2022年二次函数压轴题解题思路简化版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数压轴题解题思路一、基本学问1 会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关学问：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程；图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直；一些方法：如相像、三角函数、解方程；一些转换：如轴对称、平移、旋转；二、典型例题：（一）求解析式（2022 兰州）把抛物线 y= 2x2先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后,所得函数的表达式为（）Ay= 2（x+1 ）2+2 By= 2（x+1 ）2 2 Cy= 2（x 1）2+2 Dy= 2（x 1）2 2 （二）二次函数的相关应用第一类：

2、面积问题1.（2022.兰州） 如图,抛物线 y=x 2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,已知 A（1,0）,C（0,2）（1）求抛物线的表达式；（3）点 E 时线段 BC上的一个动点,过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F,当点E运动到什么位置时,四边形 CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时E点的坐标k | B名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载| 名师归纳总结 1 . c |O |m 第 2 页,共 1

3、3 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次类： .构造问题（ 1）构造线段2. （2022.莱芜）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a 0）经过点A（ 3,0）、B（1,0）、C（ 2, 1）,交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式；（2） D为抛物线在其次象限部分上的一点,作DE垂直 x 轴于点 E,交线段 AM于点 F,求线段 DF长度的最大值,并求此时点 D的坐标；解：（ 1）把 A（ 3,0）、

4、B（1,0）、C（ 2 ,1）代入 得,解得；抛物线的表达式为；（2 ）将 x=0 代入抛物线表达式,得y=1 点 M 的坐标为（ 0 ,1）；名师归纳总结 设直线 MA 的表达式为y=kx+b,第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就,解得；学习必备欢迎下载直线 MA 的表达式为；设点 D 的坐标为,就点 F 的坐标为；当时, DF 的最大值为；此时,即点 D 的坐标为；（3 ）存在点 P,使得以点P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相像；设 P,在 RtMAO 中, AO=3MO,要使两个三角形相像,由题意可知,点 P 不行能在

5、第一象限；设点 P 在其次象限时,点 P 不行能在直线 MN 上,只能 PN=3NM；,即,解得 m= 3 或 m= 8；此时 3m 0 ,此时满意条件的点不存在；当点 P 在第三象限时,点 P 不行能在直线MN 上,只能 PN=3NM；,即名师归纳总结 解得 m= 3（舍去）或m= 8 ；第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 m= 8 时,学习必备欢迎下载8 , 15 ）；,此时点 P 的坐标为（当点 P 在第四象限时,如 AN=3PN时,就,即 m2+m 6=0 ；解得 m= 3（舍去）或m=2 ；,当 m=2时,此时点 P

6、 的坐标为（ 2,）；如 PN=3NA,就,即 m2 7m 30=0 ；解得 m= 3（舍去）或m=10 ；,此时点 P 的坐标为（ 10 , 39 ）；当 m=10时,综上所述,满意条件的点P 的坐标为（8, 15 ）、（2,）、（10 , 39 ）；（ 2）构造相像三角形3. （2022.莱芜）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a 0）经过点A（ 3, 0）、B（1,0）、C（ 2,1）,交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式； （抛物名师归纳总结 线的表达式为y=）（3）抛物线上是否存在一点P,作 PN第 6 页,共 13 页垂直 x 轴于点 N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与MA

7、O 相像？如存- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y=在,求点P的坐标；如不存在,请说明理由抛物线的表达式为（ 2022.莱芜）解：由题意可知解得（ 2）将 x=0 代入抛物线表达式,得y=1点 M的坐标为（ 0,1）设直线 MA的表达式为y=kx+b ,就解得直线 MA的表达式为 y= x+1设点 D的坐标为（）,就点 F 的坐标为（） DF= =当 时, DF的最大值为此时,即点 D的坐标为（）（ 3）存在点 P,使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO相像设 P（ m,）在 Rt MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相像,由题

