直线的对称点 B ,将点 A 与 B 连接起来交直线与点 M ,那么 AB 就是 AM+BM 的最小值

3、；应用的定理是：两点之间线段最短；A A B B M 或者 MAB例 2 ：已知抛物线 C 的函数解析式为 1 y ax 2bx 3 a b 0,如抛物线 C 经过点 0, 3,方程2ax bx 3 a 0 的两根为 1x ,x ,且 2 x 1 x 2 4；（1 ）求抛物线 C 的顶点坐标 . 1 1（2 ）已知实数 x 0,请证明：x2 ,并说明 x 为何值时才会有 x 2 . x x（3 ）如抛物线先向上平移 4 个单位, 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C ,设 A m y ,B n y 2 是 C 20上的两个不同点, 且满意：AOB 90,m 0,n 0 .请你用含有 m 的表

4、达式表示出AOB 的面积 S ,并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA的函数解析式；解析：（ 1 ）抛物线过（ ,）点, 3a名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载ax2bxx2bx = 的两根为 x1,x2 且 x 1-x 2x 1 x 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2且 bb x2 x（ x）抛物线 的顶点坐标为（,）1 1 2（2 ）x,x 2 x 0x xx 1 ,2 明显当 x时,才有 x 12 ,x x（3 ）方法一：由平移学问易得 的解析式为： yx2m ,m,

5、B（n,n） AOB 为 Rt OA+OB=ABmmnn（ m n）（ mn）化简得： m n AOB=1OAOB=1m2m4n2n422m n AOB12m2n212m212 4 x 222m21m121m11212m2m2 AOB 的最小值为,此时m , 直线 OA 的一次函数解析式为x方法提炼：已知一元二次方程两个根x 1 ,x2 ,求|x 1 -x 2|；由于 |x 1-x 2|=x 1x 2依据一元二次方程的求.根公式x 1bb24ac;x 2bb24 ac;可得到：2 a2 ax 1x2b;x 1x 2caam12 ,mo;当m1 时,m12,取得最小值；mm例 3：如图,已知抛物

6、线经过点A（ 1,0）、B（3 ,0）、C（0,3）三点（1 ）求抛物线的解析式（2 ）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B,C 重合）,过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N ,如点 M 的横坐标为m ,请用 m 的代数式表示 MN 的长（3 ）在（ 2）的条件下,连接 NB 、NC ,是否存在 m ,使 BNC 的面积最大？如存在,求 m 的值；如不存在,说明理由名师归纳总结 解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a （x+1 ）（x 3）,就：第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载a（0+1 ）（0 3）=3

7、 ,a= 1；抛物线的解析式：y= （ x+1 ）（x 3 ）= x2+2x+3 （2 ）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b,就有：,解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为m ,就 M （m , m+3 ）、N （m , m2+2m+3）；故 MN= m2+2m+3 （m+3 ）= m2+3m （0m 3）（3 ）如图；SBNC=S MNC +S MNB = MN （OD+DB ）= MN OB,SBNC=（ m2+3m ） 3= （m ）2+（0m 3）；当 m= 时, BNC 的面积最大,最大值为方法提炼：由于BNC 的面积不好直接求,将BNC 的面积分

8、解为MNC 和MNB 的面积和； 然后将 BNC 的面积表示出来, 得到一个关于 m 的二次函数；此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值；题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4：如图,已知：直线yx3交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,抛物线 y=ax2+bx+c经过 A、B、 C（1 ,0）三点 . （1）求抛物线的解析式; yx3上有一点 P,使 ABO 与 ADP 相像,求出点P（2）如点 D 的坐标为（ -1 ,0）,在直线的坐标；（3）在（ 2）的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E,使

9、 ADE 的面积等于四边形APCE的面积？假如存在,恳求出点E 的坐标；假如不存在,请说明理由解：（ 1）：由题意得, A（3,0 ）,B（0, 3）抛物线经过 A、B、C 三点,把 A（3,0）,B（0,3）,C（1,0 ）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组名师归纳总结 9a3bc0y=x2-4x+3第 3 页,共 12 页c3abc0a1解得：b4c3抛物线的解析式为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2M ,（2 ）由题意可得：为等腰三角形 ,如下列图,如ABO1D,就AOOBADDP 1 DP1 =AD=4 , P1 -1,

