2022年七年级数学培优提高讲义：相交线与平行线.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载七年级数学：相交线与平行线一、学问要点：1.平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种：相交和平行；2.两条不同的直线,如它们只有一个公共点,就说它们相交；即,两条直线相交有且只有一个交点；3.垂直是相交的特别情形；有关两直线垂直,有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上全部点的连线中,垂线段最短；4两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,假如两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫

2、做_ ；假如两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做 _ ；假如两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做 _. 5平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线 _. 推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么_. 6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行 .简洁说成： _. 两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直线平行 .简洁说成： _. 两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行.简洁说成： _. 7在同一平面内,假如两条直线都垂直于同一条直线,

3、那么这两条直线 _ . 8平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等 .简洁说成： .两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简洁说成： _ .两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补 .简洁说成： _；. 方法指导： 平行线中要懂得平行公理,能娴熟地找出 “ 三线八角”图形中的同位角、 内错角、同旁内角, 并会运用与“ 三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理,利用平行公理及其推论证明或求解；二、例题精讲例 1如图 1,直线 a 与 b 平行, 13x+70 , 2=5x+22 , 求 3 的度数；细心整理归纳 精选学习资料 243lba 第 1 页,共 9 页 - - -

4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载图 1例 2已知：如图 2, AB EF CD ,EG 平分 BEF , B+BED+ D =192 ,B- D=24 ,求 GEF 的度数；A BGCE图2DF图（ 2）例 3如图（ 3）,已知 AB CD,且 B=40 , D=70 ,求 DEB 的度数；C DA BE F图（ 3）；例 4已知锐角三角形ABC 的三边长为a,b,c,而 ha,hb,hc 分别为对应边上的高线长,求证： ha+hb+

5、hca+b+c bhaca图（ 4）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载例 5如图（ 4）,直线 AB 与 CD 相交于 O,EF AB 于 F,GH CD 于 H,求证 EF 与 GH 必相交；AFEGHDOC B图（ 5）例 6平面上 n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点,有多少个不同交点？例 7 6 个不同的点,其中只有3 点在同一条直线上,2 点确定一条直

6、线,问能确定多少条直线？例 810 条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域？图（ 6）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载1800例 9平面上 n 条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于nl 3l2Ol n图7 例 10（a）请你在平面上画出6 条直线（没有三条共点）,使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交,并简洁说明画法；（b）能否在平面上画出7 条直线

7、（任意3 条都不共CBAFEDIHGm1点）,使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交,假如能请画出一例,假如不能请简述理由；m2m3n1n2n3图（ 8） 三、巩固练习1平面上有5 个点,其中 仅有 3 点在同始终线上,过每2 点作一条直线,一共可以作直线 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - （）条A6B 7C8D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A 3B1 或 3C1 或 2 或 3D不肯定是1,2,3 3平面上 6 条直线两两相交,其中仅有3 条直线过一点,就截得不重叠线段共有（）A36 条B33 条C24 条D21 条4已知平面中有 n 个点 A , B

8、 , C 三个点在一条直线上,A , D , F , E 四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这 n个点作一条直线,那么一共可以画出 38 条不同的直线,这时 n等于（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ A）9 （ B）10 优秀学习资料欢迎下载（C）11 （ D）125如平行直线AB 、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形,就共得同旁内角 （B）A4 对B8 对C12 对D 16 对6如图,已知FD BE,就 1+2-

9、 3= A90B135C150D180AEGBA31CA1EFGCDBCH第 5 题D2第6题EF2DF第 7 题B7如图,已知AB CD, 1=2,就 E 与 F 的大小关系；8平面上有5 个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5 点之外这些直线最多仍有交点个部分；AGP9平面上 3 条直线最多可分平面为10如图, 已知 AB CD EF,PS GH 于 P,FRG=110 ,D就 PSQ；CSQElF11已知 A 、B 是直线 L 外的两点,就线段AB 的垂直平分第10题RH线与直线的交点个数是；12平面内有4 条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个；13已知：如图,DE CB

10、,求证： AED= A+ B 14已知：如图,AB CD ,求证： B+D+ F=E+G AAEBFDEG第 14 题DC 第 5 页,共 9 页 CBC第 13 题15如图,已知CBAB , CE 平分 BCD ,DE 平分 CDA ,ADEDC+ ECD =90 ,求证： DAAB E第 15 题16平面上两个圆三条直线,最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交, 最多有多少个不同的交点？最多将平面B细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

11、 - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载分成多少块区域？18始终线上 5 点与直线外 3 点,每两点确定一条直线,最多确定多少条不同直线？19平面上有 8 条直线两两相交,试证明在全部的交角中至少有一个角小于 23 ；20平面上有 10 条直线, 无任何三条交于一点,欲使它们显现 到？画出图形；31 个交点,怎样支配才能办细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载答案1 5

12、 个点中任取 2 点,可以作 4+3+2+1 10 条直线,在始终线上的 3 个点中任取 2 点,可作 2+13 条,共可作 10-3+18（条）应选 C 2平面上 3 条直线可能平行或重合；应选 D 3对于 3 条共点的直线, 每条直线上有 4 个交点, 截得 3 条不重叠的线段,3 条直线共有 9条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线,每条直线上有5 个交点, 截得 4 条不重叠的线段,3 条直线共有12条不重叠的线段；故共有 21 条不重叠的线段；应选 D 4由 n 个点中每次选取两个点连直线,可以画出 n n 1 条直线, 如 A , B , C 三点不在一条2直线上,可以画出 3 条

