2023届高考数学专项复习专题3 圆锥曲线中的长度问题含答案.pdf

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1、2023届高考数学专项复习专题3 圆锥曲线中的长度问题2023届高考数学专项复习专题3 圆锥曲线中的长度问题一、考情分析一、考情分析圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.二、解题秘籍二、解题秘籍(一)利用两点间距离公式求线段长度(一)利用两点间距离公式求线段长度若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.【例1】【例1】(2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考)(2022届山西省吕梁市高三上

2、学期12月月考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右准线为l:x=4(定义：椭圆C的右准线方程为x=a2c,其中c=a2-b2).点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,|OP|=|MN|.(1)求椭圆C的方程；(2)求|MN|的最小值.(二)利用1+k(二)利用1+k2 2x x1 1-x-x2 2求距离求距离设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+k2|x2-x1|.其中求|x2-x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2-x1|=x1

3、+x22-4x1x2,【例2】【例2】(2022 届陕西省安康市高三下学期联考)(2022 届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab1长轴的顶点与双曲线 D:x24-y2b2=1实轴的顶点相同,且C的右焦点F到D的渐近线的距离为217(1)求C与D的方程；(2)若直线l的倾斜角是直线y=5-2x的倾斜角的2倍,且l经过点F,l与C交于A、B两点,与D交于M、N两点,求ABMN(三三)利用利用1 1+1 1k k2 2y y1 1-y y2 2 求距离求距离设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+1k2|

4、y2-y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2-y1|=y1+y22-4y1y2.【例【例3 3】(20232023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22；上顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆O:x2+y2=1相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设与圆O相切的直线l与椭圆相交于M,N两点,Q为弦MN的中点,O为坐标原点.求|OQ|MN|的取值范围.(四四)利用点到直线距离公式求垂线段的长利用点到直线距离公式求垂线段的长1.

5、若已知定点P,点Q在动直线上,求 PQ最小值,常利用点到直线距离公式；2.若点P在定直线上,点Q为曲线上,求 PQ最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离.【例【例4 4】(20232023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试)设有椭圆方程:x2a2+y2b2=1(ab0),直线l:x+y-6=0,下端点为A,左 右焦点分别为F1-1,0F21,0,M在l上.(1)若a=2,AM中点在x轴上,求点M的坐标；(2)直线l与y轴交于B,直线AM经过右焦点F2,且cosBMA=35,求b；(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d,

6、使2a+d=4 2,当a变化时,求d的最小值.(五五)利用函数思想求距离最值利用函数思想求距离最值求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.【例【例5 5】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4 3,点3,6在C上.(1)求C的方程；(2)设C的上顶点为A,右顶点为B,直线l与AB平行,且与C交于M,N两点,MD=DN,点F为C的右焦点,求 DF的最小值.(六六)利用圆锥曲线定义求长度利用圆锥曲线定义求长度与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可利用圆锥曲线定义求解.【例【例6 6】(20222022届湖南省长沙市宁乡市高三

7、下学期届湖南省长沙市宁乡市高三下学期 5 5月模拟月模拟)已知抛物线G:y2=4x的焦点与椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点F重合,椭圆E的长轴长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A,B两点,交抛物线G于M,N两点,请问是否存在实常数t,使2AB+tMN为定值？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由.【例【例7 7】(20232023届江苏省南京市高三上学期测试届江苏省南京市高三上学期测试)已知点B是圆C:x-12+y2=16上的任意一点,点F(-1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点的轨迹E的方程;(2)设曲线E与x轴的两个交点

8、分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上,QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明:FMN的周长为定值.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届北京市高三上学期入学定位考试届北京市高三上学期入学定位考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(其中ab0)的离心率为22,左右焦点分别为F1-1,0,F21,0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点,过原点作AB的垂线,垂足为D.若点D恰好是F1与A的中点,求线段AB的长度.2.(20232023届福建省部分名校高三上学期届福建省部分名校高三上学期9 9月联考月联

9、考)已知两点M 0,-4,N 0,4,动点P在x轴的投影为Q,且PM PN=3PQ 2,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)过点F 2 6,0的直线与曲线C在y轴右侧相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.3.(20232023届四川省巴中市高三上学期考试届四川省巴中市高三上学期考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A、B,点P 1,32在椭圆C上,且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为-14(1)求椭圆C的方程；(2)若圆x2+y2=1的切线l与椭圆C交于P、Q两点,求 PQ

