2022年二元函数的泰勒公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数zfx,y的两个（一阶）偏导数z , xz仍是 x 与 y 的二元函数 .y如它们存在关于 x 和 y 的偏导数,即zz,zfz,z;zz,zz.2 2 个. 通常xxyxxyyy称它们是二元函数xy的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有将它们表为：2z z 表为 z2 或 f xx x , y .x x x2z z 表为 z 或 f xy x , y .（混合偏导数）y x x y2z z 表为 z 或 f yx x , y .（混合偏导数）x y y x2z z 表为

2、z 或 2 f yy x , y .y y y一般地,二元函数 z f x , y 的 n 1 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的 nn阶偏导数 . 二元函数的 n 阶偏导数至多有 2 个. 二元函数 z f x , y 的 n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似 . 例如,符号n nk zk 或 f x n n k y k x , y x y表示二元函数 z f x , y 的 n 阶偏导数, 第一对 x求 n k 阶偏导数, 其次接着对y 求 k 阶偏导数 . 二阶与二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 . 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数 . 名师归纳总结 例 1. 求函数zx3y3

3、3x2yxy23的二阶偏导数 . 第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：z3x2y36xyy2精品资料z3x欢迎下载3x22xy .3y2xy2z6xy36y .2y .x2z9x2y26x2y.,就2z2zx22z9x2y26xyxxyxyyx2z6x3y2x .a 2yb 2zc 2y21,r例 2. 证明：如ur2u2u2u0 .x2y2z2证明： 由 10.3. 例 2,有名师归纳总结 uxr3a,uy3b,uz3c.f xyx,y第 2 页,共 10 页xyrzr2ur3xra 3 r2rrxrax2 x6xr3xa

4、3 r2xra13xa2.r6r3r5同样,可得2u13yb 2,2u13zc 2.y2r3r5z2r3r5于是,2u2u2u33xa 2yb 2zc2x2y2z2r3r5330 .r3r3定理 1. 如函数fx,y在点Px0y0的邻域 G存在二阶混合偏导数与f yxx,y,并且它们在点Px0y0连续,就fxyx0,y 0fyxx0,y0 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 令Fx,yfx0精品资料0欢迎下载x0x ,y0x,yy f名师归纳总结 fx0,y0yfx0,y0,y0x 上应用拉格朗日中第 3 页,共 10 页令x fx ,y0yf

5、x ,y0. 对x 在x0,x0值定理 , 得Fx,yx01xxxfxx01x ,y0yfxx01x ,f xyx 01x,y02yxy；令yfx0x,yfx0,y. 同样方法可以得到Fx ,yfyxx03x ,y 04xxy. 于是有f xyx01x,y02y f yxx03x,y04x . 令x0 ,y0, 取极限得 1 式. 例 3. 证明：如zfx,y,xcos,ysin,就2f2f2f12f1f.x2y22222fsin2.证明：ffxfyfcosfsin.xyxyffxfyfsinfcos.xyxy2fffffcosfsin2xy2fcos 22fsincos2fsincosx2x

6、yyxy22fffffsinfcos2xy2f2sin22f2sincosfcosx2xyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2f2sincos精品资料2欢迎下载fsin.2fcos 2yxy2y2 2 2 2于是,f2 12 f2 1 f f2 cos 2 sin 2 f2 sin 2 cos 2 x yf cos f sin f cos f sinx y x y2 22 f2 f .x y即 2x f2 2y 2 f 2 f2 12 2 f2 1 f .说明： 定理 1 的结果可推广到 n 元函数的高阶混合偏导数上去 . 例如,三元函数 f x ,

7、 y , z 关于 x , y , z 的三阶偏导数依据不同的次序共有六个：3 3 3 3 3 3f f f f f f, , , , , .x y z y x z y z x x z y z x y z y x如它们在点 x , y , z 都连续,就它们相等 . 如二元函数 f x , y 全部的混合高阶偏导数都连续,就偏导数（亦称一阶偏导数） 有二个,二阶偏导数只有三个 f xy f yx ,三阶偏导数只有四个 . 一般情形, n 阶偏导数只有 n 1 个. 二、二元函数的泰勒公式争论二元函数泰勒公式的方法是：作一个帮助函数, 将二元函数化为一元函数. 应用已知的一元函数的泰勒公式和复合

