2022年中考复习之不等式与一元一次不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载中考复习之不等式与一元一次不等式（组）及解法学问考点：明白一元一次不等式、一元一次不等式组的概念,能娴熟地运用不等式的性质解一元一次不等式（组）,并把它们的解集在数轴上表示出来,能够依据详细问题中的数量关系,列出一次不等式（组）解决简洁的问题；精典例题：【例 1】解不等式 y 1 y 1y 1 1,并在数轴上表示出它的解集；3 2 6分析：按基本步骤进行,留意防止漏乘、移项变号,特殊留意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时,不等号的方向要转变；答案： y 6 x 2 x 1 3【例 2】解不等式组 2 x 5 x,并在数轴

2、上表示出它的解集；3分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分,故应将不等式组里各不等式分别求出解集,标到数轴上找出公共部分,数轴上要留意空心点与实心点的区分,与方程组的解法相比较可见思路不同；答案： 1 x 5 x y k【例 3】求方程组 的正整数解；5 x 3 y 26分析：由题设知, k 必为正整数,由方程组可解得用含k的代数式表示x、y,又x、y均大于零,可得出不等式组,解出 k的范畴,再由k为正整数可得k 6、7、 8,分别代入可得解；x 4 x 1答案：当 k 6 时,；当 k 8 时,y 2 y 7探究与创新：【问题一】已知不等式 3 x a 0,的正整数解只有 1、2、3,

3、求 a ；略解：先解 3 x a0 可得： x a ,考虑整数解的定义,并结合数轴确定 a 答应的范畴,可得 33 3a 4,解得 9 a 12；3不要被“ 求 a ” 二字误导,以为 a 只是某个值；【问题二】某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,方案利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件,已知生产一件 A种产品用甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利 700 元；生产一件 B 种产品用甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元；（1）按要求支配 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产 A、 B 两种产品

4、总利润为 y元,其中一种产品生产件数为 x 件,试写出 y 与 x 之间的函数关系式,并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？略解：（1）设生产 A 种产品 x 件,那么 B 种产品50x 件,就：45 000 元；9 x 4 50 x 360 解得 30 x 32 3 x 10 50 x 290 x 30、31、32,依 x 的值分类,可设计三种方案；（2）设支配生产A 种产品 x 件,那么：y700x120050x整理得：y500x60000（ x 30、31、32）依据一次函数的性质,当x 30 时,对应方案的利润最大,最大利润为跟踪训练：一、填空题：1、用不等式表示：名师

5、归纳总结 3x 1 是非负数 2x 5 不大于 3 a 的 2 倍减去 3 的差是负数；第 1 页,共 23 页；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料2、如 a b , m 为实数,用不等号填空：欢迎下载m2am2b； m m ,就 mamb；3、如2m 2m2,就不等式82 m0 的整数解是；4、当 1 x 2 时,代数式x1x24 x4的值等于5、如不等式组2 xa1的解集为 1 x 1,那么a1 b1 的值等于x2 b36、已知关于 x 的不等式组52x01无解,就 a 的取值范畴是；xa二、选择题：1、以下各中,不满意不等式2 x5

6、x8的解集的是（）5 只,就A、 4 B、 5 C2、对任意实数 a ,以下各式中肯定成立的是（、 3 D、5 ）A、aa B、aa C、aa D、aa3、函数 y x 5x 1A、 x 1 B的自变量 x 的取值范畴是（）、 x 5 且 x 1 、 x 1 C、 x 0 D4、函数yx11的自变量 x 的取值范畴是（）A、 x 1 B、 x 1 C x 的取值范畴；、 x 0 D、全体数三、求以下各函数中自变量1、yxx； 2、y2；1x3、y x 1 ； 42 x四、解不等式（组） ：、yx22x1；x21、解不等式：x22x1 1,并把解集在数轴上表示出来；2、解不等式组：1x21x2,

7、并把解集在数轴上表示出来；x x1x3 x33 x4 x2 33、解不等式组：x12x1；233 x15x94、求不等式组x32x5的正整数解；3五、已知a33a,当 a 为何整数时,方程组3x6y1的解都是负数？5x11 ya六、将如干只鸟放入如干个笼子,如每个笼子里只放4 只,就有一只鸟无笼可放；如每个笼子放有一个笼子无鸟可放；问至少有几只鸟？几个鸟笼？中考复习之方程与一次方程（组）及解法名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载学问考点：明白等式和方程、一元一次方程（组）的概念,把握等式的基本性