10、的最大值及此时直线l的斜率4.(20232023 届安徽省部分校高三上学期摸底考届安徽省部分校高三上学期摸底考)已知 O 为坐标原点,椭圆 C:x216+y212=1 过点 M,N,P,记线段MN的中点为Q(1)若直线MN的斜率为 3,求直线OQ的斜率;(2)若四边形OMPN为平行四边形,求|MN|的取值范围5.(20232023届辽宁省朝阳市高三上学期届辽宁省朝阳市高三上学期9 9月月考月月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2,点P 3,-1在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)点A,B在双曲线C上,直线PA,PB与y轴分别相交于M,N两点,点Q在直线AB上

11、,若坐标原点O为线段MN的中点,PQAB,证明：存在定点R,使得 QR为定值.6.(20232023 届北京市房山区高三上学期考试届北京市房山区高三上学期考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴的两个端点分别为A-2,0,B 2,0离心率为32(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线AM交直线x=4于点N,点O为坐标原点,过点O且与直线BN垂直的直线记为l,直线BM交y轴于点P,交直线l于点Q,求证：|BP|PQ|为定值7.(20222022 届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟)已知斜率为 k 的直线 l 与抛

12、物线 y2=4x 交于 A B 两点,y轴上的点P使得ABP是等边三角形.(1)若k0,证明：点P在y轴正半轴上；(2)当|OP|取到最大值时,求实数k的值.8.(20222022届上海市建平中学高三上学期考试届上海市建平中学高三上学期考试)设实数k0,椭圆D：x26+y22=1的右焦点为F,过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N,点O是坐标原点,直线ON交直线x=3于点M(1)若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标；(2)求证：MFPQ；(3)求PQMF的最大值9.(20222022届江苏省南京高三上学期届江苏省南京高三上学期1212月联考月联考)已知椭圆C：x2a2+y2b2

13、=1(ab0)的离心率为32,右顶点为A,过点B(a,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点 M,N,其中点M在第一象限当点 M,N关于原点对称时,点M的横坐标为2(1)求椭圆C的方程；(2)过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ长度的最大值10.(20222022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点M(0,3),离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l:y=kx-1与椭圆C相交于A、B两点,求 MA MB的最大值.11.(20222

14、022 届百校联盟高三上学期届百校联盟高三上学期 1111 月质监月质监)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P x,y,满足x+32+y2+x-32+y2=4,记点P的轨迹为E(1)请说明E是什么曲线,并写出它的方程；(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为T,直线OT与E交于两点C,D,请判断 TA TB与 TC TD的关系,并证明你的结论12.(20222022届河南省县级示范性高中高三上学期届河南省县级示范性高中高三上学期 1111月尖子生对抗赛月尖子生对抗赛)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)与过原点的直线相交于A,B两点,上顶点M

15、0,1满足kMAkMB=-14(其中k表示直线的概率)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线AB平行且过椭圆C的右焦点F2的直线l交椭圆C于P,Q两点,证明：AB2PQ为定值13.(20222022届江苏省泰州市高三上学期届江苏省泰州市高三上学期1212月阶段性测试月阶段性测试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0,短轴长为2 2,离心率为22.过右焦点F且不与坐标轴垂直的直线 l交椭圆于AB两点,AB的中垂线交x轴于点M,交直线x=2 2 于点N.(1)求C的方程；(2)求ABFM的大小；(3)证明：AMBN四点共圆.14.(20222022届上海市黄浦区高三一模届上海市黄浦区高三一

16、模)设常数m0且m1,椭圆：x2m2+y2=1,点P是上的动点(1)若点P的坐标为 2,0,求的焦点坐标；(2)设m=3,若定点A的坐标为 2,0,求 PA的最大值与最小值；(3)设m=12,若上的另一动点Q满足OPOQ(O为坐标原点),求证：O到直线PQ的距离是定值15.(20222022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考届重庆市巴蜀中学高三上学期月考)已知圆F1：x+12+y2=16,F21,0,M为圆F1上的动点,若线段MF2的垂直平分线交MF1于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知T 1,y0y00为C上一点,过T作斜率互为相反数且不为0的两条直线TA,TB分别交曲线C于A,B,

