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2022年一轮复习专题数列中的存在性问题 .pdf

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文档编号：57876726

上传时间：2022-11-06

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1、专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心周坤一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为 n）的方程，然后 n 的系数为 0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例 1、已知数列 na的前n项和为nS=235nn，在数列 nb 中，1b=8，164nnbb=0，问是否存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数 M，若存在求出常数c和M,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c使得对任意n，logncnab恒为常数M，nS=235nn，当n=1 时，则1a=1S=8

2、，当n2 时，na=1nnSS=22353(1)5(1)nnnn=62n，当n=1 适合，na=62n，又164nnbb=0，1nnbb=164，数列 nb 是首项为 8，公比为164的等比数列，nb=118()64n=9 62n，则logncnab=9 662log 2ncn=62(96)log 2ann=6(1 log 2)29log 2aan，又对任意n，logncnab恒为常数 M，6(1 log 2)a=0，解得c=2，M=29log 2a=11，存在常数c=2 使得对任意n，logncnab恒为常数M=11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（

3、一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于 0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例 2、【2010南通一模】设等差数列na的前n项和为nS，且5133349aaS，（1）求数列na的通项公式及前n项和公式；（2）设数列nb的通项公式为nnnabat，问:是否存在正整数 t，使得12mbbb，(3)mm

4、N，成等差数列？若存在，求出t 和 m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列na的公差为 d.由已知得51323439aaa，2 分即118173adad，解得112.ad，4 分.故221nnanSn，.6 分（2）由（1）知2121nnbnt.要使12mbbb，成等差数列，必须212mbbb，即312123121mttmt，8 分.（3）整理得431mt，11分文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V

5、2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编

6、码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V

7、2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编

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9、2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编

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11、2G1N2 ZO5H8Q7V2X5因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2，3，5.当2t时，7m；当3t时，5m；当5t时，4m.故存在正整数 t，使得12mbbb，成等差数列.15分例 3、设数列na的前n项和2nSn，数列nb满足*()nnnabmNam.（）若128,b b b成等比数列，试求m的值；（）是否存在m，使得数列nb中存在某项tb满足*14,(,5)tb b b tNt成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.解：（）因为2nSn，所以当2n时，121nnnaSSn 3 分又当1n时，111aS，适合上式，所以21nan（*nN）4 分所以21

12、21nnbnm，则1281315,1315bbbmmm，由221 8bb b，得23115()3115mmm，解得0m（舍）或9m，所以9m 7 分（）假设存在m，使得*14,(,5)tb b b tNt成等差数列，即412tbbb，则712127121tmmtm，化简得3675tm12分所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t适合题意，即存在这样m，且符合题意的m共有 9 个 14 分例 4、【2010徐州三模】已知数列na是各项均不为0 的等差数列，nS为其前n项和，且满足221nnaS，令11nnnbaa，数列nb的

13、前 n 项和为nT.（1）求数列na的通项公式及数列nb的前 n 项和为nT；文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V

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19、档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5（2）是否存在正整数,m n(1)mn，使得1,mnT TT成等比数列？若存在，求出所有的,m n的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为na是等差数列，由212121()(21)(21)2nnnnaanaSna，又因为0na，所以21nan，2 分由111111()(21)(2

20、1)2 2121nnnba annnn所以111111(1)2335212121nnTnnn6 分(2)由(1)知，21nnTn，所以11,32121mnmnTTTmn，若1,mnT TT成等比数列，则21()()213 21mnmn，即2244163mnmmn 8 分解法一：由2244163mnmmn，可得223241mmnm，所以22410mm，12分从而：661122m，又mN，且1m，所以2m，此时12n故可知：当且仅当2m，12n使数列nT中的1,mnT TT成等比数列。16 分解法二：因为1136366nnn，故2214416mmm，即22410mm，12分从而：661122m，（

21、以下同上）三、三个存在型变量-连续的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6

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28、.求证：数列1nnapa为等比数列；数列na中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；设(,)|3,*nnnnAn bbknN，其中k为常数，且kN，(,)|5,*nnnBn ccnN，求 AB.解：na=nnpq，111()()nnnnnnnapapqp pqqqp，0,0,qpq211nnnnapaqapa为常数数列1nnapa为等比数列-4 分取数列na的连续三项12,(1,)nnnaaannN，211222212()()()()nnnnnnnnnnnaa apqpqpqp qpq，0,0,0pqpq，2()0nnp qpq，即212nnnaa a，数列na中不存在连续三项

29、构成等比数列；-9 分当1k时，3315nnnnk，此时BC；当3k时，3332 3nnnnnk为偶数；而5n为奇数，此时BC；当5k时，35nnnk，此时BC；-12 分当2k时，325nnn，发现1n符合要求，下面证明唯一性（即只有1n符合要求）。由325nnn得32()()155nn，设32()()()55xxf x，则32()()()55xxf x是R上的减函数，文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H

30、8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U

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32、8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U

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34、8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U

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36、8Q7V2X5()1f x的解只有一个从而当且仅当1n时32()()155nn，即325nnn，此时(1,5)BC；当4k时，345nnn，发现2n符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有2n符合要求）。从而当且仅当2n时34()()155nn，即345nnn，此时(2,25)BC；综上，当1k，3k或5k时，BC；当2k时，(1,5)BC，当4k时，(2,25)BC。-16分四、三个存在型变量-不同的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不

37、相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。具体的，该类问题可以分成三类。其一，等差中找等比（无理有理找矛盾）例 6、【扬州 2010三模】已知数列na满足：2121+,4=12+,2nnn+anaaan为偶数为奇数,-,（*,nNaR a为常数），数列nb中，221nnba。求123,a a a；文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:C

38、I6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1

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43、N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5证明：数列n

44、b为等差数列；求证：数列nb中存在三项构成等比数列时，a为有理数。解：由已知11122aaa，得112aa，211144aaa，32122aaaa。4 分221212122nnnbaaa，2221222121121222221111322()212()1224242nnnnnnnbaaaaaaaaaaa11nnbb，又13baa，数列nb是首项为a，公差为1的等差数列。9分证明：由知1nban，10分若三个不同的项,ai aj ak成等比数列，i、j、k为非负整数，且ijk，则2()()()aiajak，得2(2)a ikjjik，12分若20ikj，则20jik，得i=j=k，这与ijk矛盾

45、。14分若20ikj，则22jikaikj，i、j、k为非负整数，a是有理数。16分例 7、等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a112，S3932.(1)求数列 an 的通项 an与前 n 项和 Sn；文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V

46、2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4

47、HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V

48、2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4

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50、2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4 HQ5V6V2G1N2 ZO5H8Q7V2X5文档编码:CI6C4W4U9X4

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4.3 金币

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