2022年集合间基本关系示范优秀教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从同学熟识的集合 自然数的集合、 有理数的集合等 动身 ,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系 ,同时 ,结合相关内容介绍子集等概念 .在支配这部分内容时 ,课本留意表达逻辑摸索的方法 ,如类比等 . 值得留意的问题 :在集合间的关系教学中 ,建议重视使用 Venn 图 ,这有助于同学通过体会直观图示来懂得抽象概念 ;随着学习的深化 ,集合符号越来越多 ,建议教学时引导同学区分一些容易混淆的关系和符号 ,例如与 的区分 . 三维目标1.懂得集合之间包含与相等的含义 ,能识别给定集合的子集 ,能

2、判定给定集合间的关系 ,提高利用类比发觉新结论的才能 . 2.在详细情境中 ,明白空集的含义 ,把握并能使用 Venn 图表达集合的关系 ,加强同学从详细到抽象的思维才能 ,树立数形结合的思想 . 重点难点教学重点 :懂得集合间包含与相等的含义 . 教学难点 :懂得空集的含义 . 课时支配1 课时教学过程导入新课思路 1.实数有相等、大小关系 ,如 5=5,53 等等 ,类比实数之间的关系 ,你会想到集合之间有什么关系呢？让同学自由发言 ,老师不要急于作出判定 ,而是连续引导同学 欲知谁正确 ,让我们一起来观看、研探 . 思路 2.复习元素与集合的关系 属于与不属于的关系 ,填空 :10N;2

3、2Q;3-1.5R. 类比实数的大小关系 ,如 57,22,试想集合间是否有类似的“ 大小 ” 关系呢？ 答案：1;2 ;3 推动新课新知探究提出问题1观看下面几个例子 : A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; 设 A 为国兴中学高一 3班男生的全体组成的集合 ,B 为这个班同学的全体组成的集合 ; 设 C=x|x 是两条边相等的三角形 ,D=x|x 是等腰三角形 ; E=2,4,6,F=6,4,2. 你能发觉两个集合间有什么关系吗？2例子中集合A 是集合 B 的子集 ,例子中集合E 是集合 F 的子集 ,同样是子集 ,有什么区别？3结合例子 ,类比实数中的结论 : “如 a b,且 b

4、a,就 a=b” ,在集合中 ,你发觉了什么结论 . 4按升国旗时 ,每个班的同学都集合在一起站在旗杆邻近指定的区域内 ,从楼顶向下看 ,每位同学是哪个班的 ,一目了然 .试想一下 ,依据从楼顶向下看的 ,要想直观表示集合 ,联想集合仍能用什么表示？5试用 Venn 图表示例子中集合 A 和集合 B. 1 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6已知 A B,试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系 . 7任何方程的解都能组成集合 ,那么 x 2+1=0 的实数根也能组成集合集合吗？,你能用 Venn 图表

5、示这个8一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应当如何命名呢？9与实数中的结论“如 a b,且 b c,就 a c”相类比 ,在集合中 ,你能得出什么结论 . 活动： 老师从以下方面引导同学 : 1观看两个集合间元素的特点 . 2从它们含有的元素间的关系来考虑 .规定 :假如 A B,但存在 xB,且 x A, 我们称集合 A是集合 B 的真子集 ,记作 A B或 B A. 3实数中的 “ ”类比集合中的 . 4把指定位置看成是由封闭曲线围成的 ,同学看成集合中的元素 ,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内 .老师指出 :为了直观地表示集合间的关系

6、 ,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合 ,这种图称为 Venn 图. 5封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等 ,没有限制 . 6分类争论 :当 A B 时,A B 或 A=B. 7方程 x 2+1=0 没有实数解 . 8空集记为 ,并规定 :空集是任何集合的子集 ,即 A; 空集是任何非空集合的真子集 ,即AA. 9类比子集 . 争论结果：1集合 A 中的元素都在集合 B 中; 集合 A 中的元素都在集合 B 中; 集合 C 中的元素都在集合 D 中; 集合 E 中的元素都在集合 F 中 . 可以发觉 :对于任意两个集合 A,B 有以下关系 :集合 A 中的元素都在集合 B 中;或集合 B 中