17、求 AB的取值范围.专题专题3 3 圆锥曲线中的长度问题圆锥曲线中的长度问题一、一、考情分析考情分析圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)利用两点间距离公式求线段长度利用两点间距离公式求线段长度若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.【例【例1 1】(20222022届山西省吕梁市高三上学期届山西省吕梁市高三上学期1212月月考月月考)在平面直角坐标系xOy中

18、,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右准线为l:x=4(定义：椭圆C的右准线方程为x=a2c,其中c=a2-b2).点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,|OP|=|MN|.(1)求椭圆C的方程；(2)求|MN|的最小值.【解析】(1)由题意可知,当P点坐标为(4,0)时,|OP|=|MN|=4,不妨设点M在点N上方,则M(0,2),N(0,-2),所以直线NP:y=12x-2与椭圆C相切,将直线NP与椭圆方程联立,y=12x-2,x2a2+y2b2=1,消去y,整理得 4b2+a2x2-8a2x+16a2-4a2b2=0,则=6

19、4a4-4 4b2+a216a2-4a2b2=0,整理得4b2+a2=16,又a2c=4,a2=b2+c2,解得a2=4或a2=16(舍去),所以b2=3,即椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)设P(4,t),切线方程为y=k(x-4)+t=kx-4k+t,将切线方程与椭圆联立,y=kx-4k+t,x24+y23=1,消去y,整理得 4k2+3x2+8k(t-4k)x+4(t-4k)2-12=0,则=64k2(t-4k)2-4 4k2+34(t-4k)2-12=0,整理得12k2-8tk+t2-3=0,设切线PM斜率为k1,直线PN斜率为k2,则M 0,t-4k1,N 0,t-4k2,且k

20、1+k2=2t3,k1k2=t2-312,所以|MN|=4 k1-k2=4k1+k22-4k1k2,将k1+k2=2t3,k1k2=t2-312代入上式,整理得|MN|=43t2+9 4,当t=0时,上述等号成立,即|MN|的最小值为4.(二二)利用利用1 1+k k2 2x x1 1-x x2 2 求距离求距离设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+k2|x2-x1|.其中求|x2-x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2-x1|=x1+x22-4x1x2,【例【例2 2】(20222022 届陕西省安康市高三下学期联考届

21、陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab1长轴的顶点与双曲线 D:x24-y2b2=1实轴的顶点相同,且C的右焦点F到D的渐近线的距离为217(1)求C与D的方程；(2)若直线l的倾斜角是直线y=5-2x的倾斜角的2倍,且l经过点F,l与C交于A、B两点,与D交于M、N两点,求ABMN【解析】(1)由题意可得a2=4,则a=2因为D的渐近线方程为y=b2x,即bx2y=0,椭圆C的右焦点为F4-b2,0,由题意可得b 4-b24+b2=217,b1,解得b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1,双曲线D的方程为x24-y23=1(2)设直线y=5-2x的倾斜角为

22、,所以,直线l的斜率为k=tan2=2tan1-tan2=25-21-5-22=12,所以直线l的方程为y=12x-1,联立y=12x-13x2+4y2=12 得4x2-2x-11=0,则1=4+44110,设A x1,y1、B x2,y2,则x1+x2=12,x1x2=-114,所以 AB=1+122x1+x22-4x1x2=154,联立3x2-4y2=12y=12x-1 可得2x2+2x-13=0,2=4+42130,设点M x3,y3、N x4,y4,则x3+x4=-1,x3x4=-132,所以,MN=1+122x3+x42-4x3x4=3 152,故ABMN=15423 15=156(

23、三三)利用利用1 1+1 1k k2 2y y1 1-y y2 2 求距离求距离设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+1k2|y2-y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2-y1|=y1+y22-4y1y2.【例【例3 3】(20232023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22；上顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆O:x2+y2=1相切.(1)求椭圆C的标准方程

24、；(2)设与圆O相切的直线l与椭圆相交于M,N两点,Q为弦MN的中点,O为坐标原点.求|OQ|MN|的取值范围.【解析】(1)由e=ca=22知a=2b=2c,原点O到直线AB的距离为d=aba2+b2=2b23b=23b=1,故b=32,a=3,故椭圆C的标准方程为x23+y232=1.(2)kMN=0时：Q 0,1,M-1,1,N 1,1,或Q(0,-1),M(-1,-1),N(1,-1),故 OQ MN=2；直线MN斜率不存在时,Q(1,0),M(1,1),N(1,-1),或Q(-1,0),M(-1,1),N(-1,-1)故 OQ MN=2；直线MN斜率存在且不为0时：设直线l的方程为x

