2022年初中数学辅助线大全-详细例题付答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中学数学帮助线大全具体例题付答案引出问题 在几何证明或运算问题中,常常需要添加必要的帮助线,它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加帮助线,使图形的性质由隐藏得以显现,从而利用有关性质去解题；二是通过添加帮助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决；值得留意的是帮助线的添加目的与已知条件和所求结论有关；下面我们分别举例加以说明；例题解析 一、 倍角问题例 1：如图 1,在 ABC中, AB=AC,BDAC于 D；D C DBC= .BAC” 中求证： DBC=1 2BAC. A 分析：

2、DBC、 BAC所在的两个三角形有公共角C,可利用三角形内角和来沟通DBC、 BAC和 C的关系；证法一：在ABC中, AB=AC,BAC；B ABC=C=1（180 - BAC）=90 - 12 2BDAC于 D BDC=90 DBC=90 - C=90 -90 - 1 2BAC= 1 2BAC 即 DBC= 1 2BAC 分析二： DBC、 BAC分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“ 含有角的倍、半关系,因此,可以做A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把.A 放在直角三角形中求解；也可以把DBC沿 BD翻折构造 2DBC求解；证法二：如图2,作 AEBC于 E,就 EAC

3、+C=90B B A E A D C AB=AC EAG=1 2 BAC BDAC于 D DBC+ C=90E C EAC= DBC（同角的余角相等）即 DBC=1 2BAC；证法三：如图3,在 AD上取一点 E,使 DE=CD 连接 BE D BDAC BD是线段 CE的垂直平分线BC=BE BEC=C EBC=2DBC=180 -2 C AB=AC ABC=C BAC=180 -2 C EBC=BAC DBC= 1BAC 2 说明：例 1 也可以取 BC中点为 E,连接 DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解；同学们不妨试一试；1 名师归纳总结 - - - -

4、- - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、如图 4,在 ABC中, A=2B 求证： BC 2=AC 2+AC.AB 分析：由 BC 2=AC 2+AC.AB= AC（AC+AB）,启示我们构建两个相像的三角形,且含有边BC、 AC、AC+AB.又由已知 A=2B 知,构建以 AB为腰的等腰三角形；A 证明：延长CA到 D,使 AD=AB,就 D=DBA BAC是 ABD的一个外角 BAC=DBA+D=2D BC BAC=2ABC D=ABC 又 C=C ABC BDC AC BCBC 2=AC.CD AD=AB BC CDBC 2= AC（A

5、C+AB）=AC 2+AC.AB 二、中点问题例 3已知：如图,ABC中, AB=AC,在 AB上取一点 D,在 AC的延长线上取一点 E, 连接 DE交 BC于点 F, 如 F 是 DE的中点；求证：BD=CE 分析：由于 BD、CE的形成与 D、E两点有关,A但它们所在的三角形之间由于不是同类三角形,所以关系不明显,由于条件 F 是 DE的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键；由已知 AB=AC,联系到当过D点或 E点作平行线,就可以形成新BDGFCE的图形关系构成等腰三角形,也就是相当于先把BD或 CE 移动一下位置,从而使问题得解；证明：证法一：过点D

6、作 DG AC,交 BC于点 G（如上图） DGB=ACB, DGF= FCE AB=AC B=ACB B=DGB BD=DG F 是 DE的中点DF=EF 在 DFG 和 DEFC 中, DFG= EFCDGF= FCEDF=EF DFGEFC DG=CE BD=CE A D H 2 名师归纳总结 B F C E 第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证法二：如图,在 AC上取一点 H,使 CH=CE,连接 DH F 是 DE的中点CF是 EDH 的中位线DH BC ADH=B, AHD=BCA AB=AC B=BCA ADH=A

7、HD AD=AH AB-AD=AC-AH BD=HC BD=CE 说明：此题信息特点是“ 线段中点”；也可以过 E 作 EM BC,交 AB延长线于点 G,仿照证法二求解；例 4如图,已知 AB CD,AE平分 BAD,且 E是 BC的中点求证： AD=AB+CD 证法一：延长AE交 DC延长线于 F A B AB CD BAE=F, B=ECF E是 BC的中点BE=CE 在 ABE和 CEF中 BAE= F E B= ECFBE=CE ABE CEF C F AB=CF AE平分 ABD BAE=DAE DAE=F AD=DF DF=DC+CF CF=AB A B AD=AB+DC 证法二

