2022年高中不等式集.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载必修五第三章不等式命题人：李发第一节不等关系与不等式与等量关系一样,不等量关系也是自然界中普遍存在着的一种基本的数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学争论和数学应用中也有重要作用 不等式来表示这种不等关系 . 一、不等式.那么,怎样来描述这种不等关系呢？在数学中,用不等式的定义：用不等号、 、 、 、等表示不等关系的式子叫做不等式,而用 、号连接的不等式叫做严格不等式；用、号连接的不等式叫做非严格不等式. 两个不等式的关系： f x 0 与 g x 0 或 f x 0 与 g x 0 叫做同向不等式； f x 0

2、 与 g x 0 或 g x 0 与 f 0 叫做异向不等式；同解不等式：解集相等的几个不等式叫做同解不等式 . 证明不等式：证明不等式成立的过程叫做证明不等式 . 二、不等式的基本性质：（对称性） ： abbac ；（传递性） ：ab bcac ;ab bcac（可加性）：不等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式,不等号的方向不变. abacb【同向可加性：ab c da c b d ；异向可减性：ab c da cb d ；】（可积性） ：ab c0acbc ；ab c0acbc ；【同向且同正的不等式可以相乘,但不能相除：如ab0,cd0,就 acbd ；】【异向同正不等式可以

3、相除,但不能相乘：如ab0,0cd ,就a cb；】d（乘方法就） ：ab0anbnnN,且n1同正不等式1 b】（开方法就） ：ab0nanb nN,且n1同正不等式（同向正数可乘性） ：ab c0acbc ；（异向正数可除性）ab0,0cdabcd（倒数法就） ：ab011;ab011【如 bab0,ab ,就1 a1；如ab0,ab ,就1 aabab例题讲解、1、对于实数a ,b ,c中,给出以下命题： 如 ab ,就2 ac2 bc ；如2 2ac bc,就 ab ；如a b0,就2 a2 ab b ；如ab0,就1a1；如a b0,就baa；如 ba b0,就 ab ；如ca ba

4、cbb；0,就bca如ab ,11,就a0,b0.其中正确的命题是（答：） ；yab7）；2、已知1xy1, 1xy3,就 3xy 的取值范畴是（答： 13 x名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、已知abc,且abc0,就c精品资料欢迎下载（答：2,1）的取值范畴是a2三、不等式大小比较的常用方法：有比较才有鉴别.客观事物的不等关系最终都必需在两个实数的不等关系上.怎样描述两个实数的不等关系呢？在数学中,描述两个实数的不等关系,其形式为 a b、a b,其解主要采纳的方法是比较法 . 所谓比较法,就是通过两个实数

5、 a 与 b 的差或商的符号（范畴）来确定 a 与 b 的大小关系的方法 .常见的方法有作差法和作商法 . 1、作差法：a b 0 a b ；a b 0 a b ；a b 0 a b ；（作差 变形（分解因式、配方 判号 定论）a a a2、作商法：1 a b ; 1 a b ; 1 a b ;（作商 变形 与 1 比较 定论）b b b用于分数指数幂的代数式3、分析法：4、平方法：5、分子（或分母）有理化：6、利用函数的单调性：7、查找中间量或放缩法：8、图象法：例题讲解：1、设a0 且a,1t0,比较1loga和logat21的大小logatlogat21（t1时取等号）；2答：当a1时,

6、1 2log atlog at1（2t1时取等号）；当 0a1时,1 22、设a2,paa12,q2a24a2,试比较p,q的大小（答：pq ）；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、比较 1+log x3与2logx2 x0 且x1精品资料欢迎下载的大小答：当 0x1 或x4时, 1+log x3 2logx2；当1x4时, 1 log 3 2log 2；当x4时, 1+log x33332log2其次节几种重要的不等式一、基本定理2 2定理 1 ：假如 a b R ,那么 a b 2 ab（当且仅当 a b 时

7、取 号） . 定理 2（基本不等式） ：假如 a 0,b 0,那么 a b ab .（当且仅当 a b 时取到等号） .基本不2等式给出了两个正数的和与积之间的不等关系,具有将“ 和式” 化为“ 积式以及将“ 积式” 化为“ 和式”的放缩功能,主要用于证明不等式 .制造使用基本不等式的条件的手段一般为：通过分别变量、拆项、配凑因2a b式等,使和或积为定值,等号能够成立 .【变形公式：a b 2 ab ,ab .表述为两个正数的算2术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均 .】用基本不等式求最值时（积定和最小,和定积最大）,要留意使用的三个条件“ 一正、二定、三相等 , 和定积最大,积定和最小