25、=my+t(m0),由直线l与圆x2+y2=1相切,所以d=tm2+1=1,即t2=m2+1,联立x23+y232=1x=my+t,得 m2+2y2+2mty+t2-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理：y1+y2=-2mtm2+2y1y2=t2-3m2+2,yQ=y1+y22=-mtm2+2,xQ=myQ+t=2tm2+2,所以MN中点Q的坐标为2tm2+2,-mtm2+2,故 OQ=2tm2+22+-mtm2+22=t2m2+4m2+2=m2+1m2+4m2+2MN=1+m2y1-y2=1+m2-2mtm2+22-4t2-3m2+2=2 1+m26+3m2-2t2m2+

26、2=2m2+1m2+4m2+2,故|OQ|MN|=2m2+1m2+4m2+22=2 1+m2m4+4m2+4=2 1+1m2+4m2+4,m2+4m2+42m24m2+4=8,当且仅当m2=4m2,m=2 时等号成立,2b0),直线l:x+y-6=0,下端点为A,左 右焦点分别为F1-1,0F21,0,M在l上.(1)若a=2,AM中点在x轴上,求点M的坐标；(2)直线l与y轴交于B,直线AM经过右焦点F2,且cosBMA=35,求b；(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d,使2a+d=4 2,当a变化时,求d的最小值.【解析】(1)因为左焦点F1-1,0,所以c=1,由题知a=2,所以b=1,

27、A 0,-1,又因为AM中点在x轴上,所以点M的纵坐标为1,代入x+y-6=0中的x=5,所以点M坐标为 5,1.(2)如图,设直线l与x轴交点为C,因为直线l为x+y-6=0,所以直线l的倾斜角为34,cosBMA=cos MF2C+4=22cosMF2C-sinMF2C,由题意知,OA=b,OF2=1,AF2=b2+1,所以在RtAOF2中,cosAF2O=cosMF2C=1b2+1,sinAF2O=sinMF2C=bb2+1,所以cosBMA=221-bb2+1=35,整理可得7b2-50b+7=0,解得b=17或b=7,又因为cosBMA=221-bb2+1=35,所以b1,b=7舍去

28、,b=17.(3)设直线l平移后与椭圆相切的直线l方程为y=-x+m,联立y=-x+mx2a2+y2b2=1,得 a2+b2x2-2ma2x+m2a2-a2b2=0,=4m2a4-4 a2+b2m2a2-a2b2=4a2b22a2-m2-1=0,所以m2=2a2-1,因为椭圆上存在点P到直线l的距离为d,2a+d=4 2,即d=4 2-2a所以2a2-1-624 2-2a-2a2-1-62,同时1a4,又因为1ab0)的长轴长为4 3,点3,6在C上.(1)求C的方程；(2)设C的上顶点为A,右顶点为B,直线l与AB平行,且与C交于M,N两点,MD=DN,点F为C的右焦点,求 DF的最小值.【

29、解析】(1)因为C的长轴长为4 3,所以2a=4 3,即a=2 3.又点3,6在C上,所以3a2+6b2=1,代入a=2 3,解得b2=8,故C的方程为x212+y28=1.(2)由(1)可知,A,B的坐标分别为 0,2 2,2 3,0,直线AB的方程为2x+3y-2 6=0,设l:2x+3y+m=0 m-2 6,联立x212+y28=12x+3y+m=0 得4x2+2 2mx+m2-24=0,由=8m2-16 m2-24=384-8m20,得m248,设M x1,y1,N x2,y2,D x0,y0,因为MD=DN,所以D为MN的中点,则x0=x1+x22=-2m4,因为2x0+3y0+m=

30、0,所以y0=-3m6,又F的坐标为(2,0),所以|DF|=x0-22+y20=m28+2m+4+m212=5m224+2m+4=521m+12 252+85,因为-12 252b0的右焦点F重合,椭圆E的长轴长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A,B两点,交抛物线G于M,N两点,请问是否存在实常数t,使2AB+tMN为定值？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由.【解析】(1)因为抛物线G:y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又a=2,则b2=a2-c2=3,故椭圆E的方程为：x24+y23=1；(2)设A x1,y1B x2,y2M x3,y3N