8、：取AD中点 F,连接 EF AB CD,E 是 BC的中点EF是梯形 ABCD的中位线F E EF AB , EF=1（AB+CD）2 BAE=AEF AE平分 BAD BAE=FAE D C AEF=FAE AF=EF AF=DF EF=AF=FD=1 2AD AD 1 2 AB+CD= 1 2AD=AB+CD 三角平分线问题3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5如图（ 1）,OP是 MON的平分线,请你利用图形画一对以 请你参考这个全等三角形的方法,解答以下问题；OP所在直线为对称轴的全等三角形；（1）

9、如图（ 2）,在 ABC中, ACB是直角, B=60 ,AD、 CE分别是 BAC、 BCA的平分线,AD、CE相交于点 F, 请你判定并写出EF 与 FD之间的数量关系；（2）如图（ 3）,在 ABC中,假如 ACB不是直角,而（ 1）中的其他条件不变,请问,你在（1）中所得的结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如不成立,请说明理由；EMBO FNAPA 2 EFDC 1 BEFDA C 3 分析：此题属于学习性题型；这类题型的特点是描述一种方法,要求同学依据指定的方法解题；指定方法是角平分问题的“ 翻折法” 得全等形；解：（1） EF=FD （2）答：（1）结论 EF=FD仍旧成立 理由：

10、如图（ 3）,在 AC上截取 AG=AE,连接 FG 在 AEF和 AGF中,AE=AG EAF= FAG AF=AF AEF AGF EF=GF, EFA=GFA 由 B=60 , AD、CE分别是 BACBCA的平分线 可得 FAG+FCA=604 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - EFA=GFA=DFC=60 GFC=60在 CFG和 CFD中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE CFG CFD FG=FD 又由于 EF=GF EF=FD 说明：学习性问题是新课程下的新型题,意在考查同学现场学习才能

11、和自学才能；抛开此题要求从角平分线的角度想,此题也可以利用角平分线的性质“ 角平分线上的点到角的两边的距离相等” 达到求解的目的；解法二：（2）答（ 1）中的结论 EF=FD仍旧成立；B理由：作 FGAB于 G,FHAC于 H,FMBC于 M EAD=DAC FG=FH ACE=BCE FH=FG B=60 DAC+ACE=60EGFMD EFD=AFC=180 - 60 =120在四边形 BEFD中BEF+BDF=180 BDF+FDC=1800 FDC =BEF A HC在 EFG和 DFM中FDC = BEF 3 EGF= DMF=90FG=FMEFG DFM EF=DF 四、线段的和差

12、问题例 6 如图,在ABC中, AB=AC,点 P是边 BC上一点, PDAB于 D,PEAC于 E,CMAB于 M,摸索究线 段 PD、PE、CM的数量关系,并说明理由；分析：判定三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想 PD+PE=CM. 分析：在 CM上截取 MQ=PD,得 PQMD,再证明 CQ=PE 答： PD+PE=CM A 证法一：在CM上截取 MQ=PD,连接 PQ. CM AB于 M, PD AB于 D CMB=PDB=90MQECM DP 四边形 PQMD为平行四边形名师归纳总结 PQ AB 5 DPC第 5 页,共 15 页B CQP=CM

13、B=90 QPC=B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB=AC B=ECP QPC=ECP PE AC于 E PEC=90在 PQC和 PEC中MA EPQC= PEC QPC= ECP PC=PC PQC PEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PE PD+PE=CM DNCM, DPCB分析 2：延长 DF到 N使 DN=CM,连接 CN,得平行四边形再证明 PN=PE 证法 2：延长 DF到 N,使 DN=CM,连接 CN 同证法一得平行四边形DNCM,及 PNC PEC NPN=PE PD+PE=CM 分析 3：此题中含有 AB=

14、AC及三条垂线段 PD、DE、CM,且 S V PAB S V PAC S V ABC,所以可以用面积法求解；A 证法三：连接 AP,PDAB于 D,PE AC于 E,CMAB于 M PQC= PEC QPC=ECP PC=PC S VABP1AB.PDDMPEC2S VACP1AC.PE2S VABC1AB.CMB2 AB=AC 且S VPABS V PACS VABC1AB.PD1AB.PE1AB.CM222QAB0PDPECM说明：当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解；五、垂线段问题6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - -

15、- - - - - - 例 7 在平行四边形ABCD中, P 是对角线 BD上一点,且PEAB PFBC垂足分别是E、F 求证： ABPFDCBCPEPF分析：将比例式ABPF转化为等积式 AB.PEBCA ,联想到EAB.B1BC.PF,.PF1PEBCPE22即 PAB与 PBC的面积相等,从而用面积法达到证明的目的；证明：连接AC与 BD交于点 O,连接 PA、PC BEFADC在平行四边形ABCD中, AO=CO S VAOBS VBOC同理,S VAOPS V COPS VBOCS V COPS VAOBS VAOPS VPABS VPBCPEAB PFBC,S VPAB1AB.PE