8、质,能正确娴熟地解一元一次方程, 会对方程的解进行检验；明确解方程组的基本思想是化归思想,并能用加减消元法和代入消元法解一次方程组；精典例题：【例 1】解方程：2 x1x337x1去分母时防止漏乘,留意移项时要转变符2分析： 依据方程的同解原理,突出基本步骤,号；答案：x 127【例 2】如关于 x 的方程：10 k x 3 3 x k x 2 与方程 5 2 x 1 1 2 x的5 4 3解相同,求 k 的值；分析：由“ 解相同” 的定义,将方程 5 2 x 1 1 2 x的解代入第一个方程,建立3一个关于 k 的方程,解之即可；答案： k 4 【例 3】在代数式 ax by m 中,当 x

9、 2, y 3, m 4 时,它的值是零；当 x 3, y 6, m 4 时,它的值是 4；求 a 、 b 的值；分析： 由代数式值的定义得关于 a 、b 的二元一次方程组,侧重分析如何选择使用加减法或代入法消元；a 7答案：10b3探究与创新：【问题一】 要把面值为 10 元的人民币换成 2 元或 1 元的零钱, 现有足够的面值为 2 元、1 元的人民币,那么共有换法（）A、5 种 B、6 种 C、 8 种 D、10 种略解：第一把实际问题转化成数学问题,设需 2元、 1 元的人民币各为 x 、 y 张（ x 、 y 为非负数）,1 1.2就有：整数 2x 0、1、2、 3、4、5；x y

10、10 y 10 2 x,0 x 5 且 x 为 D C x答案： B E 0.4【问题二】如图是某风景区的旅行路线示意图,1.6 B其中 B、C、D为风景点, E 为两条路的交叉点,图中数 1据为相应两点的路程（单位：千米）；一同学从 A 处出 A发以 2 千米小时的速度步行游玩,每个景点的逗留 问题二图时间均为 0. 5 小时；（1）当他沿着路线ADCE A游玩回到 A 处时,共用了3 小时,求 CE的长；（2）如此同学准备从A 处动身后,步行速度与在景点的逗留时间保持不变,且在最短时间内看完三个景点返回到A 处,请你为他设计一条步行路线,并说明这样设计的理由（不考虑其它因素） ；名师归纳总

11、结 略解：前者 4. 1第 3 页,共 23 页（1）设 CE线长为 x 千米,列方程可得x 0. 4；（2）分 A DCBEA 环线和 ADCEBEA 环线运算所用时间,小时,后者3. 9 小时,故先后者；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载跟踪训练：一、填空题：b；1、如32x 232x 5,就 x ；2、假如2x3与2 x 33的值互为相反数,就x 53、已知x11是方程组axby12的解,就ay4xby2二、选择题：1、如单项式 a 4b 2 m 1与 2a m b m 7是同类项,就 m （）3 A、2 B、 2 C、 2

12、 D、 4 5 x y 3 x 2 y 52、已知方程组 与 有相同的解,就 a 、 b 的值为（）ax 5 y 4 5 x by 1a 1 a 4 a 6 a 14A、 B、 C、 D、b 2 b 6 b 2 b 23 x y k 13、如方程组 的解 x 、 y 满意 0x y1,就 k 的取值范畴是（）x 3 y 3A、2 k 3 B、2 k 4 C、 4 k 0 D、 4 k 2 4、在一次美化校内的活动中,先支配 32 人去拔草, 18 人去植树,后又增派 20 人去支援他们,结果拔草的人数是植树人数的 2 倍,问支援拔草和植树的人数各是多少？解题时如设支援拔草的人数有 x 人,就以

13、下方程中正确选项（） A、32 x 2 18 B、32 x 2 38 x C、52 x 2 18 x D、52 x 2 18三、解方程（组）1、13x3x42；x25；a12、1 .81.0.8x0. 030 .02x20. 033、2x3y5；3 x2y1的对应值分别是2、3、6,求 a 、 b 、 c 的值；x1y22xy4、x33y432y5x43c四、当 x 1、2、3 时,ax2bx五、已知 a 、b 是实数, 且2a6b20,解关于 x 的方程：a2xb2中考复习之一元二次方程根与系数的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - -

14、 - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载学问考点：把握一元二次方程根与系数的关系,的方程和未知的系数值；精典例题：并会依据条件和根与系数的关系不解方程确定相关【例 1】关于 x 的方程2x2kx410的一个根是 2,就方程的另一根是；k ；分析：设另一根为x ,由根与系数的关系可建立关于x 和 k 的方程组,解之即得；答案：5 , 1 22x23 x50的两个根,不解方程,求以下代数式的值：【例 2】x 、2x 是方程（1）x 12x 22（2）x 1x 2（3）x 123x223x2略解：（ 1）x 12x22x1x222x 1x2714（ 2）x 1x2x 1x 224x 1x2312

15、（ 3）原式x 12x222x223 x271512144【例 3】已知关于 x 的方程x22 m2xm250有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求 m 的值；分析：有实数根,就 0,且x12x22x 1x216,联立解得 m 的值；略解：依题意有：x1x22 m2m 9 4x1x2m25x12x22x 1x2164m224m250由解得：m1或m15,又由可知m15舍去,故m1探究与创新：【问题一】已知x 、x 是关于 x 的一元二次方程4x24m1 xm20的两个非零实数根,问：x 与x 能否同号？如能同号恳求出相应的m 的取值范畴；如不能同号,请说明理由；名师归纳总结

16、 略解：由32m160 得 m 1 ；2x 1x2m1,x 1x 21 m 420 第 5 页,共 23 页x 与x 可能同号,分两种情形争论：（1）如1x 0,x 0,就x 1x2x 200,解得 m 1 且 m 0 x 1 m 1 且 m 0 2（2）如1x 0,x 0,就x 1x2x 200,解得 m 1 与 m 1 相冲突 2x 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载10的两个实数根；综上所述：当 m 1 且 m 0 时,方程的两根同号；22【问题二】已知 1x 、x 是一元二次方程 4 kx 4 kx k（1）是否存在实数

17、k ,使 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 3成立？如存在,求出 k 的值；如2不存在,请说明理由；（2）求使 x 1 x 2 2 的值为整数的实数 k的整数值；x 2 x 1略解：（ 1）由 k 0 和 0 k 0 x 1 x 2 1,x 1 x 2 k 14 k2 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 9 x 1 x 2k 9 34 k 2k 9,而 k 0 5不存在；2（2）x 1 x 2 2 x 1 x 2 44,要使 4 的值为整数,而 kx 2 x 1 x 1 x 2 k 1 k 1为整数,k 1 只能取1、 2、 4,又 k 0 存在整数 k 的值为

18、2、 3、 5 跟踪训练：一、填空题：1、设1x 、x 是方程x24x20的两根,就11；x 1x 2x 1x2；x11 x 21 ；2、以方程2x2x40的两根的倒数为根的一元二次方程是3、已知方程x2mx450的两实根差的平方为144,就 m ；4、已知方程x23xm0的一个根是1,就它的另一个根是, m 的值是5、反比例函数yk的图象经过点P（ a 、b ）,其中 a 、b 是一元二次方程x2kx40x的两根,那么点P 的坐标是；6、已知1x 、x 是方程x23x10的两根,就4x 1212x211的值为二、选择题：名师归纳总结 1、假如方程x2mx1的两个实根互为相反数,那么m 的值为

19、（）第 6 页,共 23 页 A、0 B、 1 C、1 D、 1 2、已知 ab 0,方程ax2bxc0的系数满意b2ac,就方程的两根之比为（2 A、01 B、11 C、12 D、23 3、已知两圆的半径恰为方程2x25x20的两根, 圆心距为3 ,就这两个圆的外公切线有（） A、0 条 B、1 条 C、2 条 D、3 条4、已知,在ABC 中, C 900,斜边长71,两直角边的长分别是关于x 的方程：2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x23 m1x9 m优秀学习资料欢迎下载9x 的方程：0的两个根,就ABC的内切圆面积是（）2、325,两条对角

20、线交于 C、7 D、4AO、BO 的长分别是关于 A、 4 B45、菱形ABCD的边长是O 点,且x22 m1 xm230的根,就 m 的值为（）、 5 或 3 A、 3 B、5 C、5 或 3 D三、解答题：1、证明：方程 x 2 1997 x 1997 0 无整数根；22、已知关于 x 的方程 x 3 x a 0 的两个实数根的倒数和等于 3,关于 x 的方程 k 1 x 23 x 2 a 0 有实根,且 k 为正整数,求代数式 k 1 的值；k 23、已知关于 x 的方程 x 2 1 2 a x a 2 3 0 有两个不相等的实数根,且关于 x的方程 x 2 2 x 2 a 1 0 没有