8、”. 定理 3 （三个正数的算术几何平均不等式）：假如 a 0,b 0, c 0,那么 a b c 3abc （当且仅3当 a b c 时取到等号） .表述为三个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均 . 例题讲解：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1、以下命题中正确选项A、yx1的最小值是2 B、y2 x3的最小值是2 4 3 （答： C）；x2 x2C、y2 3 x4 x 0 的最大值是 2 4 3x,就 2 x4 y 的最小值是D、y2 3 x4 xx0 的最小值是 22、如x2y

9、1（答： 22 ）；（答： 32 2 ）；,x y满意x2y1,就11的最小值为3、正数xy二、几个闻名不等式平均不等式：文字语言：调和平均1几何平均b算术平均2平方平均 . ,当且仅当 ab 时取 号） . 符号语言：a12baba2a2b,（a bR2常用不等式有：名师归纳总结 - - - - - - - a、 、cR,a2b2c2abbcca （当且仅当 abc时,取等号） ；如ab0,m0,就b abm（糖水的浓度问题）. amaba2b22 a22 b;a22 b2 a b .2例题：假如正数a 、 b 满意abab3,就 ab 的取值范畴是（答： 9,）幂平均不等式：2 a 1a2

10、.a21a 1a 2.a n2 .2nn二维形式的三角不等式：2 x 1y 12x 22y 22x 1x 22y 1y 22x 1,y x2,y 2R.二维形式的柯西不等式：a2b2c2d2acbd2 , , , a b c dR .当且仅当 adbc 时,等号成立 . 三维形式的柯西不等式：a 12a22a22 b 1b 22b 32a b 1 1a b 2a b 3 32 .3一般形式的柯西不等式：2 a 12 a 2.2 a n2 b 12 b 2.b n2 ab 1 1a b 2 2.2 ab n n .当且仅当ib0 i1,2, n ,或存在实数 k ,使a ikb i1,2, ur

11、 ur , n 时,等号成立 . ur ur是两个向量,就ur ur,当且仅当ur是零向量,或存在实数k ,使向量形式的柯西不等式：设urkur时,等号成立 . 第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载b b 2,.,b 的任一排序不等式（排序原理）：设a 1a2.a n,b 1b 2.b 为两组实数 .c c2,.,c 是排列,就a b na b n1.a b 1a c 1 1a c2.a c na b 1 1a b 2.a b （反序和乱序和次序和）,当且仅当a 1a 2.a 或b 1b 2.b 时,反序和等于次序和. x x2x 1x2,

12、琴生不等式 :（特例 :凸函数、凹函数）如定义在某区间上的函数f x ,对于定义域中任意两点有fx 12x 2f x 12f x 2或fx 12x 2f x 12f x 2就称f x 为凸（或凹）函数. 贝努力不等式：假如x 是实数,且x1,x0,n 为大于 1 的自然数,那么有1x n1nx三、证明不等式的几种常用方法 比较法（作差,作商法）综合法：一般地,从已知条件动身,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合法或顺推法或由因导果法 . 分析法 :证明命题时我们通常要从要证的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直到所需要的条件为已知条件或

13、一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法或执果索因法1. 1 n；放缩法：舍去或加上一些项,如a123a12 ;1n111111nn n2 nn n1n12422* k N k11将分子或分母放大（缩小）,如11, 1112 ,1 2 kk2k1k2k, 112 kk k2 kk kkkkkk1kk1k1k1kkk1；等.12k1换元法：问题中含有x2y2R2,2 xy22 R时,设xRcos ,yRsin反证法：即先假设要证的命题不成立,以此为动身点,结合已知条件,进行正确的推理,得出和命题的条 件相冲突的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立 . 构造法 函数

14、单调性法数学归纳法：第一步,证明当nn 时命题成立；其次步,假设当nk kN,kn0时命题成立,证明nk1时命题成立 . 例题讲解：已知abc,求证：a2b2b2cbc2aab2bc2ca2；2bc已知 a、 、cR,求证：ab2c2c2a2abca名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知a b x yR ,且1 a1 ,x by精品资料xa欢迎下载；,求证：xyyb如 a、 、 是不全相等的正数,求证：lga2blgb2clgc2algalgblgc ；已知 a、 、cR,求证：2 2a b2 b c22 c a2

15、abc abc ；如nN*,求证：n2 11 n12 n1n ；已知 |a| |b ,求证：|a|b|a|b|；|ab|ab|求证：111L12；222 3n2名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第三节一元一次不等式与一元二次不等式在中学,我们学习过解一元一次不等式.例如,解不等式12x10.解这个不等式,x21,x1 2是说2满意 2x10的 x 都大于1 2,写成集合的形式就是x x,我们称这个集合是不等式10x的解集 . 2一、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解 . 一个

16、含有未知数的不等式的全部解的集合,组成这个不等式的解集 . 求不等式解集的过程叫做解不等式 . 二、不等式的分类：肯定不等式：3x2 或 32 ；2x30（一元一次不等式、一元二次不等式）; 冲突不等式：23 ；条件不等式：210、x2三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式 . 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1 3 、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组 .