13、直线,如 A , D , E , F 四点不在一条直线上,可以画出 6 条直线,n n 1 3 6 2 38 . 整理得 n 2 n 90 0 , n 10 n 90 0 .2 n+9 0 n 10 ,选 B；5直线 EF、GH 分别“ 截” 平行直线 AB 、CD ,各得 2 对同旁内角,共 4 对；直线 AB 、CD 分别“ 截” 相交直线 EF、GH ,各得 6 对同旁内角,共 12 对；因此图中共有同旁内角4+616 对AHEGBF2A31EDCA12DEC第 5 题DGCBFB第 6 题F6 FD BE 2=AGF AGC= 1-3 1+2-3=AGC+ AGF=180 选 B7解：

14、 AB CD （已知） BAD= CDA （两直线平行,内错角相等） 1=2（已知） BAD+ 1=CDA+ 2（等式性质）即 EAD= FDA AE FD E F 8解：每两点可确定一条直线,这 5 点最多可组成10 条直线, 又每两条直线只有一个交点,所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 45（个）又因平面上这5 个点与其余4 个点均有 4 条连线,这四条直线共有3+2+1 6 个交点与平面上这一点重合应去掉,共应去掉5 6=30 个交点,所以有交点的个数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - -

15、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载应为 45-3015 个9可分 7 个部分 10解AB CD EF ASGPQlHB APQ DQG= FRG=110 同理 PSQ=APS CD PSQ= APQ-SPQ=DQG- SPQ EFR=110 -90 =2011 0 个、 1 个或很多个第10题1）如线段 AB 的垂直平分线就是L ,就公共点的个数应是很多个；2）如 AB L ,但 L 不是 AB 的垂直平分线,就此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系,所以它们没有公共点,即公共点个数为

16、0 个；3）如 AB 与 L 不垂直,那么 AB 的垂直平分线与直线 L 肯定相交,所以此时公共点的个数 为 1 个12 4 条直线两两相交最多有1+2+36 个交点DFEAB13证明：过E 作 EF BA 2=A（两直线平行,内错角相等）DE CB,EF BA C 1=B（两个角的两边分别平行,这两个角相等） 1+2=B+ A（等式性质）即 AED= A+B 14证明：分别过点E、F、G 作 AB 的平行线 EH、PF、 GQ,CPGEBH就 AB EH PF GQ（平行公理）AB EH FABE BEH （两直线平行,内错角相等）同理： HEF EFP QPFG FGQ DQGD GDC

17、ABE+ EFP+PFG+GDC BEH+ HEF+ FGQ+QGD（等式性质）ADE 即B+ D+ EFG= BEF+GFD AD15证明： DE 平分 CDA CE 平分 BCD EDC= ECD = BCE角平分线定义 CDA + BCD= EDC+ ADE+ ECD+ BCE =2（ EDC+ ECD） 180E 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - DA CB 又CBAB DAAB B第 15 题C16两个圆最多有两个交点,每条直线与两个圆最多有4 个交点,三条直线最多有3 个不同的交点,即最多交点个数为：2+4 3+3=17 17（1）2 个圆相交有交点2 1

18、 1 个,第 3 个圆与前两个圆相交最多增加2 24 个交点,这时共有交点2+2 26 个第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加2 36 个交点,这时共有交点2+2 2+2 3 12 个第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加2 48 个交点5 个圆两两相交最多交点个数为：2+2 2+2 3+2 420 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）2 个圆相交将平面分成优秀学习资料欢迎下载2 个区域3 个圆相看作第3 个圆与前 2 个圆相交,最多有2 24 个不同

19、的交点,这4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧, 每一段弧将它所在的区域一分为二,面共有区域： 2+2 26 块故增加 2 24 块区域, 这时平4 个圆相看作第4 个圆与前 3 个圆相交,最多有2 36 个不同的交点,这6 个点将第 4 个圆分成 6 段弧, 每一段弧将它所在的区域一分为二,面共有区域： 2+2 2+2 312 块故增加 2 36 块区域, 这时平5 个圆相看作第5 个圆与前 4 个圆相交,最多有2 48 个不同的交点,这8 个点将第 5 个圆分成 8 段弧, 每一段弧将它所在的区域一分为二,面最多共有区域：2+2 2+2 3+2 420 块故增加 2 48 块区域, 这时平

20、18直线上每一点与直线外3 点最多确定3 5=15 条直线；直线外3 点间最多能确定3 条直线, 最多能确定 15+3+1=19 条直线19将这 8 条直线平移到共点后,构成 8 对互不重叠的对顶角,这 8 个角的和为 180假设这 8 个角没有一个小于 23 ,就这 8 个角的和至少为 : 23 8=184 ,这是不行能的 .因此这 8 个角中至少有一个小于 23 , 在全部的交角中至少有一个角小于 2320平面上有 10 条直线, 如两两相交,最多可显现 45 个交点, 题目要求只显现 31 个交点,就要削减 14 个交点,就必需显现平行线,如某一方向上有 5 条直线相互平行,就可削减 10个交点；如有 6 条直线相互平行,就可削减 15 个交点；故在这个方向上最多可取 5 条平行线,这时仍有 4 个交点需要减去,转一个方向取 3 条平行线, 即可削减 3 个交点, 这时仍剩下 2 条直线和一个需要减去的点,只须让这 如图这三组平行线即为所求；2 条直线在第三个方向上相互平行即可；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -