2022年高三数学导数专题例题及知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学第五课时导数专题一、导数的基本应用（一）争论含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值基本方法：一般通法：利用导函数争论法特别方法：（1）二次函数分析法； （2）单调性定义法第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注,以及求导运算和分类争论的才能与技巧【例题 1】已知函数 f x 2 x b2,求导函数 f x ,并确定 f x 的单调区间 x 1解：f 2 x 1 2 2 x4 b 2 x 1 2 x 2 b3 2 2 x b3 1 x 1 x 1 x 1令 f 0,得 x b 1当 b 1 1,即 b

2、 2 时,f x 2,所以函数 f x 在 , 和 1, 上单调递减x 1当 b 1 1,即 b 2 时,f x 的变化情形如下表：x ,b 1 b 1 b 11 1,f 0 当 b 1 1,即 b 2 时,f x 的变化情形如下表：x ,1 1,b 1 b 1 b 1,f 0 所以,b 2 时,函数 f x 在 ,b 1 和 1, 上单调递减,在 b 11, 上单调递增,b 2 时,函数 f x 在 , 和 1, 上单调递减b 2 时,函数 f x 在 , 和 b 1, 上单调递减,在 1,b 1 上单调递增其次组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类争论的意识、才能和技巧3 2【例题 2】已

3、知函数 f x x mx nx 2 的图象过点 1, 6 ,且函数 g x f 6 x 的图象关于 y 轴对称 .（）求 m、n 的值及函数 y f x 的单调区间； （）如 a 0,求函数 y f x 在区间 a 1, a 1 内的极值 . 解：（）由函数 f x 图象过点 1, 6 ,得 m n 3, 名师归纳总结 第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由f x 3 x2 mxnx2,得f 2 3 x2 mx n ,就g x f x 6 x2 3 x2 m6 x n；而g x 图象关于 y 轴对称,所以2 m60,所以m3,6

4、,无极大值；当a1或23代入得n0.于是f 3 x26 x3 x x2. 由f 0得x2或x0,故f x 的单调递增区间是,0 , 2, ；由f 0得 0x2,故f x 的单调递减区间是0, 2 . （）由（）得f 3 x x2,令f 0得x0或x2. 当 x 变化时,f x 、f x 的变化情形如下表：x,000, 222,fx0 0 fx增极大值减微小值增由此可得：当0a1时,f x 在 a1,a1内有极大值f02,无微小值；当a1时,f x 在 a1,a1内无极值；当 1a3时,f x 在 a1,a1内有微小值f26,无极大值；当a3时,f x 在 a1,a1内无极值 . 综上所述,当

5、0a1时,f x 有极大值2 ,无微小值；当 1a3时,f x 有微小值a3时,f x 无极值 . 点评：此题是前面两个例题的变式,同样考查了对导函数零点的分类争论,但争论的直接对象变为了函数自变量的研究范畴,故此题思路不难,旨在帮忙同学加深对此类问题本质的熟悉,并提升其详尽分类,正确运算的水平. 第 2 页,共 13 页【例题 3】已知函数f x x21alnx,a0,xI 争论f x 的单调性 ; II设 a=3,求f x 在区间 1 ,2 e 上值域 . 其中 e=2.71828 是自然对数的底数. 解：（）由于f/ 12a,令t1得f/ 2 t2at1 t0x2xx当a280,即 0a

6、2 2时,f/ 0恒成立,f x 在 ,0,0, 上都是增函数 . 当a280,即a2 2时,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由2 t2at10得taa28或ta2 a844x0或xaa28或0xaa28a 28xaa 2822又由2 t2at10得aa 28taa28,a4422综上 ,当 0a2 2f x 在 ,0,0, 上都是增函数；上都是增函数,当a2 2f x 在,0,0,aa28及a2 a8,22在aa28,aa28是减函数 . 222,2 e上是增函数 . （2）当a3时,由（ 1）知,f x 在1,2上是减函数,在又f1

7、0,f223ln 20,2 f e2 e2505. e2函数f x 在区间 1,2 e 上的值域为22 3ln 2, e2e2点评：（1）第一问在前面例题的理论基础上,进一步加大了运算的难度,涉及到了换元法,分母有理化等代数技巧；（2）其次问将问题延长到了函数值域上,过程比较简洁,是一个承上启下的过渡性问题 . （二）利用函数的单调性、极值、最值,求参数取值范畴基本思路：定义域 单调区间、极值、最值 不等关系式 参数取值范畴基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题 4】已知函数f x 3 x2 2 bxcx2的图象在与 x 轴交点处的切线方程是y5 x10. （I）求函数f x 的解析

8、式；g x 取得极值时对应的自变mx,如 g x 的极值存在 ,求实数 m 的取值范畴以及函数（II）设函数g x f 13量 x 的值 . 解：（I）由已知 ,切点为 2,0,故有f20,即 4bc30 第 3 页,共 13 页又f 2 3 x4 bxc ,由已知f2128 bc5得 8 bc70 22 xx2联立,解得b1, c1.所以函数的解析式为f x 3 x（II）由于g x x32x2x21mx令g x 3 x24x11m033名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当函数有极值时,方程3x24x11m0有实数解.就41m 0,得m

9、1. 3当m1时,g 0有实数x2,在x2左右两侧均有g x 0,故g x 无极值33当m1时,g 0有两个实数根x 1121m,x2121m,g x ,g x 情形如下表：33x,x 11xx x 22xx 2g x + 0 - 0 + g x 极大值微小值所以在m,1时,函数g x 有极值；1 2 31m 时,g x 有微小值；当x1 2 31m 时,g x 有极大值；当x点评：（1）此题第一问是求曲线切线的逆向设问,解题过程进一步强化了对切点的需求. 1. 第 4 页,共 13 页（2）此题其次问是函数求极值的逆向设问,解题方法本质仍旧是求含参数的函数的极值,难度不大【例题 5】 设 a

10、R ,函数fx 3 ax3 x2（）如x2是函数yf x 的极值点,求 a 的值；（）如函数g x f x f ,x0 2, ,在x0处取得最大值,求a 的取值范畴解：（）f 2 3 ax6 x3 x ax2由于x2是函数yf x 的极值点,所以f20,即62a20,因此a体会证,当a1时,x2是函数yf x 的极值点（）由题设,g x 3 ax3 x22 3 ax6x2 axx33 x x2当g x 在区间 0 2, 上的最大值为g0时,g0g 2,即020a24故得a 65反之,当a6时,对任意x0 2, ,5g x 62 x x33 x x23 2 x 25x103 2 5x5x20,5

11、而g00,故g x 在区间 0 2, 上的最大值为g0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上,a的取值范畴为,65点评：（1）本 题是求函数最值的逆向问题,答案所用的解法是一种比较特别的方法,具有肯定的思维难度 . （2）本 题如用一般方法,就可求出 g0=0,将问题转化为 gx0 的恒成立问题,此种解法的运算量将有所加大 . （三）导数的几何意义【例题 6】设函数f x axb,曲线yf x 在点 2,f2处的切线方程为7x4y120. x（）求yf x 的解析式；x0和直线 yx 所围成的三角形面积为定值,并求此定（）证明：曲线yf

12、x 上任一点处的切线与直线值. 解：（）方程 7 x 4 y 12 0 可化为 y 7 x 3,当 x 2 时,y 1；4 2b 1又 f x a b2,于是 2 a2 2,解得 a 1,故 f x x 3xa b 7 b 3 x4 4（）设 P x 0 , y 0 为曲线上任一点,由 y 1 32 知曲线在点 P x 0 , y 0 处的切线方程为xy y 0 1x 30 2 x x 0,即 y x 0x 30 1x 30 2 x x 0令 x 0,得 y 6,从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 0, 6；x 0 x 0令 y x ,得 y x 2 x ,从而得切线与直线 y x 的交点

13、坐标为 2 x 0 ,2 x 0；所以点 P x 0 , y 0 处的切线与直线 x 0, y x 所围成的三角形面积为 1 6 2 x 0 6；2 x 0故曲线 y f x上任一点处的切线与直线 x 0, y x 所围成的三角形面积为定值 6. 二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：依据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范畴基本方法：通性通法：函数最值掌握法特别方法：（1）二次函数判别式法； （2）零点存在性定理第一组 二次函数（1）本 组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的熟悉；（2）本 题旨在提升对函数与方程关系问题的熟悉水平；（3）研 究二次函数零点分

14、布问题时,除了判别式法以外,应补充极值（最值）掌握法,为三次函数零点分布争论做方法上的铺垫 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题 7】设函数f x x39x26xa 2（1）略；（2）如方程f x 0有且仅有一个实根,求a 的取值范畴 . m第 6 页,共 13 页解：由于当x1时, f 0;当1x2时 , f 0;当x2时, f 0; 所以当x1时,f x 取极大值f15a ; 2当x2时 ,f x 取微小值f22a ; 故当f20或f10时, 方程f x 0仅有一个实根 . 解得a2或a5. 2点评：此

15、题是零点问题的方程形式,用函数最值掌握法解答,属于本类问题的原型题. 【例题8】已知二次函数ygx的导函数的图像与直线y2x 平行,且yg x在 x =1 处取得最小值1m0.设函数fxgxx（1）如曲线yf x 上的点 P 到点 Q0,2 的距离的最小值为2 ,求 m 的值；（2）kkR如何取值时 ,函数yfxkx存在零点,并求出零点 . 解：（1）设g xax2bxc ,就gx2axb；又 gx 的图像与直线y2x 平行2a2,解得a1又 g x 在x1取微小值,b1,解得b22g1abc12cm ,解得 cm；所以fxg xxm2,xx设P x yo,就PQ22 x 0y 022x2x0

16、m222 x 02 m22 2 2 m20x02 x 02 22 m24,解得m2；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2（2）由yfxkx1k xm20,得1k x22 xm0*x当k1时,方程* 有一解xm,函数 yfxkx有一零点xm；22当k1时,方程*有二解44 m1k0,如m0,k11, yf xkx有两个零点x24 4 m1k11km1k；m2 1k1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如m0,k11, yf xkx有两个零点x24 4 m1k11km1k；m2 1k1当k1时,方程*有一解4 4 m1k0,即k11, y

17、f xkx有一零点xk11m点评：（1）此题第一问是涉及均值定理的最值问题,题目运算量中等,思维难度不大；（2）其次问涉及到的函数为二次函数,故而用含参二次方程的根系关系争论根的分布问题,是本部分的原型问题和 重点问题 . 【例题 9】已知 a 是实数,函数fx2 ax 22 x3a,假如函数yfx在区间1,1 ,求 a 的取值范畴 . 解：如a0 , f x 2x3 , 明显函数在1,1上没有零点 . 37如a0,令48 a3a8 a224a40, 解得a2当a327时, yfx 恰有一个零点在1,1 上; x在1,1上也恰有一个零点. 当f1f1a1a50,即 1a5时, yf当 yfx

18、在1,1 上有两个零点时, 就a0a08 a224a408 a224a40111或1112a2a或a325. f10f10f10f10解得a5或a325,综上,所求实数a 的取值范畴是a1点评：此题以二次函数为载体,设定在区间范畴上的零点存在性问题,解答时依零点个数进行分类争论,涉及到含参二次方程根的分布争论、零点存在性定理. 是原型问题和重点题. 0 的实数第 7 页,共 13 页【例题 10】已知函数f x 3 x12 a xa a2 x b , a bR （II）如函数f x 在区间 1,1上不单调,求 a 的取值范畴解：（）函数fx在区间1,1不单调,等价于导函数fx 在1 1, 既能

19、取到大于0 的实数,又能取到小于即函数fx 在1 1, 上存在零点,依据零点存在定理,有a2 0f1 f1 0,即：32 1a aa2 32 1a a 整理得：a5 a1 a120,解得5a1其次组三次函数（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的熟悉；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）此题旨在提升对函数与方程关系问题的熟悉水平；（3）本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的熟悉,进而深化对导数方法、极值、最值的懂得 . 【例题 11】已知函数 f x x 3 3 ax 1, a 0（I）求 f x 的单调区间；（

20、II）如 f x 在 x 1 处取得极值,直线 y=m 与 y f x 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范畴 .解：（1）f 3 x23 a3x2a,xa,a ,当a0时,对 xR ,有f 0,所以f x 的单调增区间为,当a0时,由f 0解得 xa 或 xa ,由f 0解得a所以f x 的单调增区间为,a ,a,单调减区间为a . （2）由于f x 在x1处取得极大值,所以f 12 3 13 a0,a1.所以f x 3 x3x1,f 3 x23,由f 0解得x 11,x 21 . 由（ 1）中f x 的单调性可知,f x 在x1处取得极大值1,在x1处取得微小值 -3. 由于直线 ym

21、与函数yf x 的图象有三个不同的交点,所以 m 的取值范畴是 3,1 . 点评：（1）本 题是三次函数零点存在性问题的典型变式题,涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2）本 题最终将问题转化为争论三次函数根的分布,采纳极值（最值）掌握法；（3）在 这里应结合上面例题进一步揭示争论二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系,以便进一步加深对函数极值（最值）的熟悉和对利用导数争论函数性质 . （二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间范畴内恒成立或存在解为条件,求参数的取值范畴基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题基本方法：通性通法：变量分别法、变量转换、最值掌

22、握法特别方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布争论【例题 12】设函数f x a3 x3x2aa1x1, 其中a为实数 . 第 8 页,共 13 页32（）如f x2xa1对任意0,都成立,求实数x 的取值范畴 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：法一（变量转换,最值掌握法）：2 ax3 xa12 xx a1 对任意a0,都成立 . 即a x22x22x0对任意a0,都成立x 分别出来了,设g a a x 22x 22 x aR ,就对任意 xR,g a 为单调递增函数aR所以对任意a0,g a 0恒成立的充分必要条件是g00.