17、4、一元一次不等式组的解集 :几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、解不等式组 :求不等式组的解集的过程,精品资料欢迎下载我们叫做解不等式组.【当任何数 x 都不能使不等式同时成立,就说这个不等式组无解或其解为空集.】6、一元一次不等式组的解法（1 ）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2 ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集 . 四、一元二次不等式1、一元二次不等式的概念：一般地,不等式中只含有一个未知数,且

18、含未知数的项的最高次数是 2 ,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式 . 2、解一元二次不等式,最好的方法就是把方程、函数和不等式三者融为一体,借助方程的根以及函数的图象写出不等式的解集.其中二次函数的零点是联系这三个“ 二次” 的纽带. 及其解法ax20bxc一元二次不等式ax2bxc0和ax2bxc0 a0x 2y判别式00yax2bxcyax2bxc二次函数的图象a xx 1xx 2axx 1xyax2bxc a0一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc0a0xx 1,x 2x 1x22x 1x2b没有实根2aax2bxc0a0xx 1或xxxxxbR2a2xx

19、 1xaxbxc0a02留意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边,小于型取中间3、解一元二次不等式的关键名师归纳总结 （ 1）明确ax2bxc0a0或ax2bxc0a0在判别式0时的解集的结构是关键.在未确定二次第 8 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载项系数 a 的取值情形下,应当先分 a 0 和 a 0 两种情形进行争论2（ 2）如给出了一元二次不等式的解集,就可以知道二次项系数 a 的符号和方程 ax bx c 0 的两个根,再由根与系数的关系就知道了

20、a、 、c 之间的关系 . （3 ）解含有字母参数的一元二次不等式,要留意对字母的取值进行争论：对二次项系数与 0 的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与 0的大小进行争论；假如判别式大于 0 ,但两根的大小确定时,对两根的大小进行争论 . 4 、一元二次不等式的恒成立 ,能成立 ,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）、在实数集 R 上,ax2bxc00恒成立,就a00,且0 ,反之也成立；x 轴的不等式2 axbx c0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

21、当a0时b0, c0; 当a0时a00.不等式2 axbx c0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a0时b0, c0; 当a0时a00.f x a 恒成立f x maxa;f x a 恒成立f x maxa;f x a 恒成立f x mina;f x a 恒成立f x mina .、在实数集 R 上,ax2bxc00恒成立,就a00,且0 ,反之也成立；、一元二次不等式在某一区间D上恒成立,通过相应二次函数的图象判定函数图象在这个区间上与相对位置,列出不等式恒成立时满意的条件即可. 恒成立问题如不等式f x A 在区间 D 上恒成立 ,就等价于在区间D上fxminA如不等式f x B

22、在区间 D 上恒成立 ,就等价于在区间D上fxmaxB例题讲解：1、设实数,x y 满意x23y121,当xyc0时, c 的取值范畴是（答：121,）；2、不等式xa对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范畴（答：a）；x43、如不等式2 x1m 2x1对满意m2的全部 m 都成立, 就 x 的取值范畴（答：（71,31）；22名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、如不等式1na21 n1对于任意正整数精品资料欢迎下载（答： 2,3）；n 恒成立, 就实数 a 的取值范畴是n25、如不等式x22mx2 m10对

23、0x1的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 .（答：m1）2能成立问题如在区间 D 上存在实数 x 使不等式afxA成立 ,就等价于在区间D上fxmaxA ；（答：a1）如在区间 D 上存在实数 x 使不等式fxB成立 ,就等价于在区间D上的fxminB . 例题： 已知不等式x4x3在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴恰成立问题如不等式fxA在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA的解集为 D ；如不等式fxBfxB在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式的解集为 D . 第四节不等式的解法1、一元二次不等式的解法【规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两