31、x4,y4,设直线l的方程为y=k x-1,与椭圆E的方程联立x24+y23=1y=k x-1,得 3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0,x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,AB=1+k2x1+x22-4x1x2=12(k2+1)3+4k2,设直线l的方程y=k x-1,与抛物线G的方程联立y2=4xy=k x-1,得k2x2-2k2+4x+k2=0,x3+x4=2k2+4k2,x3x4=1,MN=x3+x4+2=4 k2+1k2,2AB+tMN=3+4k26 k2+1+tk24 k2+1=8+3tk2+612 k2+1,要使2AB+1MN为常数,则8+3t=

32、6,解得t=-23,故存在t=-23,使得2AB+1MN为定值12【例【例7 7】(20232023届江苏省南京市高三上学期测试届江苏省南京市高三上学期测试)已知点B是圆C:x-12+y2=16上的任意一点,点F(-1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点的轨迹E的方程;(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上,QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明:FMN的周长为定值.【解析】(1)因为点P在BF垂直平分线上,所以有PF=PB,所以：PF+PC=PB+PC=BC=r=4,即PF+PC为定值42,所以轨迹E为椭

33、圆,且a=2，c=1,所以b2=3,所以轨迹E的方程为：x24+y23=1.(2)由题知：A1-2，0，A22，0,设Q 4，t，M x1，y1，N x2，y2则kQA1=t6,kQA2=t2,所以QA1方程为：y=t6x+2,QA2方程为：y=t2x-2,联立方程：y=t6x+2x24+y23=1 ,可以得出M：54-2t227+t2，18t27+t2同理可以计算出点N坐标：2t2-63+t2，-6t3+t2,当kMN存在,即t29,即t3时,kMN=-6t(t2-9)所以直线MN的方程为：y+6t3+t2=-6tt2-9x-2t2-63+t2即：y=-6tt2-9x+6tt2-9=-6tt

34、2-9x-1,所以直线过定点 1，0,即过椭圆的右焦点F2,所以FMN的周长为4a=8.当kMN不存在,即t2=9,即t=3时,可以计算出x1=x2=1,周长也等于8.所以FMN的周长为定值8.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届北京市高三上学期入学定位考试届北京市高三上学期入学定位考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(其中ab0)的离心率为22,左右焦点分别为F1-1,0,F21,0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点,过原点作AB的垂线,垂足为D.若点D恰好是F1与A的中点,求线段AB的长度.【解析】(1)由题设,得c=1.又e

35、=ca=22,所以a=2.所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意可知直线AB有斜率且不为0,故设直线AB的方程为y=k(x+1),所以直线OD的方程为y=-1kx,所以y=k x+1,y=-1kx，得xD=-k2k2+1所以yD=kk2+1因为点D恰好是F1与A的中点,所以x1=2xD+1=-k2-1k2+1,y1=2yD=2kk2+1因为点A在椭圆上,所以12-k2-1k2+12+2kk2+12=1解得k=1,当k=1时,由y=x+1,x22+y2=1,得3x2+4x=0所以x1=0,x2=-43,所以 AB=1+k2

36、x1-x2=432同理k=-1时,|AB|=4322.(20232023届福建省部分名校高三上学期届福建省部分名校高三上学期9 9月联考月联考)已知两点M 0,-4,N 0,4,动点P在x轴的投影为Q,且PM PN=3PQ 2,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)过点F 2 6,0的直线与曲线C在y轴右侧相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)设P x,y,则Q x,0,PM=-x,-4-y,PN=-x,4-y,PQ=0,-y.因为PM PN=3PQ 2,所以x2+y2-16=3y2,故C的

37、方程为x216-y28=1.(2)由题可知直线AB的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线AB的方程为y=k x-2 6,A x1,y1,B x2,y2.联立方程组y=k(x-2 6)x216-y28=1,消去y整理得 1-2k2x2+8 6k2x-48k2-16=0,则=384k4+1-2k2192k2+640 x1+x2=-8 6k21-2k20 x1x2=-48k2-161-2k20,整理得k212.x1+x22=-4 6k21-2k2,y1+y22=-2 6k1-2k2,则线段AB的垂直平分线的方程为y+2 6k1-2k2=-1kx+4 6k21-2k2,令y=0,得x=-6 6k21-2