23、即x22x0,2x0, 于是 x 的取值范畴是x| 2x0法二（变量分别法） ：由题设知：ax23 xa1x2xa1对任意a0,都成立,即a x 22x22 x0对任意a0,都成立 . 于是a2 x2 x对任意a0,都成立,即2 x2 x0.解得 x 的取值范畴是x| 2x0. x 22x 22点评：变量分别法可以任何一个变量分别出来,例如此题也可以求出二次方程的根,这样就是将变量但过程较复杂,不宜在此处选用. 设两曲线yf x ,【例题 13】已知定义在正实数集上的函数f x 1x22ax ,g x 3 a2lnxb ,其中a02yg x 有公共点,且在该点处的切线相同（I）用 a 表示 b

24、 ,并求 b 的最大值；（ II）求证：fx gx,其中 x 0解：（）设yf x 与yg x x0在公共点x 0,y 0处的切线相同f x2a,g x 3 a2,由题意f x 0g x 0,fx 0g x 0x即12 x 02 ax 03 a2lnx 0b,x 02 a3 a2得：0xa ,或x 03 a （舍去）2由x 02 a3 a2,第 9 页,共 13 页x 0x 0即有b1a22a23a2lna5a23a2lna 22令h t 5t23 t2ln t t0,就h t 2 13ln t 211于是当t13ln 0,即0te 时,h t 0；当 13ln 0,即te 时,h t 011

25、故h t 在0,e 3为增函数,在e, 为减函数,于是h t 在 0, 的最大值为h e13e2332名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）设F x f g x 1x22ax3a2lnxb x0,2就F x2a3 a2xax3 x0f x 0g x 00xx故F x 在 0,a为减函数,在a, 为增函数,于是函数F x 在 0, 上的最小值是F a F x 0故当x0时,有f x g x 0,即当x0时,f x g x 点评：（1）本 题以曲线的切线问题的载体,在第一问中考查了函数最值的求法；（2）第 二问是恒成立问题的应用 .两函数比较

26、大小通过相减构造新函数运用导数学问（三） “零点存在与分布问题”与 “恒成立、存在解问题” 之间的关系（1）研 究对象的本质相同,因此解题方向一样：函数的极值或最值掌握是解决这两类问题的通性通法,针对特别类型的函数,如二次函数,又都可以用相应的函数性质进行争论；（2）研 究对象的载体不同,因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题,后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（3）原型问题是根本,转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题,因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题,然后利用通性通法加以解决,在转化过程中应留意命题的等价性. 【例题 14】设函数f

27、x 1x3x2m21 x,xR,其中m03（）略；（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数fx有三个互不相同的零点0,x 1, x 2,且x 1x 2.如对任意的xx 1x 2,fxf 1 恒成立,求m 的取值范畴 . 解：（2）fx x22xm21,令f x 0,得到x1m ,x1m第 10 页,共 13 页由于m,0 所以 1m1m,当 x 变化时,fx ,f x 的变化情形如下表：x1,m 1m1m 1,m 1m1m ,f x + 0 - 0 + fx极极小值大值f x 在1,m 和1m ,内减函数,在1m 1,m 内增函数 . 函数fx在x1m处取得极大值f1m ,且f 1m =2m3

28、m2133函数fx 在x1m处取得微小值f1m ,且f 1m =2m3m2133（3）解：由题设,fx x1x2xm21 1x xx 1xx233名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以方程1x22xm21=0 由两个相异的实根mx 1, x 2,故x 1x 23,3且14 3m1 0,解得m1舍,122x由于x 1x 2,所以2x 2x1x 23 ,故x23 21x 1x 2的最小值为0,于是对任意的如x11x 2,就f 1 11x 11x20,而f1x0,不合题意3如1x 1x 2,就对任意的xx 1x 2有xx 10 ,xx20 ,就

29、fx1xxx 1xx20又fx 10,所以函数f x 在x3x 1x 2,fxf1 恒成立的充要条件是f 1 m210,解得3m3 3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 33综上, m 的取值范畴是1,323四、其它形式的问题【例题 15】设函数f x 3 x2 ax2 a x1, 2 ax2 x1, 其中实数a0g x 的最小值为h a ,求 （）如a0,求函数f x 的单调区间；（）当函数yf x 与yg x 的图象只有一个公共点且g x 存在最小值时,记的值域；（）如f x 与g x 在区间 , a a2内均为增函数,求a 的取值范畴第 11 页,共 13 页解：（）f 3 x22 axa23xaxa ,又a0,3当xa 或