16、 S VPBC1BC.PF221AB.PE1BC.PF22AB.PEBC.PFABPFBCPE例 8 求证：三角形三条边上的中线相交于一点；分析：这是一个文字表达的命题；要证明文字命题,需要依据题意画出图形,再依据题意、结合图形写出已知、求证；已知：ABC中, AF、BD、CE是其中线；求证： AF、BD、CG相交于一点；分析：要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的 交点即可；证明：设 BD、CE相交于点 G,连接 AG,并延长交 BC于点 F ,. 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - QADDCS V

17、ABDS VCBD,S VAGDS VCGDS VAGBS VCGB1AG.CN同理,S VCGBS VAGCS V AGB S V AGC作 BM AF ,于 M,CNAF ,于 N 就S VAGB1AG.BM S VAGC221AG.BM1AG.CN22BMCN在 BMF ,和 CNF ,中BF MCF NBMFCNFBMCN BMF CNF BFCF AF ,是 BC边上的中线又 AF时 BC边上的中线 AF与 AF ,重合即 AF经过点 D AF、BD、CE三线相交于点 G 因此三角形三边上的中线相交于一点；六、梯形问题例 9以线段 a=16,b=13 为梯形的两底,以c=10 为一腰

18、,就另一腰长d 的取值范畴是分析：如图,梯形ABCD中,上底b=13,下底 a=16,腰 AD= c=10,过 B 作 BE AD,得到平行四边形 ABED,从而得 AD=BE=10,AB=DE=13 所以 EC=DC-DE=16-13=3. A B所以另一腰d 的取值范畴是 10-3d10+3 答案： 7d13 例 10如图,已知梯形DECABCD中, AB DC,高 AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD的面积；分析：已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交叉,条件一时用不上；另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不肯定求出上、下底的长,所以考虑平移腰；解：解法一：如

19、图,过 A作 AF BD,交 CD延长线于 F 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - QAB FCA B四形 ABDF 是平行四形FDEBCFDAB AFBD15FCAB DCQAEFCAEFAEC；90在直角三角形AEF中, AE=12,AF=15 9150EFAF2AE22 152 12在直角三角形AEC中, AE=12,AF=15 216ECAC2AE22 2012ABDCFCEFEC91625S 梯形ABCD1ABDC.AE1 225 122解法二：如图,过B 作 BFDC于 F A BFC=90 AEDC

20、于 E AED= AEC=90；DE12150FCAEC=BFC=90；AE/BFQAB/DC1625ABFE是平行四形BFAC12 ,ABEF在直角三角形ABC中,AE12 ,AC20ECAC2AE2在直角三角形BDF中,BF12 ,BD1525DFBD2BF29ABDCDFCE916S 梯形ABCD1ABDC.AE1229 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 11. 如图,在梯形 ABCD中, AD BC,B+C=90 ,M、N分别是 AD、BC的中点,试说明：MN1BCADG 2分析 1： B+C=90 ,

21、考虑延长两腰,使它们相交于一点,A M D 构成直角三角形；解法 1：延长 BA、CD交于点 G,连接 GM、GN QBC；90BGC；90B N C AMMDGMAMAGMBGNGAMAGMBN又BNCNGNBBGNBQADPBCGAMB、A、 G共线 G、M、N共线QGM1AD GN1BCM分别作 AB、DC的平行线,梯形ABCD内部构成直22MNGNGM1BCAD2分析 2：考虑 M、N分别为 AD、BC中点,可以过角三角形,把梯形转化为平行四边形和三角形；解法 2：作 ME AB交 BC于 E, 作 MF DC交 BC于 F AD BC 四边形 ABEM、DCFM都是平行四边形QAMB

22、E=AM,FC=DM MFEB,MFECB E A N M D F C MDBEFCQBNCNENFN由MEPAB MFPDCMEFQBC；90MEF90； EMF=90 , 又 EN=FN MN1EF1 2BCAD210 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 模式归纳 通过上面各例的分析、解证,发觉添加适当的帮助线能使解题思路畅通,解答过程简捷；但帮助线的添加敏捷多变,似乎比较难以把握；其实添什么样的帮助线？怎么添帮助线？与已知条件的特点和所求问题的形成关系亲密；下面分类归纳几种常用的帮助线的添加方法；一、倍角问题

