2022年二次函数的定义与性质.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载重点、难点：用描点法画出二次函数的图象,从图象上熟悉二次函数的性质. 会依据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴 公式不要求记忆和推导 ,并能解决简洁的实际问题. 重点、难点解析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型,也是某些单变量最优化问题的数学模型 . 二次函数也是一种特别基本的初等函数,它作为中学阶段学习的重要函数模型,对懂得函数的性质,把握讨论函数的方法,体会函数的思想是特别重要的,对二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积存体会. 在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次

2、函数,这是对函数及其应用学问学习的深化和提高,是学习函数学问的过程中的一个重要环节,起到承上启下的作用,为进入高中后进一步学习函数知识奠定基础 . 一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：形如a 0,a,b,c 为常数 的函数为二次函数. 2. 二次函数的性质：1 二次函数 y=ax 2 a 0 的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是 y 轴；当 a0 时,抛物线开口向上,顶点是最低点；当 a0 时,抛物线开口向下,顶点是最高点；a 越小,抛物线开口越大. , ,对称轴2 二次函数的图象是一条抛物线. 顶点为 -；当 a0 时,抛物线开口向上,图象有最低点,且x-,y 随 x 的增大

3、而增大,x-, y 随 x 的增大而减小；当a0 时,抛物线开口向下,图象有最高点,且x-,y 随 x 的增大而减小,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x -学习必备欢迎下载,y 随 x 的增大而增大 . 3 当 a0 时,当时,函数有最小值；当 a0 时,当时,函数有最大值. 3. 二次函数y=ax2+bx+ca 0 的各项系数a、b、c 对其图象的影响1a 打算抛物线的开口方向和开口大小：大,开口越小 . |a|相等,抛物线全等. a0,开口向上； a0,开口向下 . |a| 的越2a 与 b 打算抛物线对称轴的

4、位置：a、b 同号,抛物线的对称轴 即直线 或顶点在 y 轴左侧； a 、b 异号,抛物线的对称轴 即直线 或顶点在 y 轴右侧； b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴. a ,b 都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系 . 3c 打算抛物线与 y 轴交点 0 ,c 的位置： c0,抛物线与 y 轴交于正半轴；c 0,抛物线与 y 轴交于负半轴； c=0,抛物线与y 轴交点是坐标原点. c相同的抛物线都过点0 ,c. 这些内容应当能够由数得形、依形判数 . 典型例题：1已知抛物线的部分图象 如图 ,图象再次与x 轴相交时的坐标是 A5 , 0 B6 ,0 C7 , 0

5、 D8 ,0 解： C 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析： 由,可知其对称轴为 x=4,而图象与 x 轴已交于 1 ,0 ,就与 x 轴的另一交点为 7 ,0. 2函数 y=x2-4 的图象与 y 轴的交点坐标是 A.2 ,0 B.-2 ,0 C.0 ,4 D.0 ,-4 解： D 分析： 函数 y= x 2-4 的图象与 y 轴的交点的横坐标为 0,x=0 时, y=-4 ,应选 D. 3已知二次函数 的图象如下列图,就 a、b、 c 满意 A.a 0,b0,c0 B.a 0,b0,c0 C

6、.a0,b0,c0 D.a0,b0,c0 解： A 分析： 由抛物线开口向下可知 a 0；与 y 轴交于正半轴可知 c0；抛物线的对称轴在y 轴左侧,可知 -0. 就 b0. 应选 A. 4抛物线 y= 4x+2 2+5 的对称轴是 _. 解： x=-2 名师归纳总结 分析： 抛物线 y=ax-h2+k 的对称轴为x=h. 第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5y=ax学习必备欢迎下载Ma, bc 在 . 2+bx+ca 0 的图象如下列图,就点A. 第一象限 B. 其次象限C.第三象限 D. 第四象限分析： 由图可知：抛物线开口向

7、上 a0. bc0. 点 Ma,bc 在第一象限 . 答案： A. 点评： 此题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c 的符号 . 6已知一次函数 y=ax+c ,二次函数 y=ax 2+bx+ca 0 ,它们在同一坐标系中的名师归纳总结 大致图象是 . 第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析： 一次函数 y=ax+c,当 a0 时,图象过一、三象限；当a0 时,图象过二、四象限； c0 时,直线交 y 轴于正半轴；当 c0 时,直线交 y 轴于负半轴；对于二次函数 y=ax 2+bx+ca 0 来讲：解：可用排