8、函数的微分法得到二元函数的泰勒公 式. 名师归纳总结 为 了 将 二 元 函 数fx,y在 点Qath,bk的 函 数 值fah,bk在 点第 4 页,共 10 页P a,b展成泰勒公式,作帮助函数,1tfaht,bkt,0即tfx,y,xaht,ybkt,0t1.明显,t0,0 fa ,b ;t,11 fah,bk.于是,函数fah,bk在点Pa,b 展成的泰勒公式就是一元函数t 在点 0 的泰勒公式（即麦克劳林公式）在t1的值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 2.如函数fx,y精品资料b欢迎下载在点Pa,的邻域 G存在 n+1 阶连续的

9、偏导数,就Qah ,bbkkG,有1hxkyfa ,b11hx,ky2fa ,b ,1fah ,fa ,b.1.21hxkyn11 .hxkynfahbk,0fa,bn .n（4）其中符号xiylfa,b 表示偏导数iilfl在Pa,b 的值,b. xyhxkymfa,bimCihikmii xmmifa ,0my（4）式称为二元函数fx,y在Pa ,b的泰勒公式 . y的麦克劳林公在泰勒公式（ 4）中,令a0 b0,就得到二元函数fx,式（将 h 与 k 分别用 x 与 y 表示）：fx ,y f0 , 0 f1xxnyyxf0 , 0 y11xxyy2f0 , 0 .1.21xxyn,00

10、 1xnfx ,y,01yn .1 .（5）或f在泰勒公式（ 4）中,当na0时,有khfyah,bkk,01. ah ,bkfa,b fxh,bfah,bkfa ,bfxah ,bkhfyah ,bkk,（6）名师归纳总结 （6）式二元函数 中值定理 的另一种形式,这里只有一个h,. kk7 第 5 页,共 10 页在泰勒公式（ 4）中,当n1时,有bfah,bkfa,bfxah,bkhfya1fxxah ,bkh22fxy ah ,bkhk2fyyah ,bk k2,01 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 将函数fx,yexy精品资料欢

11、迎下载展成麦克劳林公式 . 解： 函数fx,yeexy在R 存在任意阶连续偏导数,且 2mlfxy,mlxmylf,00 1,xmylm 与 l 是任意非负整数 . 由公式（ 5）,有exy1nxy 1xey2,1xyn2 .n .1xyn1xy01.1 .三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义 设函数 f x y 在点 P a b 的邻域 G 有定义 .如 a h b k G ,有f a h b k a b f a h b k ,a b就称 P a b 是函数 f , x y 的极大点（微小点）.极大点（微小点）的函数值 f a b , 称为函数 f x y 的极大值（微小值） . 极大点

12、与微小点统称为 极值点 .极大值与微小值统称为 极值 . 例 如 , 点 1,2 是 函 数f x y , x212y221的 极 小 点 , 极 小 值 是f1,21. 0事实上, , x y ,有12y2,x于是fx,yf 1 , 22. 极值点的必要条件定理 3. 如函数f x y 在点P a b 存在两个偏导数, 且P a b 是函数f x y的极值点,就名师归纳总结 xfa b0与yfa b. f , x b 的极第 6 页,共 10 页证明：已知P a b 是函数f x y 的极值点,即 xa是一元函数值.依据一元函数极值的必要条件,a 是一元函数f x b 的稳固点,即- - -

13、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xf精品资料. 欢迎下载a b同法可证,fx , x y0,yfa b. f x y 的稳固方程组的解（坐标平面上某些点）称为函数fy , x y0,点. 定理 3 指出,可微函数f x y 的极值点肯定是稳固点 .反之,稳固点不肯定是极值点 .例如,函数（双面抛物面）f x y , x22 y . .2的 稳 定 点 . 但 点 0 , 0 并 不 是 函 数fx2 ,fy2显 然 , 点 0 , 0 是 函 数f , x2yf x y , x22 y 的极值点 . 3. 极值点的充分条件定理 4. 设函数f x y 有稳固点

14、P a b ,且在点P a b 的邻域 G 存在二阶连续偏导数 . 名师归纳总结 令Af x x a b ,Bx y fa b ,Cy yfa b第 7 页,共 10 页B2A C1）如0,就P a b 是函数f x y 的极值点：（）A0或 C0,P a b 是函数f x y 的微小点 . （）A0或 C0,P a b 是函数f x y 的极大点 . 2）如0,就P a b 不是函数f x y 的极值点 . 注：当判别式0 时,稳固点P a b 可能是函数f , x y 的极值点,也可能不是函数f x y 的极值点 .例如,函数f 1 , x2y22 ,f2 , x2y22 ,f3 , x