10、4如ABOADP 2 ,过点 P2 作 P2 Mx轴于 M ,AD=4, ABO为等腰三角形, 2 是等腰三角形 ,由三线合一可得：DM=AM=2= P即点 M 与点 C 重合P2（ 1,2）（3 ）如图设点 E , x y ,就S ADE1AD|y|2|y|2当 P1-1,4 时,S 四边形 AP1CE=S ACP1+S ACE 12412|y|4x24x7022= 4+yy =2y=4+yy = -4点 E 在 x 轴下方代入得：x2-4x+3= -4,即=-42-4 7=-120 此方程无解当 P2（1,2）时, S 四边形 AP2CE=S三角形 ACP2 +S三角形 ACE = 2+y

11、2y=2+yy =24x+3= -2点 E 在 x 轴下方y = -2代入得：x2-即x24x50,=-42-4 5=-40 此方程无解综上所述,在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E；方法提炼：求一点使两个三角形相像的问题,我们可以先找出可能相像的三角形,一般是有几种情形,需要分类争论,然后依据两个三角形相像的边长相像比来求点的坐标；要求一个动点使两个图形面积相 等,我们一般是设出这个动点的坐标,然后依据两个图形面积相等来求这个动点的坐标；假如图形面积直 接求不好求的时候,我们要考虑将图形面积分割成几个简单求解的图形；例 5：如图,点A 在 x 轴上, OA=4 ,将线段 OA 绕点 O 顺

12、时针旋转120 至OB 的位置（1 ）求点 B 的坐标；（2 ）求经过点 AO 、 B 的抛物线的解析式；（3 ）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点 P、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,求点 P 的坐标；如不存在,说明理由名师归纳总结 解析：（1）如图,过B 点作 BCx 轴,垂足为C,就BCO=90 ,第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 AOB=120 , BOC=60 ,又 OA=OB=4 , OC= OB=4=2 , BC=OB.sin60=4 =2,点 B 的坐标为（2, 2）；

13、（2 ）抛物线过原点O 和点 AB,可设抛物线解析式为y=ax2+bx ,将 A（4,0）,B（ 2 2）代入,得,解得,此抛物线的解析式为y= x2+x （3 ）存在,如图,抛物线的对称轴是x=2 ,直线 x=2 与 x 轴的交点为D,设点 P 的坐标为（ 2 ,y ）,如 OB=OP ,就 22+|y|2=42,解得 y= 2,PDO=90 , sin POD=,当 y=2时,在 Rt POD中, POD=60 , POB= POD+ AOB=60 +120 =180 ,即 P、O、B 三点在同始终线上, y=2不符合题意,舍去,2, 2）,点 P 的坐标为（ 2, 2）如 OB=PB ,

14、就 42+|y+2|2=42,解得 y= 2,故点 P 的坐标为（ 2 , 2）,如 OP=BP ,就 22+|y|2=42+|y+2|2,解得 y= 2,故点 P 的坐标为（ 2 , 2）,综上所述,符合条件的点P 只有一个,其坐标为（方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件,这种题型要用分类争论的思想；由于要使一个三角形成为等腰三角形,只要三角形的任意两个边相等就可以,所以应当分三种情形来争论；题型三：二次函数与四边形的综合问题例 6：综合与实践：如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+2x+3与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点名师归

15、纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1 ）求直线 AC 的解析式及 B,D 两点的坐标；（2 ）点 P 是 x 轴上一个动点,过 P 作直线 l AC交抛物线于点 Q ,摸索究：随着 P 点的运动,在抛物线上是否存在点 Q ,使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,请直接写出符合条件的点Q 的坐标；如不存在,请说明理由（3 ）请在直线 AC 上找一点 M ,使BDM的周长最小,求出 M 点的坐标解析：（1）当 y=0 时,x2+2x+3=0,解得 x1= 1,x 2=3 点 A 在点

16、B 的左侧,AB 的坐标分别为（1,0 ）,（3,0）当 x=0 时, y=3 C 点的坐标为（ 0,3）设直线 AC 的解析式为 y=k 1 x+b 1（k 1 0）,就,解得,直线 AC 的解析式为 y=3x+3y= x2+2x+3= （ x 1）2+4 ,顶点 D 的坐标为（ 1,4）（2 ）抛物线上有三个这样的点 Q,当点 Q 在 Q 1 位置时, Q 1 的纵坐标为 3,代入抛物线可得点 Q 1 的坐标为（ 2 ,3 ）；当点 Q 在点 Q 2 位置时,点 Q 2 的纵坐标为3 ,代入抛物线可得点 Q 2 坐标为（ 1+,3）；当点 Q 在 Q 3 位置时,点 Q3 的纵坐标为3,代