24、边 .】2 2求一元二次不等式 ax bx c 0 或 0 a 0, b 4 ac 0 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数；二判：判定对应方程的根；三求：求对应方程的根；四画：画出对应函数的图象；五解集：根据图象写出不等式的解集. ,结2、高次不等式的解法： 【数轴穿根法：分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿（奇穿偶不穿）合原式不等号的方向,写出不等式的解集.】例题：不等式x23x2x4 20的解为（）x3A、 1x1或x2B、x3或 1x2C、x4或3x1或x2D、x4或x3或 1x21、解不等式x1x220（答： x x1或x2）；2、不等式x22 x2x30的解集是（答：

25、x x3或x1）；3、设函数f x 、g x 的定义域都是R ,且f x 0的解集为 x|1x2,g x 0的解集为,就不名师归纳总结 等式f x g g x 0的解集为（答： ,1U2,）；第 10 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、要使满意关于x 的不等式2x29xa精品资料欢迎下载x24x30和0（解集非空） 的每一个 x 的值至少满意不等式x26x80中的一个,就实数a 的取值范畴是 . （答：7,81）83、分式不等式的解法：先移项通分标准化,然后转化成整式不等式. f x 0f x g x 0；f x 0f x g x

26、0g x g x g x 00的解集为规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 例题 1 、解不等式x252x31（答： 1,1U2,3）；x例题 2 、关于 x 的不等式axb0的解集为1 ,就关于 x 的不等式axbx2（答：,1 2 ,）. 4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解名师归纳总结 f x a a0f 02. 第 11 页,共 22 页f af a a0f x 02f x afxgxfx0x2或fx0gx0gx0fxgf x 0f g x g x 0f x g x 2f g x f 0g x 0f g x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“ 小” 的一

27、边分析求解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5、指数不等式的解法：当ax1时,af x ag x f x g x g x 当 0a1时, af ag x f x af规律：依据指数函数的性质转化.lgbb a0,b0f x lga6、对数不等式的解法当a1时, logaf x logag x f 0logaf x logag x f x 0.g x 0当 0a1时,g x 0. f x g x f g x 规律：依据对数函数的性质转化7、含肯定值不等式的解法：基本解法与思想：解含肯定值的不等式的基本思想是等价转化,即采纳正确的方法去掉

28、肯定值符号转化为不含肯定值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法g x .【 规律：关键是去掉肯定值的符号.】定义法（零点分段法） ：aaaa0. 0f2 g2 . a平方法（不等式两边都是非负时,两边同时平方）：f x 公式法：x 1x2是指数轴上1x ,x 两点间的距离 . 、肯定值的几何意义：x 是指数轴上点 x 到原点的距离；、常见类型：xaaxa a0;xa a0;bc ；g x 0xaxa 或xa a0;xaR a0;当c0时, |axb|caxbc 或 axbc ； |axb|ccax当c0时, |axb|cxR , |axb|cxf x g x f x g x g x

29、 f x g x 0f x g x f g x 或例题 1 、解不等式 |x|x1|3（答： , 1U2,）（答：4 3）例题 2 、如不等式 | 3x2| | 2xa 对 xR恒成立,就实数a 的取值范畴为名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载含肯定值不等式的性质：例题 3 、设f x2a、b同号或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab ；a| 1a、b异号或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab . xa| 1,求证： |f x f a |2|x13,实数 a 满意 |8、含有两个（或两

30、个以上）肯定值的不等式的解法：去肯定值、每段中取交集,最终取各段的并集 .】例题 1 ：解不等式 x 1 x 2 5【零点分段法规律：找零点、划区间、分段争论分析 :由 x 1 0,x 2 0,得 x 1 和 x 2 . 2 和1把实数集合分成三个区间,即,x 2, 2 x 1, x 1,按这三个区间可去肯定值,故可按这三个区间争论 . x 2解:当 x 2 时,得,解得：3 x 2 x 1 x 2 52 x 1,当 2 x 1 时,得,解得：2 x 1 x 1 x 2 5x 1,当 x 1 时,得 解得： 1 x 2 x 1 x 2 5.综上,原不等式的解集为 x 3 x 2说明 :1 原不

31、等式的解集应为各种情形的并集 ;2 这种解法又叫“ 零点分区间法”,即通过令每一个肯定值为零求得零点,求解应留意边界值 . 例题 2 、对任何实数 x ,如不等式 x 1 x 2 k恒成立,就实数 k 的取值范畴为 A k 3 B k 3 C k 3 D k 3分析 :设 y x 1 x 2,就原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 k y min,于是题转化为求 y 的最小值 . x-1 0 2解: x 1、x 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x 1-x 2 的几何意义为数轴上点 x 到 1与 2 的距离之差,如图可得其最小值为 3 ,应选（ B）. 变式训练：名师归纳总结 - - -