23、讨论 2 或 =1 问题通称为倍角问题；倍角问题分两种情形：21. 与 在两个三角形中,常作 的平分线,得1=1 ,然后证明1= ；或把2翻折,得 2=2 ,然后证明2= （如图一）2. 与 在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形；倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加帮助线（如图二）12图一图二二 中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题；这类问题常用三种方法添加帮助线（1）延长中线至倍（或者倍长中线）,如图一；如图形中没有明显的三角形的中线,也可以构造中线后,再倍长中线,如图二；（2）构造中位线,如图三图三图四（3）构造直角三角形斜边上的中线,如图四；图一图二11 名师

24、归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、角平分线问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题；常用的帮助线有两种：1. 以角平分线所在直线为对称轴,构造全等三角形,如图一、二所示；2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线,构造全等三角形,如图二所示；图一 图二 图三四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c 或 a=c-b ,称为线段的和差问题,常用的帮助线有两种：1.短延长：如AB=a,就延长 AB到 M,使 BM=b,然后证明 AM=c；2.长截短：如AB=c, 就在线段 AB上截取 AM=a,然后证明

25、MB=b；五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时,而所讨论的问题关系又不明显时,可以借助于可求图形的面积转化；常用的面积关系有：1. 同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；2. 同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系；六、梯形问题梯形可以看作是一个组合图形,组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等；因此,可以通过添加适当的帮助线,把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解,其基本思想为：梯形问题转化三角形或者平行四边形问题分割、拼接在转化、分割、拼接常常用的帮助线：1. 平移一腰；即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角

26、形（如图一） ；讨论有关腰的问题常常用平移一腰；2. 过顶点作高；即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二） ；讨论有关底或高的问题常常过顶点作高；3. 平移一条对角线；即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三） ；讨论有关对角线问题常常用平移对角线；这种添加帮助线的方法,可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内,题；此三角形的面积等于梯形的面积；使梯形的问题转化为三角形的问4. 延长两腰交于一点；把梯形问题转化为两个相像的三角形问题（图四）；5. 过底的中点作两腰的平行线；当已知中有底的中点时,常过中点

27、做两腰的平行线,把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形（图五）；6. 过一腰中点作直线与两底相交；当已知中有一腰的中点时,常连接梯形一顶点和此中点,并延长交另一底于一点,将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角形；此三角形的面积等于梯形的面积（图六）；7.作梯形中位线； 当已知中有一腰的中点时,常取另一腰的中点,作梯形的中位线, （图七）,利用梯形中位线性质解题；图一图二图三图四图五图六图七 拓展延长 1.已知：如图,ABC中, D是 BC的中点, F

28、是 CA延长线上一点,B E F A C 连接 FD交 AB于 E,如 AE=AF求证： BE=CF 证法一：延长ED到 G使 DG=DE,连接 CG. 在 BDE和 CDG中,BDCDD BDECDGDEDGV BDEV CDGG BEDG BECGQAEAFFFEAQFEABED,BEDGFGCGCFBECF证法二：延长FD到 G,使 DG=DF,连接 BG； DCF和 BDG中13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - DCBD,FDCBDG FDDG2、如图,V FDCVBDGFG CFBGQAEAFFFEA

29、又QFEABEDBEDGBEBGBE CFABC中, BC=2AB,D是 BC中点, E 是 BD中点求证： AD平分 EAC；证明一：延长AE到 F, 使 EF=AE F ADBFB A D C 在三角形 ADE和 BEF中DEBEE AEDBEFAEEFVAEDV BEFADEEBF,EADF ADEBADQBC2AB BDCDABBDDCQADC是ADB的外角ADCABDBADADCABF在三角形 ADC和 ABF中DCABADCABFADBFVADCVABFDACF又QFEADEADDACAD平分EAC证明 2：取 AC中点 F, 连接 DF D是 BC的中点 DF是 ABC的中位线A

30、 F B E D C 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - DFPAB DF1AB2ADFBAD2 2, 求 BE的值；QBC2AB BEDEABBDDC且DE1AB2BADADB DEDFADFADB在三角形ADE和 ADF中DEDFADFADBADADVADEVADFEADCADAD平分EAF3. 已知：如图,在梯形 ABCD中,AD BC,ABC=90 , C=45 ,BECD于 E,AD=1,CD解：过 D作 DF AB,交 BC于点 F C QADP BC是YA D E 四形ABFDBFAD1QDFPABDFCABC90.在直角VDFC中, C=45., CD=22cos CCFcos C2B F CDCFCD.BCBFFC3在直角VBEC中,BEC90.sinCBEBCBEBC.sinC3 22说明 2：延长两腰交于一点,也可求解；同学们不妨一试；15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页