15、y2 x y.不难验证,P0,0是每个函数唯独的稳固点, 且在稳固点P0,0每个函数的判别式B2AC0.明显,稳固点P0,0是函数f 1 , x yx2y22的微小点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是函数f2 , x2y22精品资料欢迎下载f3 , x y2 x y 的极值点 . 的极大点；却不是函数求可微函数 fx,y的极值点的步骤：1）求偏导数,解方程组fx , 0,求稳固点 .设其中一个稳固点是P a b . fy , 0,2）求二阶偏导数,写出fx y x y2f x xx,y y y fx y.0 不定3）将稳固点P a b 的坐标代入上

16、式,得判别式fx y a b 2f x xa by y fa b.再由的符号,依据下表判定P a b 是否是极值点：B2AC+ A（或 C）+ P a b , 是微小点是极大点不是极值点例 6. 求函数zx3y33xy 的极值 . 解： 解方程组fxx,y2 3 x2y0 ,fyx,y 2 3 y3x0 .解得两个稳固点（ 0,0）与（ 1,1）.求二阶偏导数fx x x y6x,x y fx,y3 ,y y fx yy在点 0,0, 在点 1,1,fx yx y2 f x xx y y y f x y93 6 x y.90,0,0 不是函数的极值点 . 270, 且A60,1,1是函数的微小

17、点,微小值是x3y33xy 1,11. 4. 二元函数 f（x,y）在实际问题中的最大、最小值一般来说,求函数f x y 在 D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是,在许多实际问题, 依据问题的实际意义, 函数f x y 的最大（小）值必在区域 D名师归纳总结 （D 可以是无界区域）内某点P 取得,又函数f x y 在 D 内只有一个稳固点P,第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载那么函数 f x y 必在这个稳固点 P 取得最大（小）值 . 例 7. 用钢板制造容积为 高才最省钢板 . V 的无盖长方形水箱,

18、问怎样挑选水箱的长、宽、解： 设水箱长、宽、高分别是x y z.已知 xyzV ,从而高zV.水箱表面xy的面积S 的定义域DSxyV2x2 xyy2 V1. 1,xyxy , 0x,0这个问题就是求函数 解方程组S 在区域 D 内的最小值 . 名师归纳总结 Sy2 V1y2 V0,32 V,32 V第 9 页,共 10 页xx22 xSx2 V1x2 V0.yy2y2在区域 D 内解得唯独稳固点32 ,32 V.求二阶偏导数2S4 V,2S1,2S4 V. x2x3x yy2y32S22 S2 S116 V2. 3x yx2y23 x y在稳固点32 ,32 V,30,且A20,从而,稳固点

19、32 V 时,是 S 的微小点 .因此,函数 S 在点32 V,32 取最小值 .当x32 V,yz3V2 V32 V,2 V32. 即无盖长方形水箱xy32 V z32 V,所需钢板最省 . 2例 8. 在已知周长为 2 p 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形解： 设三角形的三个边长分别是x y z.面积是.由海伦公式,有p px py p. z （8）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知xyz2p 或z2px精品资料欢迎下载y,将它代入（ 8）式之中,有p p x p y x y . p由于三角形的每边是正数而且小于半周长 p ,所以 的定义

20、域D x y 0 x p , 0 y p x y . p2已知 的稳固点与 的稳固点相同 .为运算便利,求p2ppx py xyp 的稳固点 .解方程组名师归纳总结 xx y py xyp px py第 10 页,共 10 页py 2 p2 xy0 .yx y px xyp_px py px 2 p2 yx0 .在区域 D 内有唯独稳固点2p,2p.求二阶偏导数33x x x,y2 py ,x yx y ,x 2 ypyyx y2 xx y x,y2 x xx y ,y yx y,42 x4x y42 y8p x8p y2 5p .在稳固点2p,2p,p20,A2p0.从而,稳固点2p,2p是函333333数,即的极大点 .由题意,在稳固点2p,2p必取到最大值 .当x2p,333y2p时,z2pxy2p,即三角形三边长的和为定数时,等边三角形的33面积最大 . - - - - - - -