8、意可知,点 P 不行能在第一象限设点 P 在其次象限时,点 P不行能在直线 MN上,只能 PN=3NM,即 m 2+11m+24=0解得 m= 3（舍去）或 m= 8又 3m 0,故此时满意条件的点不存在当点 P 在第三象限时,点 P 不行能在直线 MN上,只能 PN=3NM,即m 2+11m+24=0解得 m= 3 或 m= 8此时点 P的坐标为（8, 15）当点 P 在第四象限时, 如 AN=3PN时,就 3,即 m 2+m 6=0解得 m= 3（舍去） 或 m=2当m=2时,此时点 P 的坐标为（ 2,）如 PN=3NA,就,即 m 2 7m 30=0解得 m= 3（舍去）或 m=10,

9、此时点 P 的坐标为（ 10, 39）综上所述,满意条件的点 P 的坐标为（8, 15）、（2,）、（10, 39）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 3）构造平行四边形4.（ 2022.莱芜）如图,过 x 于 C、D 两点抛物线A （1,0）、B（3,0）作 x 轴的垂线,分别交直线 y=42y=ax +bx+c 经过 O、C、D 三点（1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N,问是否存在这样的点 M ,使得以 A、C、M 、N

10、为顶点的四边形为平行四边形？如存在,求此时点 M 的横坐标；如不存在,请说明理由；（ 2022.莱芜）解：（ 1）由题意,可得 C（1, 3）,D（3, 1）抛物线过原点,设抛物线的解析式为： y=ax2+bx,解得,抛物线的表达式为：y=x2+x（ 2）存在设直线 OD 解析式为 y=kx,将 D（3,1）代入求得 k=,直线 OD 解析式为 y= x设点 M 的横坐标为 x,就 M （x,x）, N（x,x2+ x）,MN=|y M yN|=| x （x 2+ x） |=| x 2 4x|由题意,可知 MN AC ,由于以 A 、C、M 、 N 为顶点的四边形为平行四边形,就有 MN=AC

11、=3 | x2 4x|=3 如 x2 4x=3,整理得： 4x2 12x 9=0 ,解得： x= 或 x=；如 x2 4x= 3,整理得： 4x2 12x+9=0 ,解得： x=存在满意条件的点 M ,点 M 的横坐标为：或 或（ 4）构造等腰三角形5. （2022.泰安）如图,抛物线 y=1 x 2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0,-4 ）,与 x 轴交于2点 A,B,且 B 点的坐标为（ 2,0）（1）求该抛物线的解析式（2）如点 P 是 AB上的一动点,过点P 作 PE AC,交 BC于 E,连接 CP,求 PCE面积的最大值 （3）如点 D为 OA的中点,点 M是线段 AC上一点,

12、且OMD为等腰三角形,求 M点的坐标解：（ 1）把点 C（0, 4）, B（2,0）分别代入 中,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得,解得；学习必备欢迎下载该抛物线的解析式为；（ 2）令 y=0 ,即,解得 x1= 4,x2=2 ；A（ 4 ,0 ）, SABC = AB.OC=12 ；设 P 点坐标为（ x,0）,就 PB=2 x；PE AC,BPE= BAC ,BEP= BCA ；PBEABC ；,即,化简得：；当 x= 1 时, SPCE 的最大值为 3；（ 3） OMD 为等腰三角形,可能有三种情形：当

13、DM=DO 时,如图所示,DO=DM=DA=2,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - OAC= AMD=45 ；ADM=90 ；学习必备欢迎下载M 点的坐标为（2, 2）；当 MD=MO 时,如图所示,过点 M 作 MN OD 于点 N ,就点 N 为 OD 的中点,DN=ON=1,AN=AD+DN=3,；又 AMN为等腰直角三角形,MN=AN=3M 点的坐标为（1, 3）；当 OD=OM时,OAC 为等腰直角三角形,点 O 到 AC 的距离为 4=,即 AC 上的点与点O 之间的最小距离为；2,OD=OM 的情形不存

