2022年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解改.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点相像三角形基本学问学问点四：平行线分线段成比例定理 一 平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的 对应线段成比. . 例. 已知 l1 l2 l3, A D l1 B E l2 C F l3可得ABDE或ABDE等.BCEFACDF2. 推论: 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例（1）是“A ” 字型（2）是“8” 字型常常考,关键在于找由 DE BC 可得：ADAE或BDEC或ADAE. 此推论较原定理应用更加广泛, 条件是平DBECADEAA

2、BAC行. 3. 推论的逆定理 ：假如一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边 . 即利用比例式证平行线 4. 定理 : 平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线 , 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比例 .5. 平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线, 假如在一条直线上截得的线段相等,难么在另一条直线上截得的线段也相等；三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例；名师归纳总结 几何语言 ABE中 BD CE 上上上上和下下第 1 页,共 10 页ABADAB下下BCDE简记

3、：ADBCDE归纳：ACAE和ACAE推广：类似地仍可以得到全全全全- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - DBAE名师总结A优秀学问点EBADCCBCDE三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 . 三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理 平行于三角形的第三边 . 假如一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线AEDA B CD E B C三角形一边的平行线判定定理推论 假如一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三 边的同侧）所得的对应线段成

4、比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 . 平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. . CBADEF用符号语言表示：AD BE CF,ABDE,BCEF,ABDE. BCEFACDFACDF2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截,假如在始终线上所截得的线段相等,那么在另始终线上所截得的线段也相等. 用符号语言表示：ADBECFABBC. DEDF重心定义：三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心. 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍学问点三：相像三角形名师归纳总结 - - -

5、 - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1、 相像三角形1）定义 ：假如两个三角形中,三角对应相等,三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相像三角形；几种特别三角形的相像关系：两个全等三角形肯定相像；两个等腰直角三角形肯定相像；两个等边三角形肯定相像；两个直角三角形和两个等腰三角形不肯定相像；补充：对于多边形而言,全部圆相像；全部正多边形相像（如正四边形、正五边形等等）；2）性质 ：两个相像三角形中,对应角相等、对应边成比例；3）相像比 ：两个相像三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的 相像比 ；如 ABC 与 DEF 相像,

6、记作ABC DEF ；相像比为 k；4）判定 ： 定义法 ：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像； 三角形相像的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相像；三角形相像的判定定理：判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像 简述为：两角对应相等,两三角形相像 此定理用的最多 判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相像简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像简

7、述为：三边对应成比例,两三角形相像直角三角形相像判定定理 :1 . 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相像；2 . 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相像,并且分成的两个直角三角形也相像；补充一 ：直角三角形中的相像问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像 . 射影定理 ：CD2=AD BD,AC2=AD AB,BC2=BD BA （在直角三角形的运算和证明中有广泛的应用）. 补充二：三角形相像的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相像；推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像；推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像；推

8、论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相像；推论五： 假如一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相像；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点相像三角形的性质 相像三角形对应角相等、对应边成比例 . 相像三角形对应高、 对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相像比 对应边的比 . 相像三角形对应面积的比等于相像比的 平方 . 2、 相像的应用：位似 1）定义：假如两个多边形不仅相像,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位

9、似图 形,这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比；需留意：位似是一种具有位置关系的相像,所以两个图形是位似图形,必定是相像图形,而相像图形不 肯定是位似图形；两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧；位似比就是相像比；2）性质：位似图形第一是相像图形,所以它具有相像图形的一切性质；位似图形是一种特别的相像图形,它又具有特别的性质,位似图形上任意一对对应点到位似 中心的距离等于位似比（相像比）；每对位似对应点与位似中心共线,不经过位似中心的对应线段平行；一、如何证明三角形相像名师归纳总结 - - - - - - -例 1、如图：点G 在平

10、行四边形ABCD的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、 F,就 AGD ；A42FDAADB3 E1CDGBCBEFC例 2、已知ABC 中, AB=AC , A=36 , BD 是角平分线,求证：ABC BCD 第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：已知,如图,D为 ABC内一点连结名师总结优秀学问点ABC外作 CBE=ABD, BCE=BAD ED、AD,以 BC为边在求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、F,是 BC 边的三等分点,连结 等的相像三角形？请证明你的结论；二、如何应用相像三角形

11、证明比例式和乘积式AE 、AF、AC ,问图中是否存在非全例 5、 ABC 中,在 AC 上截取 AD ,在 CB 延长线上截取BE,使 AD=BE ,求证： DF AC=BCFE AFKDD；ECBABC中, BAC=90 0,M是 BC的中点, DMBC于点 E,交 BA的延长线于点例 6：已知：如图,在求证：（ 1）MA 2=MD ME；（ 2）AE2MEDAD2MDA 1 E2BMC例 7：如图 ABC中, AD为中线, CF为任始终线, CF交 AD于 E,交 AB于 F,求证： AE：ED=2AF：FB；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料