7、的元素都在集合 A 中. 2例子中 A B,但有一个元素 4 B,且 4 A; 而例子中集合 E 和集合 F 中的元素完全相同. 3如 AB,且 BA,就 A=B. B. . 图 1-1-2-2 4可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合5如图 1121 所示表示集合A,如图 1122 所示表示集合图 1-1-2-16如图 1-1-2-3 和图 1-1-2-4 所示 . 图 1-1-2-3 图 1-1-2-4 7不能 .由于方程 x 2+1=0 没有实数解 . 8空集 . 2 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - -

8、 - - 9如 AB,BC,就 AC;如 AB,BC,就 AC. 应用示例思路 1 1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时 ,该产品才合格 .如用 A 表示合格产品的集合 ,B表示重量合格的产品的集合 ,C 表示长度合格的产品的集合 .已知集合 A、B、C 均不是空集 . 1就以下包含关系哪些成立？A B,B A,A C,C A. 2试用 Venn 图表示集合 A 、B、C 间的关系 . 活动： 同学摸索集合间的关系以及 Venn 图的表示形式 .当集合 A 中的元素都属于集合 B 时,就 A B 成立 ,否就 A B 不成立 .用相同的方法判定其他包含关系是否成立 .老师提示同学以下两点

9、 : 1重量合格的产品不肯定是合格产品,但合格的产品肯定重量合格. ; 长度合格的产品不肯定是合格产品,但合格的产品肯定长度合格2依据集合 A、B、C 间的关系来画出Venn 图 . 解： 1包含关系成立的有:BA,CA. 2集合 A 、B、C 间的关系用变式训练课本 P7 练习 3. Venn 图表示 ,如图 1-1-2-5 所示 . 图 1-1-2-5 点评： 此题主要考查集合间的包含关系 .其关键是第一明确两集合中的元素详细是什么 . 判定两个集合 A、 B 之间是否有包含关系的步骤是 :先明确集合 A 、B 中的元素 ,再分析集合A、B 中的元素之间的关系 ,得:当集合 A 中的元素都

10、属于集合 B 时,有 A B;当集合 A 中的元素都属于集合 B,当集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A 时 ,有 A B;当集合 A 中的元素都属于集合 B,并且集合 B 中的元素也都属于集合 A 时,有 A=B; 当集合 A 中至少有一个元素不属于集合 B,并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合 A 时,有 A B,且 B A, 即集合 A、B 互不包含 . 2.写出集合 a,b 的全部子集 ,并指出哪些是它的真子集 . 活动： 同学摸索子集和真子集的定义 ,老师提示同学空集是任何集合的子集 ,一个集合不是其本身的真子集 .按集合 a,b 的子集所含元素的个数分类争论 . 解： 集

11、合 a,b 的全部子集为 ,a,b,a,b. 真子集为 ,a,b. 变式训练2007 山东济宁一模 ,1 已知集合 P=1,2, 那么满意 QP 的集合 Q 的个数是 D.1 A.4 B.3 C.2 分析 :集合 P=1,2 含有 2 个元素 ,其子集有 22=4 个, 又集合 QP,所以集合 Q 有 4 个. 答案： A 点评： 此题主要考查子集和真子集的概念 ,以及分类争论的思想 .通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的全部子集 ,这样可以防止重复和遗漏 . 摸索 :集合 A 中含有 n 个元素 ,那么集合 A 有多少个子集？多少个真子集？3 / 9 名师归纳总结 - - - - -