21、实数根, 问：a 取什么整数时, 方程有整数解？4、已知关于 x 的方程 x 2 2 m 1 x m 2 3 0（ 1）当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根？（ 2）设1x 、x 是方程的两根,且x 1x22x 1x2120,求 m 的值；5、已知关于x 的方程kx22k1xk10只有整数根,且关于y 的一元二次方程k1y23ym0的两个实数根为1y 、y ；（ 1）当 k 为整数时,确定k 的值；y12y22的值；（ 2）在（ 1）的条件下,如m 2,求6、已知1x 、x 是关于 x 的一元二次方程4x24m1 xm20的两个非零实根,问：1x 、x 能否同号？如能同号,恳求出相应m

22、的取值范畴；如不能同号,请说明理由；中考复习之一元二次方程根的判别式学问考点：懂得一元二次方程根的判别式,并能依据方程的判别式判定一元二次方程根的情形；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载精典例题：【例 1】当 m 取什么值时,关于x 的方程x22 2 m1x2m2 20；（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根；分析：用判别式 列出方程或不等式解题；答案：（ 1）m3；（2）m93；（3）mx330都有两个不相等的实根；44 2 x4【例 2】求证：无论m 取何值,方程m

23、7 m分析：列出 的代数式,证其恒大于零；【例 3】当 m 为什么值时,关于 x 的方程 m 2 4 x 2 2 m 1 x 1 0 有实根；分析： 题设中的方程未指明是一元二次方程,仍是一元一次方程,所以应分 m 2 402和 m 4 0 两种情形争论；略解：当 m 2 40 即 m 2 时,2 m 1 0,方程为一元一次方程,总有实根；当 m 2 4 0 即 m 2 时,方程有根的条件是： 2 m 1 24 m 2 4 8 m 200,解得 m 52当 m 5且 m 2 时,方程有实根；2综上所述：当 m 5时,方程有实根；2探究与创新：【问题一】 已知关于 x 的方程 k 2x 2 2

24、k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根 1x 、2x ,问是否存在实数 k ,使方程的两实数根互为相反数？假如存在,求出 k 的值；假如不存在,请说明理由；2k 0 k 0略解： 2 k 1 24 k 20 化简得 k 14x 1 x 2 2 kk 2 10 k 12不存在；【问题一】如图,某校广场有一段25 米长的旧围栏,现准备利用该围栏的一部分（或全部）为一边,围成一块 100 平方米的长方形草坪（如图 CDEF,CDCF）已知整修旧围栏的价格是每米 1. 75 元,建新围栏的价格是每米 4. 5 元；（1）如方案修建费为（2）如方案修建费为150 元,能否完成该草坪围栏修造任务？120

25、 元,能否完成该草坪围栏修建任务？如能完成,请算出利用旧围栏多少米；如不能完成,请说明理由；名师归纳总结 6.略解：设 CFDE x ,就 CDEF100x修 建 总 费 用 为 ：1 . 75 x 4 . 5 x 4 . 52100 xAC问题二图FB第 8 页,共 23 页25x900条件是： 10 x 25 DEx（1）.625 x900150x 12 能完成x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）6 . 25 x 900x 0 此方程元实根120优秀学习资料x欢迎下载06. 25x2120900不能完成跟踪训练：一、填空题：1、以下方程 x

26、2 1 0； x 2x 0； x 2x 1 0； x 2x 0 中,无实根的方程是；2、已知关于 x 的方程 x 2mx 2 0 有两个相等的实数根,那么 m 的值是；3、假如二次三项式 3 x 2 4 x 2 k 在实数范畴内总能分解成两个一次因式的积,就 k 的取值范畴是；4、在一元二次方程 x 2bx c 0 中 b c ,如系数 b 、 c 可在 1、2、3、4、5 中取值,就其中有实数解的方程的个数是；二、选择题：1、以下方程中,无实数根的是（） A、x 1 1 x 0 B、2 y 6 7yC、x 1 2 0 D、x 2 3 x 2 02、如关于 x 的一元二次方程 m 2 2x 2