12、- - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点三、如何用相像三角形证明两角相等、两线平行和线段相等；例 8：已知：如图DE、F 分别是正方形ABCD的边 AB和 AD上的点,且EBAF1；求证： AEF= FBD ABAD3AFGEBCABCD 内, AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线,求证： SQ AB ,RP BC 例 9、在平行四边形ADSPRQBC例 10、已知 A 、C、E 和 B、F、D 分别是 O 的两边上的点,且AB ED,BC FE,求证： AF CD ECAOBFD名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - -

13、- - - - - 名师总结 优秀学问点例 11、直角三角形 ABC 中,ACB=90 ,BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求证：FC=FG DC例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交AB 于 E,交斜边上的高AFEGBAD 于 O,过 O 引 BC 的平行线交AB 于 F,求证： AE=BF ABFE132COD一、挑选题1（2022 年滨州）如下列图,给出以下条件：BACD ；ADCACB ；AC CDAB；AC2AD AB ）BC其中单独能够判定ABCACD的个数为（）A 1 B2 C3 D4 ,那么以下结论正确选项（2. （2022 年上

14、海市 如图,已知 ABCDEF名师归纳总结 AAD DFBCBBC CEDFCCD EFBCDCD EFAD第 7 页,共 10 页CEADBEAF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.2022成都 已知 ABC DEF,且名师总结优秀学问点AB：DE=1：2,就 ABC的面积与 DEF 的面积之比为 A1：2 B1：4 C2：1 D4：1 4. 2022 年 安顺 如图,已知等边三角形 ABC 的边长为 2,DE 是它的中位线,就下面四个结论：（1） DE=1,（2） CDE CAB ,（ 3） CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4.其中正确

15、的有：A 0 个 B1 个 C2 个 D3 个5.（ 2022 重庆綦江）如ABC DEF, ABC 与 DEF 的相像比为2,就 ABC 与 DEF 的周长比为（）B12 C21 D2A 14 6. （2022 年杭州市）假如一个直角三角形的两条边长分别是别是 3 和 4 及 x,那么 x 的值（）A只有 1 个 B可以有 2 个C有 2 个以上但有限 D有很多个6 和 8,另一个与它相像的直角三角形边长分7.2022 年宁波市） 如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,M、N 分别是边 AB、AD 的中点,连接 OM、ON、MN,就以下表达正确选项（）A AOM 和 A

16、ON 都是等边三角形B四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形A B M O N D C 8. （ 2022 年江苏省）如图,在 5 5方格纸中,将图中的三角形甲平移到图中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平名师归纳总结 移方法中,正确选项（）1 格第 8 页,共 10 页A先向下平移3 格,再向右平移- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B先向下平移2 格,再向右平移1 格名师总结优秀学问点已知这本书C先向下平移2 格,再向右平移2

17、格小明同学发觉自己的一本书的宽与长之比为黄金比；D先向下平移3 格,再向右平移2 格9.2022年义乌 在中华经典美文阅读中,的长为 20cm,就它的宽约为A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 10. （2022 年娄底） 小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练, 在用枪瞄准目标点 B 时,要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上,如图 4 所示,在射击时,小明有稍微的抖动,致使准星 A 偏离到 A ,如 OA=0.2 米, OB=40 米, AA =0.0015 米,就小明射击到的点 B 偏离目标点 B 的长度 BB 为（）A 3 米 B0.3

18、米 C0.03 米 D0.2 米11.（2022 恩施市）如图,在ABC 中,C 90,B 60,D 是 AC 上一点, DE AB 于 E ,且CD 2,DE 1,就 BC 的长为（）A 2 B4 3 C 2 3 D 4 3312.（2022 年甘肃白银）如图 3,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时,竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m,就旗杆的高为（）A 12m B10m C8m D7m 13.（2022 年孝感） 如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90 得 AOB已知

19、 AOB=30 , B=90 , AB=1,就 B 点的坐标为名师归纳总结 A33B33C13D3 1 ,2 2第 9 页,共 10 页222222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点14.（2022 年孝感） 美是一种感觉, 当人体下半身长与身高的比值越接近0.618 时,越给人一种美感 如图,某女士身高165cm,下半身长x 与身高 l 的比值是0.60,为尽可能达到好的成效,她应穿的高跟鞋的高度大约为A 4cm B6cm C8cm D 10cm ABC相像的15. （2022 年新疆）如图,小正方形的边长均为1,就以下图中的三角形（阴影部分）与是（）A .名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页