38、k2,则H-6 6k21-2k2,0,FH=2 6+6 6k21-2k2=2 6 1+k21-2k2.AB=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2-8 6k21-2k22-4-48k2-161-2k2=1+k2384k41-2k22+192k2+641-2k21-2k22=8 1+k21-2k2则ABFH=82 6=2 63.故ABFH是定值,该定值为2 63.3.(20232023届四川省巴中市高三上学期考试届四川省巴中市高三上学期考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A、B,点P 1,32在椭圆C上,且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为-14(1)求椭圆C

39、的方程；(2)若圆x2+y2=1的切线l与椭圆C交于P、Q两点,求 PQ的最大值及此时直线l的斜率【解析】(1)由椭圆可得A(-a,0),B(a,0),所以kPAkPB=321+a321-a=-14,解得a=2,因为椭圆经过点P 1,32,故得到1a2+34b2=1,解得b=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1(2)当切线l垂直x轴时,P,Q的横坐标为1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设P,Q的横坐标为1,代入椭圆得14+y2=1解得y=32,所以 PQ=3；当切线l不垂直x轴时,设切线方程为y=kx+m即kx-y+m=0,所以圆心到切线l的距离m1+k2=1,得m2=k2+1,把y=kx+m代

40、入椭圆方程x24+y2=1,整理得 4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0设P x1,y1,Q x2,y2,则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,PQ=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k264k2m24k2+12-4 4m2-44k2+1=16 1+k24k2-m2+14k2+12=48 1+k2k24k2+12=4 3k k2+14k2+1设4k2+1=n,则n1,则 PQ2=34k24 k2+14k2+12=3(n-1)(n+3)n2=3 1+2n-3n2=3-31n2-231n+1 =3-31n-132+43343=4,所以 PQ2,综上所述,PQma

41、x=2,此时n=3,因为4k2+1=n,所以直线l的斜率为k=224.(20232023 届安徽省部分校高三上学期摸底考届安徽省部分校高三上学期摸底考)已知 O 为坐标原点,椭圆 C:x216+y212=1 过点 M,N,P,记线段MN的中点为Q(1)若直线MN的斜率为 3,求直线OQ的斜率;(2)若四边形OMPN为平行四边形,求|MN|的取值范围【解析】(1)设M x1,y1,N x2,y2,Q(x0,y0),则x2116+y2112=1x2216+y2212=1,两式相减可得,x1+x2x1-x216+y1+y2y1-y212=0,而x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,则有x0 x1-

42、x24+y0y1-y23=0,又直线MN斜率kMN=y1-y2x1-x2=3,因此y0=-14x0所以直线OQ的斜率kOQ=y0 x0=-14.(2)当直线MN不垂直于x轴时,设直线MN:y=kx+m(m0),M x3,y3,N x4,y4,由y=kx+m3x2+4y2=48 消去y并整理得：3+4k2x2+8kmx+4m2-48=0,=64k2m2-16 3+4k2m2-12=48(16k2+12-m2)0,x3+x4=-8km3+4k2,x3x4=4m2-483+4k2,因四边形OMPN为平行四边形,即OP=OM+ON,则点P(x3+x4,y3+y4),而y3+y4=k x3+x4+2m=

43、6m3+4k2,即P-8km3+4k2,6m3+4k2,又点P在椭圆上,则-8km3+4k2216+6m3+4k2212=1,化简得m2=3+4k2,满足=144m20,于是得x3+x4=-8km3+4k2=-8km,x3x4=4m2-483+4k2=4m2-48m2,m23,则|MN|=1+k2(x3+x4)2-4x3x4=124+4k264k2m2-4(4m2-48)m2=2 1+m24k2-m2+12m2=61+1m2(6,4 3,当直线MN垂直于x轴时,得点P(4,0)或P(-4,0),若点P(4,0),点M,N必在直线x=2上,由x=23x2+4y2=48 得y=3,则|MN|=6,

