2022年第十节--连续函数的运算与初等函数的连续性.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性要求 ：会利用函数的连续性求函数的极限,会争论分段函数的连续性；重点 ：利用函数的连续性求函数的极限；难点 ：分段函数连续性的争论；作业 ：习题 110（P ）1,2 4567 ,3 34 ,4问题提出 为了争论函数的连续性,用定义逐点争论将是很困难的但是, 假如我们用连续函数的一些特别性质来争论将会便利得多,因此来争论连续函数的四就运算,复合运算,从而争论我们主要争论对象初等函数连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性定理 1有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数,内连续,

2、定理 2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理 3两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数,且分母在该点不为零例 1函数tanxsinx,cotxcosx,由于sinx cosx在区间cosxsinx故由定理 3 知正切tanx和余切函数cotx在它们的定义域内是连续函数结论 2三角函数在它们的定义域内是连续函数二、反函数与复合函数的连续性定理 4 假如函数 y f x 在区间 I x 上单调增加（或单调削减）且连续,那么它的反函数 x y 在对应的区间 I y y f x x I x 上单调增加（或单调削减）且连续例 2正弦函数 y sin x 在区间 , 上单调增加且连续,所以

3、它的反正弦函数2 2y arcsin x 在相应的闭区间 1,1 上也是单调增加且连续同样,反余弦函数 y arccos 在区间 1,1 上是单调削减且连续；反正切函数 y arctan x 在区间 , 内是单调增加且连续；反余切函数 y arc cot x 在 , 是单调削减且连续结论 3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数定理 5 设函数 u x 当 x x 0 时的极限存在且等于 a ,即x lim x 0 x a,而函数y f u 在点 u a 处连续,那么复合函数 y f x ,当 x x 0 时的极限也存在且等于 f a ,即 limx x 0 f x f a 说明名师归纳总结

4、（1）上式又可写为lim x x 0fxflim x x 0x ；第 1 页,共 5 页（2）定理 5 中的xx0换成x可得类似定理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料x欢迎下载4例 3求极限limarctan x 0sinxarctan1x解limarctan x 0sinxarctanlim x 0sinxx名师归纳总结 定理 6设函数u x在点0x 处连续且x0u0,而函数yfu在点u 处连第 2 页,共 5 页续,那么复合函数yfx 在点0x 处也是连续的证明由于 lim u af u f a ,所以0,0, 当 |ua|时,有|f u

5、f a |又由于 x 在点x 连续,所以对上述的0 ,0,当|xx 0|时,有| a|即|ua|于是,对0,0, 当|xx 0|时,总有|f f a |所以复合函数yfx在点0x 处连续例 4争论函数ysin3x22x5及ysin1的连续性x解函数ysin3x22x5可看作由ysinu及u3x22x5复合而成,而正弦函数ysinu在区间u内是连续函数,又函数u3x22x5在 ,内是连续函数,据定理6 知复合函数ysin3x22x5在区间 , 内是连续函数函数ysin1可看作由ysinu及u1复合而成,而正弦函数ysinu在区间xx1u内是连续函数,又函数u在x0和0x内是连续函数,x据定理 6

6、 知复合函数ysin1在区间,0和0 ,内是连续函数x三、初等函数的连续性1 指数函数yaxa0 ,a1 在区间,内是连续函数证明对任0x,yax 0xax 0ax 0 ax1,在极限部分已证明极限lim x 0ax1,所以lim x 0ax1,故lim x 0ylim x 0ax 0ax10,因此指数函数yax在- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点x 处连续,又由于x0,精品资料欢迎下载yax在,内连续的任意性,指数函数2 对数函数ylogaxa0,a1 在区间0 ,内是连续函数0,内是连内总是有定义的, 因此幂函数在由指数函数yax单调性和连续性得

7、到3幂函数yx（为任何实数） 幂函数定义域随而变,不过在0,续的由于y,xelnx,函数yeu与ulnx都是连续的, 由定理 6 可知幂函数yx在区间0内连续4幂指函数形如yuxvx,ux0的函数称为幂指函数uu x v x 连续u x 0,就幂指函数y如函数u x v x 连续,且如极限lim x x 0ux A AAB0 ,lim x x 0v x B,就lim x x 0xv x2例 5求极限 lim1 x 0 x sin x2 1 2 x 1 2 x解 l i m 1 x s i n lim1 x x sin x lim1 x x limx 0 sin x e 2x 0 x 0 x 0

8、结论 4 指数函数,对数函数,幂函数在它们的定义域内连续5初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的（定义区间：包含在定义域内的区间）名师归纳总结 说明由连续性供应了求极限的方法,假如fx是初等函数,且x 是函数fx的定第 3 页,共 5 页义区间内的点,就有lim x x 0fxfx0例 6求极限limlnsinxx定义区间内的点,所以x2解由于x 02是初等函数fx lnsinlimlnsinxlnsin20x2例 7求极限lim x 01x2x1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解lim

9、x 01x2x1x精品资料x 2欢迎下载lim x 01x11x1lim x 01 x 11x2 x1x2 x2名师归纳总结 例 8求极限lim x 0log 1xa,第 4 页,共 5 页x解l o g 1 l i m x 0 xxlim x 0loga1x1logalim x 0 1x1logae1,xxlna如ae,就lim x 0ln1x1x例 9求极限lim x 0axx1解a l i m x 0x1ax1tlim t 0logattlna,x 1如ae,就lim x 0exx11例 10求极限lim x 0ln 1x2x 解lim x 0ln1x2xlim x 0ln12x1lnl

10、im x 012x12lne22x2x又同理可得lim x 0e3x13xtlim t 0t et133x从上面两例可得到,lim 0ln1,1lim 0e11,（中变量一样） 例 11求极限lim nnna1 a0解由于 n改为连续变量x,令1t,就x11x limxxa1x limax1x limax1lim t 0t elna1lim t 0etlnaa1lnaln11ttlnxx又由函数极限与数列极限关系定理,当n 为自然数时,有lim nn na1lna例 12当 b 为何值时,函数fxx2,b ,x1在区间,上连续xx1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

11、 - - - 解当x1时,fx x2精品资料欢迎下载为初等函数,所以是连续函数,1b1当x01时,fx xb为初等函数 , 所以是连续函数,10f 1 ,即当x1时,如使函数在x1处连续,必有f10 f,b时,函数fx在点x1处连续,从而在区间,上连续所以,当6常用的基本极限名师归纳总结 （1）设Pxa0xna1xn1an,Qxb 0xmb 1xm1,b m,第 5 页,共 5 页（a 00,b00,m ,n为自然数）0就x lim x 0P xP x0,Qx 0Qx 0,Qx 00 ,Px00Qx 消去零因子,Qx00 ,Px 00lim xP x a 0,mnb 00 ,mn1 2Qx ,mn（2）lim x 0sinx,1lim x 0tanx,1lim x 01cosxxxx2,（3）lim x 11xe ,lim x 01x1e,xxlim x 0loga 1x1alim x 0ln1x1xlnxlim x 0axx1lnalim x 0exx11（4）lim nnn,1lim nna1a0（5）lim xarctan x2,x limarctanx2x limarccotx,0x limarccotxlim xex,lim xex0- - - - - - -