12、- -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 当 n=0 时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20; 4=22. 当 n=1 时,即含有一个元素的集合如a 的子集为,a, 即子集的个数是2=21; 当 n=2 时,即含有一个元素的集合如a,b 的子集为,a,b,a,b,即子集的个数是 集合 A 中含有 n 个元素 ,那么集合 A 有 2 n 个子集 ,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合 A 有2n-1个真子集 . 思路 2 1.2006 上海高考 ,理 1 已知集合 A=-1,3,2m-1, 集合 B=3,m 2. 如 B A,就实数 m=_. 活

13、动： 先让同学摸索 B A 的含义 ,依据 B A,知集合 B 中的元素都属于集合 A,集合元素的互异性 ,列出方程求实数 m 的值 .由于 B A,所以 3A,m 2A.对 m 2 的值分类争论 . 解： B A, 3A,m 2A. m 2=-1舍去 或 m 2=2m-1. 解得 m=1.m=1. 答案： 1 点评： 此题主要考查集合和子集的概念 ,以及集合元素的互异性 .此题简单显现 m 2=3,其缘由是忽视了集合元素的互异性 .防止此类错误的方法是解得 m 的值后 ,再代入验证 . 争论两集合之间关系时 ,通常依据相关的定义 ,观看这两个集合元素的关系 ,转化为解方程或解不等式 . 变式

14、训练已知集合 M=x|2-x2 ,由于 N M, 就 N= 或 N,要对集合 N 是否为空集分类争论 . 解： 由题意得 M=x|x2 ,就 N= 或 N. 当 N= 时,关于 x 的方程 ax=1 中无解 ,就有 a=0; 当 N时,关于 x 的方程 ax=1 中有解 ,就 a 0,此时 x= 1,又 N M, 1 M. 12. a a a0a 1.综上所得 ,实数 a 的取值范畴是 a=0 或 0a 1,即实数 a 的取值范畴是 a|0 a 1 2 2 22.1分别写出以下集合的子集及其个数 : ,a,a,b,a,b,c. 2由1你发觉集合 M 中含有 n 个元素 ,就集合 M 有多少个子

15、集？活动： 同学摸索子集的含义 ,并试着写出子集 .1按子集中所含元素的个数分类写出子集 ;2由1 总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律 ,归纳猜想出结论 . 答案： 1 的子集有 : ,即 有 1 个子集 ; a 的子集有 :、a, 即a 有 2 个子集 ; a,b 的子集有 :、a 、b 、a,b, 即a,b 有 4 个子集 ; a,b,c 的子集有 :、a 、b 、 c 、a,b 、a,c 、 b,c 、a,b,c, 即a,b,c 有 8 个子集 . 2由1可得 :当 n=0 时,有 1=2 0 个子集 ; 当 n=1 时,集合 M 有 2=2 1 个子集 ; 当 n

16、=2 时,集合 M 有 4=2 2 个子集 ; 当 n=3 时,集合 M 有 8=2 3 个子集 ; 因此含有 n 个元素的集合 M 有 2 n 个子集 . 变式训练已知集合 A2,3,7, 且 A 中至多有一个奇数,就这样的集合A 有 A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个分析 :对集合 A 所含元素的个数分类争论. A=或2 或3 或7 或2,3 或2,7 共有 6 个 . 4 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： D 点评： 此题主要考查子集的概念以及分类争论和归纳推理的才能 .集合 M 中含有

17、n 个元素 ,就集合 M 有 2 n 个子集 ,有 2 n-1 个真子集 ,记住这个结论 ,可以提高解题速度 .写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象 . 知能训练课本 P7 练习 1、2. 【补充练习】1.判定正误 : 1空集没有子集 . B. 2空集是任何一个集合的真子集. 3任一集合必有两个或两个以上子集. 4如 BA,那么凡不属于集合A 的元素 ,就必不属于 分析 :关于判定题应的确把握好概念的实质. 解： 该题的 5 个命题 ,只有 4是正确的 ,其余全错 . 对于 1、2来讲 ,由规定 :空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 2 n对于 3

