2022年中考数学重难点专题讲座第七讲坐标系中的几何问题.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第七讲 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们争论了几何综合题及代数综合题的各种方面,信任许多同学都已经把握了;但是中考中, 最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数, 坐标系,运算量很大, 另一方面也有各种几何图形的性质表达;所以往往这类问题都会在最终两道题显现, 而且基本都是以多个小问构成;此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用; 作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学,这类问题肯定要重视;此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度动身,去完全攻克此类问题;第一部分
2、 真题精讲【例 1】2022,石景山,一模已知:如图 1,等边 ABC 的边长为 2 3 ,一边在x轴上且 A 1 3 0, AC 交y 轴于点 E ,过点 E 作 EF AB交BC于点F(1)直接写出点 B、C 的坐标;(2)如直线 y kx 1 k 0 将四边形 EABF 的面积两等分,求 k 的值;(3)如图 2,过点 A、 、C 的抛物线与 y 轴交于点 D , M 为线段 OB 上的一个动点,过x轴上一点 G 2,0 作 DM 的垂线,垂足为 H,直线GH交 y 轴于点N,当M点在线段OB 上运动时,现给出两个结论:GNMCDMMGNDCM ,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪
3、个结论正确,并证明yCyCD名师归纳总结 AE1FBxAO图2Bx第 1 页,共 22 页O-1图 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析】 许多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻, 略微看看不太会做就失去了攻克它的信心;在这种时候要渐渐将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来;第一问不难,C 点纵坐标直接用 tg60 来算,七分中的两分就到手了;其次问看似较难,但是实际上考生需要知道“ 过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这肯定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有爱好同学可以自己证一下加
4、深印象;由于EFAB 仍是一个等腰梯形,所以对角线交点特别好算,四分到手; 最终三分收起来有点麻烦,不过略微认真点画图,不难猜出式成立;抛物线倒是好求,由于要证的是角度相等,所以大家应当想到全等或者相像三角形,过 D 做一条垂线就发觉图中有多个全等关系,下面就遗忘抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简洁了;至此,一道看起来很难的压轴大题的【解析】解:(1)B13 0, ;C1 3, 7 分就胜利落入囊中了;(2)过点 C 作 CPAB 于 P ,交 EF 于点 Q ,取 PQ 的中点 R EABC 是等边三角形,A13 0EAO60在 Rt EOA 中,EOA90EOAO
5、tan6013333E0,33 EF AB 交 BC于 F ,C1 3, R1,323 (就是四边形对角线的中点,横坐标自然和C 一样,纵坐标就是的纵坐标的一半)名师归纳总结 直线y3kx1将四边形 EABF 的面积两等分第 2 页,共 22 页直线ykx1必过点R1,323k123,k523- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yCEQ FRA O B x-1(3)正确结论: GNM CDM 2证明:可求得过 A、 、C 的抛物线解析式为 y x 2 x 2D 0 2, G 2 0 OG OD 由题意 GON DOM 90又GNO DNHNGO MDON
6、GO MDOGNO DMO , OM ONONM NMO 45过点 D 作 DT CP 于 TDT CT 1CDT DCT 45由题意可知 DT ABTDM DMOTDM 45 DMO 45 GNO 45TDM CDT GNO ONM即:GNM CDM (这一问点多图杂,不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图)名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - yCD THGAN OMPBx【例 2】2022,怀柔,一模如图 ,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线y1x24x10与正半轴交于点A,与189轴交于点 B,过点 B 作 x
7、轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结 AC现有两动点P、Q 分别从O、C 两点同时动身 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动 ,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 ,点 P停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点 D,过 点 D 作 DE OA, 交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t单位 :秒 1求 A,B,C 三点的坐标 ; 2当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形 .请写出 运算过程 ; 3当 0t9 2时, PQF 的面积是否总为定值.如是 ,求出此定值 ,如不
8、是 ,请说明理由 ; 4当 t _时, PQF 为等腰三角形 . 【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特别图形的题目特别流行,所 以大家需要对各种特别图形的判定性质特别熟识;此题一样一步步拆开来做,第一问送分,给出的抛物线表达式很好因式分解;留意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点肯定是关于名师归纳总结 对称轴对称的;其次问就在于当四边形PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系;第 4 页,共 22 页在运动中, QC 和 PA 始终是平行的,依据平行四边形的判定性质,只要QC=PA 时候即可;第三问求PQF 是否为定值,由于三角形的一条高就是Q 到 X 轴的距离,而运动中这