8、除法,设当 a0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y=ax+c应过一、三象限,故排除 C；当 a0 时,用同样方法可排除 A；c 打算直线与 y 轴交点；也在抛物线中打算抛物线与 y 轴交点, 此题中 c 相同就两函数图象在 y 轴上有相同的交点,故排除 B. 答案： D. 二、图象的平移抛物线 y=ax 抛物线 y=ax-h 2+k 2当 h0,k0 时,把抛物线 y=ax 2 向右平移 h 个单位,再向上平移 k 个单位,得到抛物线 y=ax-h 2+k；当 h0,k0 时,把抛物线 y=ax 2 向右平移 h 个单位,再向下平移 |k| 个单位,得到抛物线

9、y=ax-h 2+k；当 h0,k0 时,把抛物线 y=ax 2 向左平移 |h| 个单位,再向上平移 k 个单位,得到抛物线 y=ax-h 2+k；当 h0,k0 时,把抛物线 y=ax 2 向左平移 |h| 个单位,再向下平移 |k| 个单位,得到抛物线 y=ax-h 2+k. 在学习中,不要死记这些结论,在观看中发觉,函数图象的平移就是顶点的平移 也可以是其它关键点的平移,这是由于函数图象的平移是整体的平移,每个点都做相同的变换 ,仍可以引申到直线、双曲线的平移 . 在解题时,肯定分清移动谁,不妨画草图 . 典型例题下面看几个考查平移的问题1 湖南长沙 把抛物线 y=-2x 2向上平移

10、1 个单位,得到的抛物线是 A. y=-2x+1 B. y=-2x-1 C. y=-2x 2+1 D. y=-2x 2-1 2 2提示： 这个题很基本,把顶点从原点处移至 0 ,1 处,选 C. 2 山西省 抛物线 经过平移得到,平移方法是 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A. 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位B. 向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位C.向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位D.向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位提示： 此题要留意被移动的是抛物

11、线 =-2x+1 2-3 ,即把顶点从 -1 ,-3 处移至原点处,因此写平移时需留意方向 . 选 D. 3 湖北荆门 把抛物线 y=x +bx+c 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的解析式为 y=x 2-3x+5 ,就 A.b=3, c=7 B.b=6 ,c=3 C.b=-9 ,c=-5 D.b=-9 , c=21 答案： A 提示： 此题两种方法：法一：先求出 y=x 2-3x+5 的顶点,按平移过程求出原图象顶点,从而求出解析式,确定 b、c 的值；法二：先求出图象与 y 轴交点 0 ,5 按平移过程得原图象上一点 -3 ,7 ,再求 y=x 2-3x+5上点

12、 3 ,5 ,按平移过程得原图象上一点 0 ,7 4 资阳市 在平面直角坐标系中,假如抛物线 y=2x 2不动,而把 x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 2 个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 A.y=2x-2 2+2 B.y=2x+2 2-2 C.y=2x-2 2-2 D.y=2x+2 2+2 提示： 这是移轴的问题,需将它转化为移图象的问题把图象向下、向左平移 2 个单位. 可以先画图,总结规律 . 选 B. 三、二次函数的作图典型例题1通过配方,确定抛物线 再描点画图 . 解：的开口方向、对称轴和顶点坐标,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料

13、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载因此,抛物线开口向下,对称轴是直线 由对称性列表：x=1,顶点坐标为 1 , 8. x . -2 -1 0 1 2 3 4 描点、连线,如下列图-10 0 6 8 6 0 -10 回忆与反思：1 列表时选值,应以对称轴x=1 为中心,函数值可由对称性得到. 2 描点画图时,要依据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最终用平滑曲线顺次连结各点 . 探究 ：对于二次函数,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 _,顶点坐标 _. 2已知抛物线 的顶点在坐标轴上,求 的值 . 分析：顶点在坐标轴上有两种可能：1 顶点在 x 轴上,就顶点的纵坐标等于0；2 顶点在 y 轴上,就顶点的横坐标等于0. ,解：就抛物线的顶点坐标是. 当顶点在 y 轴上时,有,解得. 当顶点在 x 轴上时,有名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得或. 学习必备欢迎下载所以,当抛物线的顶点在坐标轴上时,有三个值,分别是 2,4,-8.名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页