14、在；综上所述,点 M 的坐标为（ 2, 2）或（ 1, 3）；（ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 2）第一求出 PCE 面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值；（ 3） OMD为等腰三角形,分DM=DO, MD=MO, OD=OM三种情形争论即可；（ 5）构造直角三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6.（2022.四川内江）如图,抛物线y=ax学习必备欢迎下载2+bx+c 经过 A（ 3.0）、C（0,4）,点 B 在抛物线上, CB x 轴,且 AB 平分 CAO （ 1）求抛物线的解析

15、式；（2）线段 AB 上有一动点 P,过点 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 M ,使 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？假如存在,求出点 M的坐标；假如不存在,说明理由（ 2022.四川内江,第 28 题, 12 分）解：（ 1）如图 1, A （ 3,0）,C（ 0, 4）, OA=3 , OC=4 AOC=90 , AC=5 BC AO ,AB 平分 CAO, CBA= BAO= CAB BC=AC BC=5 BC AO ,BC=5,OC=4,点 B 的坐标为（ 5,4） A（ 3.0）、C（0,4）、B（5,4）

16、在抛物线 y=ax2+bx+c上,解得：抛物线的解析式为y= x2+x+4 （ 2）如图 2,设直线 AB 的解析式为 y=mx+n , A（ 3.0）、 B（5, 4）在直线 AB 上,解得：直线 AB 的解析式为y=x+设点 P 的横坐标为t（ 3t5）,就点 Q 的横坐标也为t yP=t+,yQ= t 2+t+4 PQ=yQ yP= t 2+t+4 （ t+） = t 2+t+4 t = t 2+= （ t 2 2t 15） =（ t 1）2 16= （ t 1）2+ 0, 315,当 t=1 时, PQ 取到最大值,最大值为线段 PQ 的最大值为（ 3）当 BAM=90 时,如图 3

17、所示抛物线的对称轴为x= xH=xG=xM= yG=+= GH= GHA= GAM=90 , MAH=90 GAH= AGM AHG= MHA=90 , MAH= AGM , AHG MHA =解： MH=11 点 M 的坐标为（,11）当ABM=90 时,如图 4 所示 BDG=90 , BD=5 =,DG=4 =, BG=同理： AG= AGH= MGB , AHG= MBG=90 , AGH MGB =解得： MG= MH=MG+GH=+=9名师归纳总结 点 M 的坐标为（, 9）综上所述：符合要求的点M 的坐标为（, 9）和（,11）第 11 页,共 13 页- - - - - - -

18、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7.（常德）已知如图,以 Rt ABC 的 AC 边为直径作 O 交斜边 AB 于点 E,连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D,点 F 为 BC 的中点,连接 EF （ 1）求证： EF 是 O 的切线； （2）如 O 的半径为 3, EAC 60 ,求 AD 的长；证明：（ 1）连接 FO 易证 OF AB AC O 的直径 CEAE OF AB OFCE OF 所在直线垂直平分 CE FCFE, OEOC FEC FCE, 0EC 0CE Rt ABC ACB 90即： 0CE FCE90 0EC FEC90即：

19、FEO 90 FE 为 O 的切线（ 2） O 的半径为 3 AO CO EO3 EAC 60 , OA OE EOA 60 COD EOA 60在 Rt OCD 中, COD60 , OC3 CD 33 在 Rt ACD 中, ACD 90 , CD 33, AC 6 AD 37 8.（呼和浩特） 如图, O 是 ABC 的外接圆, P 是 O 外的一点, AM 是 O 的直径, PAC=ABC 1 求证： PA 是 O 的切线；2 连接 PB 与 AC 交于点 D,与 O 交于点 E, F 为 BD 上的一点,如 M 为弧 BC 的中点,且 DCF= P,求证：BD/PD = FD/ED = CD/AD 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 .名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页