17、入抛物线解析式可得,点 Q3 的坐标为（ 1,3）；综上可得满意题意的点 Q 有三个,分别为：Q 1（2 ,3 ）,Q 2（1+, 3）,Q 3（1, 3）（3 ）点 B 作 BB AC 于点 F,使 BF=BF ,就 B 为点B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M ,就点 M 为所求,过点 B 作BEx 轴于点 E1 和2 都是3 的余角,1= 2Rt AOC RtAFB,由 A（ 1,0）,B（3 ,0）,C（0,3 ）得 OA=1 ,OB=3 ,OC=3 ,名师归纳总结 AC=,AB=4 第 6 页,共 12 页,- - - - - - -精选学习资料 - - -

18、 - - - - - - BF=,学习必备欢迎下载BB=2BF=由1= 2 可得 Rt AOC RtBEB,即BE=, BE=,OE=BE OB= 3=B 点的坐标为（,）设直线 BD 的解析式为 y=k 2x+b 2（k2 0 ）,解得,直线 BD 的解析式为： y=x+,联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：解得,M 点的坐标为（,）方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件,这种题型要用分类争论的思想,一般需要分三种情形来争论；题型四：二次函数与圆的综合问题例 7：如图,半径为 2 的C 与 x 轴的正半轴交于点A ,与 y 轴的正半轴交于点B,点 C 的坐标为（1,0）如抛物

19、线y3x2bxc 过 A、B 两点3（1 ）求抛物线的解析式；名师归纳总结 （2 ）在抛物线上是否存在点P,使得PBO= POB？如存在,求出点P 的坐标；如不存在说明理由；第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3 ）如点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点,解析：（1）如答图 1,连接 OB BC=2 ,OC=1 OB= 4133）代入二次函数的表达式 B（0 ,3）将 A（3,0）,B（0,得393 bc0,解得：b2 3,33c3c3y3x22 3x333（2 ）存在的面积为 S,求 S 的最大（小）

20、值如答图 2,作线段 OB 的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P B（0 ,3 ）,O （0 ,0）,名师归纳总结 直线 l 的表达式为y3代入抛物线的表达式,） .OH+1 2HA.MH1OA.OB第 8 页,共 12 页2得y3x22 3x33；332解得x110,2 P（110,3）22（3 ）如答图 3 ,作 MHx轴于点 H设 M （x m,ym）,就 S MAB=S梯形 MBOH +S MHA S OAB=1 2（MH+OB2=1 2ym3x m13x mym13322=3x m3ym33222y m3x22 3x m3,m33- - - - - - -精选学习资料 - - -

21、- - - - - - S MABx m23xm3学习必备欢迎下载3x m22 3xm33 322332=3 23 3xm3x m329 32228当x m3时,S MAB取得最大值,最大值为9 328题型五：二次函数中的证明问题例 8：如图 11 ,已知二次函数y1x2axb的图像过点A-4 ,3）, B4 ,4. 48（1）求二次函数的解析式：（2）求证： ACB 是直角三角形；（3）如点 P 在其次象限,且是抛物线上的一动点,过点 P 作 PH 垂直 x 轴于点 H,是否存在以 P、H、D 、为顶点的三角形与ABC 相像？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由；解：（ 1）将

22、A-4 ,3 ）, B4 ,4 代人y1x2axb中,整理得：x 220484a-b72解得a134ab32b-20二次函数的解析式为：y1x2 13x-20,48整理得：y13x21x-54886（2）由13x21x-50整理13x26x-400x 12 ,134886C （ -2 ,0 ） D （20,）13从而有： AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 名师归纳总结 AC2+ BC2=AB2故 ACB 是直角三角形13BC=2130第 9 页,共 12 页（3 ）设p13 x,48x21x-5（X0 ）86PH=13x21x-5H

23、D=20-xAC=488613当 PHD ACB 时有：PHHDACBC即：13x21x-520-x整理13x25x-12548861313213244391x-50x220（舍去）此时,1y35131313p 1-5035,13）13当 DHP ACB 时有：DHPHACBC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20 13 2 1 5即：13-x48 x8 x-6 整理 13x 2 17x-305013 2 13 48 8 782841x-12213 x 213 20（舍去）此时,1y13122 284p 2 -,）13 13综上所述,