9、个距- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离是固定的,所以只需看PF 是否为定值即可;依据相像三角形建立比例关系发觉OP=AF ,得解;第四问由于已经知道 PF 为一个定值,所以只需 PQ=PF=18 即可, P 点( 4t,0)Q 8-t,-10,F18+4t,0 两点间距离公式分类争论即可 .本道题是 09 年黄冈原题 ,第四问原本是作为解答题来出的原来是 3 分,但是此题作为 1 分的填空 ,考生只要大致猜出应当是 FP=FQ 就可以;实际考试中假如遇到这么麻烦的,假如没时间的话笔者个人建议舍弃这一分去检查其他的.究竟得到这一分的时间都可以把挑选填空
10、认真过一遍了 . 【解析】解: 1 y18 1 x 2 8 x 180,令 y 0 得 x 28 x 180 0,x 18 x 10 0x 18 或 x 10A 18,0;在 y 1x 2 4x 10 中,令 x 0 得 y 10 即 B 0, 10;18 9由于 BC OA ,故点 C 的纵坐标为 10,由 10 1x 2 4x 10 得 x 8 或 x 018 9即 C 8, 10于是,A 18,0, B 0, 10, C 8, 10(2)如四边形 PQCA 为平行四边形,由于 QC PA.故只要 QC=PA 即可PA 18 4 , t CQ t 18 4t t 得 t 185(3)设点
11、P 运动 t 秒,就 OP 4 , t CQ t , 0 t 4.5,说明 P 在线段 OA 上,且不与点 O、A 重合,名师归纳总结 由于 QC OP 知 QDC PDO ,故QD DPtQCt14.5;构造直角三角形后第 5 页,共 22 页OP4 t4AF4 tOPPFPAAFPAOP18又点 Q 到直线 PF 的距离d10SPQF1PF d118 109022, 10, 0t PQF 的面积总为90 (4)由上知,P4 ,0,F184 ,0,Q8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 易得PQ24t8t21025 t821004.5,FO2184t8
12、t21025 t102100如 FP=PQ,即1825t82100,故25t22224, 2t26.5t22244 14t4 142255或5如 QP=QF,即5 t821005 t102100,无 0 4.5的 t 满意条件; 12如 PQ=PF,即5 t82100182,得5 t2 8224,t84 145t84 140都不满意 0 4.5,故无 0 4.5的 t 满意方程;5综上所述:当t4 142时, PQR 是等腰三角形;5【例 3】2022,延庆 ,一模如图,已知抛物线C :yax225的顶点为 P ,与x 轴相交于A、B两点(点A 在点 B 的左边),点B 的横坐标是 1(1)求
13、 P 点坐标及 a 的值;(2)如图( 1),抛物线 C 与抛物线 C 关于 x 轴对称,将抛物线 C 向右平移,平移后的抛物线记为 C ,C 的顶点为 M ,当点 P 、M 关于点 B 成中心对称时, 求 C 的解析式;(3)如图(2),点 Q 是x轴正半轴上一点,将抛物线C 绕点 Q 旋转 180 后得到抛物名师归纳总结 线C 抛物线C 的顶点为 N ,与 x 轴相交于 E 、 F 两点(点 E 在点 F 的左边) ,当以点 P 、第 6 页,共 22 页N 、 F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C1
14、 y M C1 y N A P O B C3 x A P O B Q E F x C2 C4 图 1 图 2 【思路分析】出题人比较慈爱,上来就直接给出抛物线顶点式,再将 B(1,0)代入,第一问轻松拿分;其次问直接求出 M 坐标,然后设顶点式,连续代入点 B 即可;第三问就需要设出 N,然后分别将NP,PF,NF 三个线段的距离表示出来,然后切记分情形争论直角的可能性;运算量比较大,务必细心;【解析】解:由抛物线C :ya x225得x轴于 G顶点 P 的为 2,5C 上点B 1,0在抛物线0a1225x 轴于 H ,作 MG解得,a59连接 PM ,作 PH点 P 、 M 关于点 B 成中
15、心对称名师归纳总结 PM 过点 B ,且 PBMBM 到 B 的横纵坐第 7 页,共 22 页PBHMBGMGPH5,BGBH3顶点 M 的坐标为 4,5(标准答案如此,其实没这么麻烦,点标之差都等于B 到 P 的,直接可以得出(4,5)抛物线C 由C 关于 x 轴对称得到,抛物线C 由C 平移得到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线C 的表达式为y5x4259抛物线C 由C 绕点x轴上的点 Q 旋转 180 得到顶点 N 、 P 关于点 Q 成中心对称由得点 N 的纵坐标为 5设点 N 坐标为 m,5作 PH x轴于 H ,作 NG x轴于 G作
16、 PK NG 于 K旋转中心 Q 在x轴上 C1 y N EF AB 2 BH 6FG 3,点 F 坐标为 m 3,0 A H O B Q E G F x H 坐标为2,0, K 坐标为 m,5,K P C4 依据勾股定理得图2 2 2 2 2PN NK PK m 4 m 1042 2 2 2PF PH HF m 10 m 502 2 2NF 5 3 34当 PNF 90 时,PN 2NF 2PF,解得 2m 443,Q 点坐标为 193,0当 PFN 90 时,PF 2NF 2PN ,解得 2m 10,Q 点坐标为 2,03 3PN NK 10 NF ,NPF 90综上所得,当 Q 点坐标为
17、 19,0 或2,0 时,以点 P 、 N 、 F 为顶点3 3的三角形是直角三角形【例 4】2022,房山,一模如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:y 3 x 6 3 交x轴、y轴于 A 、 B 两点,点 M m n 是线段 AB 上一动点,点 C 是线段 OA的三等分点(1)求点 C 的坐标;名师归纳总结 (2)连接 CM ,将ACM绕点 M 旋转 180 ,得到A C MA CAC 分成面第 8 页,共 22 页当BM1AM 时,连结A C 、AC ,如过原点 O 的直线2l将四边形2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 积相等的两个四边
18、形,确定此直线的解析式;过点A作A Hx 轴于 H ,当点 M 的坐标为何值时,由点A、H、C、M构成的四边形为梯形?BMO A【思路分析】此题运算方面不是很繁琐,但是对图形的构造才能提出了要求,也是一 道比较典型的动点移动导致特别图形显现的题目;第一问自不必说, 其次问第一小问和前面 例题是一样的, 也是要把握过四边形对角线交点的直线肯定平分该四边形面积这肯定理;求 出交点就意味着知道了直线 .其次小问较为麻烦 ,由于 C 点有两种可能 ,H 在 C 点的左右又是 两种可能 ,所以需要分类争论去求解 .只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了 . 【解析】(1)依据题意:A6, 0,B0, 6
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- 2022 年中 数学 难点 专题讲座 第七 坐标系 中的 几何 问题
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