18、来讲 ,可举反例 ,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于 4来讲 ,当 xB 时必有 xA,就 xA 时也必有 xB. 2.集合 A=x|-1x3,x Z, 写出 A 的真子集 . 分析 :区分子集与真子集的概念 ,空集是任一非空集合的真子集个,真子集有 2 n-1 个,就该题先找该集合元素 ,后找真子集 . ,一个含有 n 个元素的子集有解： 因-1x3,x Z,故 x=0,1,2, 即 a=x|-1x3,x Z=0,1,2. 真子集 :、1 、2 、0 、0,1 、0,2 、1,2, 共 7 个. 3.1以下命题正确选项A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数

19、集是整数集的真子集D.1 是质数集的真子集2以下五个式子中 ,错误的个数为 1 0,1,2 1,-3=-3,1 0,1,2 1,0,2 0,1,2 0 A.5 B.2 C.3 D.4 3M=x|3x4,a= 就以下关系正确选项 A.a M B.a M C.a M D.a M 分析 :1该题要在四个挑选肢中找到符合条件的挑选肢 ,必需对概念把握精确 , 无限集的真子集有可能是无限集 ,如 N 是 R 的真子集 ,排除 A;由于 只有一个子集 ,即它本身 ,排除 B;由于 1 不是质数 ,排除 D. 2该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系. 0. 应是 10,1,2, 应是0,1,2, 应是

20、故错误的有. 3M=x|3x4,a= .因 3a4,故 a 是 M 的一个元素 . a 是x|3x2m-1 即 m2m-1, 得 m4. m152m12综上有 m4. 点评： 此问题解决要 留意： 不应忽视;找 A 中的元素 ;分类争论思想的运用. 拓展提升问题 :已知 A B,且 A C,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8, 就满意上述条件的集合 A 共有多少个？活动： 同学摸索 A B,且 A C 所表达的含义 .A B 说明集合 A 是集合 B 的子集 ,即集合 A中元素属于集合 B,同理有集合 A 中元素属于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B 和集合 C的公共元素 .

21、思路 1:写出由集合B 和集合 C 的公共元素所组成的集合,得满意条件的集合A; B,思路 2:分析题意 ,仅求满意条件的集合A 的个数 ,转化为求集合B 和集合 C 的公共元素所组成的集合的子集个数. 由 此 , 满 足A解 法 一 ： 因AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,有:,0,1,2,3,4, 0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3

22、,4,0,1,2,3,4, 共 2 5=32个. 又满意 A C 的集合 A 有: ,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4, 0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8, 共 2 4=16个 . 其中同时满意 A B,A C 的有 8 个: ,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4, 实际上到此就可看出 ,上述解法太繁 . 解法二： 题目只求集合 A 的个数 ,而未让说明 A 的详细元素 ,故可将问题等价转化为 B、C 的公共元素组成集合的子集数是多少 .明显公共元素有 0、2、4,组成集合的子集有 2 3=8个 . 点评： 有关集合间关系

23、的问题 ,常用分类争论的思想来解决 ;关于集合的子集个数的结论要熟练把握 ,其应用特别广泛 . 课堂小结本节课学习了 : 子集、真子集、空集、Venn 图等概念 ; 能判定存在子集关系的两个集合谁是谁的子集 ,进一步确定其是否是真子集 ; 清晰两个集合包含关系的确定 ,主要靠其元素与集合关系来说明 . 作业课本 P11习题 1.1A 组 5. 设计感想本节教学设计留意引导同学通过类比来获得新知 ,在实际教学中 , 要留给同学适当的摸索时间 ,使同学自己通过类比得到正确结论 .丰富同学的学习方式、改进同学的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,同学的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆

24、、仿照和接受 ,独立摸索、自主探究、合作沟通、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式 . 7 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 备课资料备选例题【例 1】下面的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系 ,问集合 A、B、C、D、E 分别是哪种图形的集合？图 1-1-2-6 思路分析： 结合 Venn 图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定 . 解： 梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故 A= 四边形 ; 梯形不是平行四边形、菱形、正

25、方形 ,而菱形、正方形是平行四边形,故 B= 梯形 ,C= 平行四边形 ; 正方形是菱形,故E= 正方形 , 即 A= 四边形 ,B= 梯形 ,C= 平行四边形 ,D= 菱形 ,E= 正方形 . 【例 2】2006 全国高中数学联赛山东赛区预赛,3 设集合 A=x|x|2-3|x|+2=0,B=x|a-2x=2,就满意 BA 的 a的值共有 D.5 个A.2 个B.3 个C.4 个分析 :由已知得 A=x|x|=1 或|x|=2=-2,-1,1,2,BA, B=或 B. 集合 B 是关于 x 的方程 a-2x=2 的解集 , 当 B=时,关于 x 的方程 a-2x=2 无解 ,a-2=0. 2

26、2A, a=2.当 B时,关于 x 的方程 a-2x=2 的解 x=aa22=-2 或a22=-1 或a22=1 或a22=2. 解得 a=1 或 0 或 4 或 3,综上所得 ,a 的值共有 5 个. 答案： D 【例 3】 2005 天津高考 ,文 1 集合 A=x|0 x3且 xN 的真子集的个数是 A.16 B.8 C.7 D.4 分析 :A=x|0 x3且 xN=0,1,2, 就 A 的真子集有23-1=7 个. 答案： C 【例 4】已知集合 A=x|1 x3,B=x|x-1x-a=0, 试判定集合 B 是不是集合 A 的子集？是否存在实数 a 使 A=B 成立？解析 :先在数轴上

27、表示集合 A, 然后化简集合 B,由集合元素的互异性 ,可知此时应考虑 a的取值是否为 1,要使集合 B 成为集合 A 的子集 ,集合 B 的元素在数轴上的对应点必需在集合 A 对应的线段上 ,从而确定字母 a 的分类标准 . 当 a=1 时,B=1, 所以 B 是 A 的子集 ;当 1a3时,B 也是 A 的子集 ;当 a3 时,B 不是 A的子集 .综上可知 ,当 1a3时,B 是 A 的子集 . 由于集合 B 最多只有两个元素,而集合 A 有很多个元素 ,故不存在实数a,使 B=A. 点评：分类争论思想 ,就是科学合理地划分类别,通过 “各个击破 ” ,再求整体解决 即先化整为零 ,再聚

28、零为整 的策略思想 .类别的划分必需满意互斥、无漏、 最简的要求 ,探究划分的数量界限是分类争论的关键 . 摸索8 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1空集中没有元素 ,怎么仍是集合 . 2符号 “ ”和“” 有什么区分 . ,剖析 :1疑点是总是对空集这个概念困惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的缘由是没有明白建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如 ,依据集合元素的性质方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于1=0,x2+4=0 等方程来说 ,它们的解集x中没有元素 .也就是

29、说的确存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念 ,把不含任何元素的集合叫做空集 .这就是建立空集这个概念的背景 .由此看出 ,空集的概念是一个规定 .又例如 ,不等式 |x|0 的解集也是不含任何元素 ,就称不等式 |x|0 的解集是空集 . 2难点是常常把这两个符号混淆 ,其突破方法是精确把握这两个符号的含义及其应用范畴 ,并加以对比 .符号只能适用于元素与集合之间 ,其左边只能写元素 ,其右边只能写集合 ,说明左边的元素属于右边的集合 ,表示元素与集合之间的关系 ,如-1Z, 1Z;符号 只能适用于2集合与集合之间 ,其左右两边都必需写集合 ,说明左边的集合是右边集合的子集 ,表示集合与集合之间的关系 ,如1 1,0, x|x0. 9 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页