24、满意条件的点有两个即 p 1 -50,35）p 2 -122,284）13 13 13 13例 9： 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是抛物线： y=x2上的动点（点在第一象限内）连接 OP ,过点 0作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q 连接 PQ ,交 y 轴于点 M 作 PA 丄 x 轴于点 A,QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为 m （1 ）如图 1,当 m= 时,求线段 OP 的长和 tan POM的值；在 y 轴上找一点C,使OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形,求点C 的坐标；（2 ）如图 2,连接 AM 、BM ,分别与 OP 、OQ 相交于点 D、E用含 m

25、的代数式表示点 Q 的坐标；求证：四边形 ODME 是矩形解析：（1）把 x= 代入 y=x2,得 y=2 , P（,2）,OP= PA丄 x 轴,PAMO tan P0M=tan 0PA=设 Q（ n,n2）,tan QOB=tan POM, n= Q（,）,OQ=当 OQ=OC 时,就 C1（0 ,）,C2（0,）；当 OQ=CQ 时,就 C3（0, 1）（2 ）P（m , m2）,设 Q （n,n2）,APOBOQ,得 n=, Q（,）设直线 PO 的解析式为： y=kx+b,把 P（m ,m2）、Q（,）代入,得：解得 b=1 , M（0, 1）QBO, QBO= MOA=90 ,MO

26、A MAO= QOB,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - QOMA学习必备欢迎下载同理可证：EMOD又EOD=90 ,四边形 ODME 是矩形题型六：自变量取值范畴问题例 10 ：如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 是菱形, 顶点 ACD 均在坐标轴上, 且 AB=5 ,sinB=（1 ）求过 ACD 三点的抛物线的解析式；（2 ）记直线 AB 的解析式为y 1=mx+n,（1）中抛物线的解析式为y 2=ax2+bx+c,求当 y 1y 2 时,自变量 x 的取值范畴；（3 ）设直线 AB 与（

27、 1）中抛物线的另一个交点为E,P 点为抛物线上AE 两点之间的一个动点,当P点在何处时,的面积最大？并求出面积的最大值解析：（1）四边形 ABCD 是菱形, AB=AD=CD=BC=5, sinB=sinD=；Rt OCD中, OC=CD.sinD=4,OD=3 ；OA=AD OD=2 ,即：A（ 2, 0）、B（ 5 ,4 ）、C（0,4）、D（3,0）；设抛物线的解析式为：y=a （x+2 ）（x 3）,得：x；2 （ 3）a=4 ,a= ；抛物线： y= x2+x+4 （2 ）由 A（ 2,0 ）、B（ 5,4）得直线 AB：y 1= 由（ 1）得： y 2= x2+x+4 ,就：,解

28、得：,；名师归纳总结 由图可知：当y1 y 2 时,2 x5 P；第 11 页,共 12 页（3 ）S APE=AE.h ,当 P 到直线 AB 的距离最远时,S ABC最大；如设直线LAB,就直线L 与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点设直线 L：y= x+b ,当直线L 与抛物线有且只有一个交点时,x+b= x2+x+4 ,且=0 ；求得： b=,即直线 L：y= x+；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载可得点 P（,）由（ 2）得： E（5,）,就直线 PE：y= x+9 ；就点 F（, 0）,AF=OA+OF=；PAE 的最

29、大值： S PAE=S PAF+S AEF= （+） =综上所述,当 P（,）时,PAE 的面积最大,为题型七：二次函数实际应用问题例 11 ：某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为 18 元,试销过程中发觉,每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y= 2x+100 （利润 = 售价 制造成本）（1 ）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2 ）当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 获得最大利润？最大利润是多少？3502 万元的利润？当销售单价为多少元时,厂商每月能（3 ）依据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于

30、32 元,假如厂商要获得每月不低于350 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解析：（1） z= （x 18 ）y= （x 18 ）（ 2x+100 ）= 2x2+136x 1800 ,z 与 x 之间的函数解析式为 z= 2x2+136x 1800 ；（2 ）由 z=350 ,得 350= 2x2+136x 1800 ,解这个方程得x1=25 ,x 2=43 所以,销售单价定为25 元或 43 元,将 z 2x2+136x 1800 配方,得 z= 2（x 34 ）2+512 ,因此,当销售单价为34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是512 万元；（3 ）结合（ 2）及函数 z= 2x2+136x 1800 的图象（如下列图）可知,名师归纳总结 当 25 x 43 时 z 350 ,又由限价32 元,得 25 x 32 ,32+100=648 （万元）,第 12 页,共 12 页依据一次函数的性质,得y= 2x+100中 y 随 x 的增大而减小,当 x=32时,每月制造成本最低最低成本是18 （2因此,所求每月最低制造成本为648 万元- - - - - - -