44、若点P(-4,0),同理可得|MN|=6,综上,|MN|的取值范围为6,4 35.(20232023届辽宁省朝阳市高三上学期届辽宁省朝阳市高三上学期9 9月月考月月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2,点P 3,-1在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)点A,B在双曲线C上,直线PA,PB与y轴分别相交于M,N两点,点Q在直线AB上,若坐标原点O为线段MN的中点,PQAB,证明：存在定点R,使得 QR为定值.【解析】(1)由题意,双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率为2,且P 3,-1在双曲线C上,可得9a2-1b2=1e=ca=2c2=a2+b2,解得a

45、2=8,b2=8,所以双曲线的方程为x28-y28=1.(2)由题意知,直线的AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,联立方程组y=kx+mx2-y2=8,整理得(1-k2)x2-2kmx-m2-8=0,则=(-2km)2-4(1-k2)(-m2-8)=4(m2-8k2+8)0且1-k20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2km1-k2,x1x2=-m2-81-k2,直线PA的方程为y+1=y1+1x1-3(x-3),令x=0,可得y=-1-3y1+3x1-3,即M 0,-1-3y1+3x1-3,同理可得N 0,-1-3y2+3x2-3,因为O为MN的中点,所以-1

46、-3y1+3x1-3+-1-3y2+3x2-3=0,即-1-3(kx1+m)+3x1-3-1+3(kx2+m)+3x2-3)=0,可得(6k+2)x1x2-(3+9k-3m)(x1+x2)-18m=0,即(m+8)(m+3k+1)=0,所以m=-8或m+3k+1=0,若m+3k+1=0,则直线方程为y=kx-3k-1,即y+1=k(x-3),此时直线AB过点P 3,-1,不合题意；若m=-8时,则直线方程为y=kx-8,恒过定点D(0,-8),所以 PD=32+(-1-8)2=58 为定值,又由PQD为直角三角形,且PD为斜边,所以当R为PD的中点32,-92时,RQ=PD=582.6.(20

47、232023 届北京市房山区高三上学期考试届北京市房山区高三上学期考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴的两个端点分别为A-2,0,B 2,0离心率为32(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线AM交直线x=4于点N,点O为坐标原点,过点O且与直线BN垂直的直线记为l,直线BM交y轴于点P,交直线l于点Q,求证：|BP|PQ|为定值【解析】(1)由已知a=2,又e=ca=c2=32,c=3,所以b=a2-c2=1,椭圆标准方程为x24+y2=1；(2)设M(x1,y1),y10,则x214+y21=1,x21+4y21=4,直线AM的方程为y

48、=y1x1+2(x+2),令x=4得y=6y1x1+2,即N 4,6y1x1+2,kBN=6y1x1+24-2=3y1x1+2,lBN,kl=-x1+23y1,直线l的方程是y=-x1+23y1x,直线BM的方程为y=y1x1-2(x-2),令x=0得y=-2y1x1-2,即P 0,-2y1x1-2,由y=-x1+23y1xy=y1x1-2(x-2),因为x21+4y21=4,故解得x=-6y=2(x1+2)y1,即Q-6,2 x1+2y1,所以BPPQ=xP-xBxQ-xP=0-2-6-0=137.(20222022 届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟)已知

49、斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A B 两点,y轴上的点P使得ABP是等边三角形.(1)若k0,证明：点P在y轴正半轴上；(2)当|OP|取到最大值时,求实数k的值.【解析】(1)设P 0,p,AB的中点为M a,b,Ay214,y1,Ay224,y2,因为k0,故直线AB的斜率存在,故k=y1-y2y21-y224=2b,故b0,故直线PM:y=-b2x-a+b,故p=b a+22,因为AB的中点为M a,b,故a0,故p0.所以点P在y轴正半轴上.(2)当AB与x轴垂直时,p=0；当AB与x轴不垂直时,因为ABP是等边三角形,故AB与y轴不垂直,故a0,b0.由(1)可

50、得PM:y=-b2x-a+b即PM:y=-b2x+b a+22,故P 0,b a+22,所以 PM=1+b24a=a1+b24,又AB:x=b2y-b+a,由x=b2y-b+ay2=4x 可得y2-2by+2b2-4a=0,所以=16a-4b20即b24a且 AB=1+b242 4a-b2,因为ABP是等边三角形,故 PM=32AB,故321+b242 4a-b2=a1+b24,整理得到b2=12a-a23,此时b20可得0a12.因为p=b a+22,故p2=b2a+224=12a-a2a+2212,其中0a12.设 f a=12a-a2a+22,0a12,则 fa=12-2aa+22+2