27、 2 m 1 x 1 0 有两个不相等的实根,就 m 的取值范畴是（） A、m 3 B、 m 3 C、m 3且 m 2 D、 m 3 且 m 2 4 4 4 43、在方程 ax 2bx c 0（ a 0）中,如 a 与 c 异号,就方程（） A、有两个不等实根 B、有两个相等实根C、没有实根 D、无法确定三、试证：关于 x 的方程 mx 2 m 2 x 1 必有实根；四、已知关于 x 的方程 x 2mx 2 m n 0 的根的判别式为零,方程的一个根为 1,求 m 、n 的值；五 、 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 2 m 1 x m 2 2 0 有 两 个 不 等 实 根 , 试 判

28、 断 直 线y 2 m 3 x 4m 7 能否通过 A（ 2, 4）,并说明理由；六、已知关于 x 的方程 x 2 2 m 2 x m 2 0,问：是否存在实数 m ,使方程的两个实数根的平方和等于 56？如存在,求出 m 的值；如不存在,请说明理由；七、已知 n 0,关于 x 的方程 x 2 m 2 n x 1mn 0 有两个相等的正实根,求 m 的4 n值；中考复习之函数与一元二次方程学问考点：1、懂得二次函数与一元二次方程之间的关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载x轴的交点情形；2、会

29、结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与 3、会利用韦达定懂得决有关二次函数的问题；精典例题：【例 1】已抛物线 y m 1 x 2 m 2 x 1（ m 为实数）；（1） m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点？（2）假如抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 ABC的面积为 2,求该抛物线的解析式；分析：抛物线与 x 轴有两个交点,就对应的一元二次方程有两个不相等的实数根,将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根 m应满意的条件；m 1 0略解：（ 1）由已知有m 2 0,解得 m 0 且 m 1（2）由 x 0 得 C（ 0, 1）又AB m

30、a m 1S ABC 1AB OC 1 m 1 22 2 m 1m 4或 m 43 5y 1x 2 2x 1 或 y 1x 2 6x 13 3 5 5【例 2】已知抛物线 y x 2 m 28 x 2 m 26 ；（ 1）求证：不论 m 为任何实数, 抛物线与 x 轴有两个不同的交点,且这两个点都在 x轴的正半轴上；（ 2）设抛物线与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于 B、 C两点,当ABC的面积为 48 平方单位时,求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下,以BC为直径作 M,问 M是否经过抛物线的顶点P？26 0可得证；解析：（ 1）m2420,由x 1x2m280,x1x22 m（ 2）

31、BCx 1x2x 1x224 x 1x2 m28 28 m26 m24OA2 m26 又SABC481m242m26482解得m22或m212（舍去）m2（3）yx210x16,顶点（ 5, 9）,BC696 M不经过抛物线的顶点P；评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,因此,善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化,是解相关问题的常用技巧；探究与创新：【问题】如图,抛物线yx2abxc2,其中 a 、b 、c 分NyQEx4别是 ABC的 A、 B、 C 的对边；（1）求证：该抛物线与 x 轴必有两个交点；E、 F,与 y 轴交于点 M,P（2）设有直线yaxbc与抛物线交于点OF

32、M名师归纳总结 问题图第 10 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线与 y 轴交于点优秀学习资料欢迎下载51,求证：ABCN,如抛物线的对称轴为xa, MNE与 MNF的面积之比为是等边三角形；（2）当SABC3时,设抛物线与 x 轴交于点 P、Q,问是否存在过P、Q两点且与 y 轴相切的圆？如存在这样的圆,求出圆心的坐标；如不存在,请说明理由；解析：（ 1） a b 2c 2 a b c a b c a b c 0,a b c 00（2）由 a b a 得 a b22 c 22由 y x a b x4 得：x 3 ax c4 ac

33、 0y ax bc设 E（1x ,y ）,F（x 2,y 2）,那么：x 1 x 2 3 a,2cx 1 x 24 ac y由 S MNES MNF 51 得：x 1 5 x 2 Ex 1 5x 2 或 x 1 5x 2 N由 x 1x 2 0 知 x 1 5x 2 应舍去；由 x 1 x 2 3 a解得 x 2 a O PF Q xx 1 5 x 2 2 M2 25 a c ac,即 5 a 24 ac c 20 问题图2 4a c 或 5 a c 0（舍去）a b c ABC是等边三角形；（3）S ABC 3,即 3a 234a 2 或 a 2（舍去）a b c 2,此时抛物线 y x 2 4 x 1 的对称轴是 x 2,与 x 轴的两交点坐标为P（2 3, 0）, Q（2 3, 0）设过 P、Q两点的圆与 y 轴的切点坐标为（0, t ）,由切割线定理有：t 2 OP OQt