2022年二次函数的存在性问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数的存在性问题 面积问题 08 湖北荆州 已知：如图, Rt AOB 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上, C 为 OA 上一点且 OCOB,抛物线 y=x2xm p-2p-m （m、p 为常数且 m+22p0）经过 A、C 两点（1）用 m、p 分别表示 OA、OC 的长；y （2）当 m、p 满意什么关系时,AOB 的面积最大20.1 令 y 0 得：（x 2 x m p 2 p m 0整理得：（x p x m 2 p 0x 1 p x 2 m 2 pm 2 2 p 0 m 2 p p

2、 0 C OA m 2 p OC P O A x 2 OC OB S AOB 1 OA OB B 21 1S AOB OA OB P m 2 p 2 21P 2 1 m 2 P2 2当 p 1 22 m 1 2 12 m 2 时,S AO B最大 .208 湖北荆州 如图,等腰直角三角形纸片 ABC 中,ACBC4, ACB 90o,直角边 AC在 x 轴上, B 点在其次象限, A（1,0）,AB 交 y 轴于 E,将纸片过 E 点折叠使 BE 与EA 所在直线重合, 得到折痕 EF（F 在 x 轴上）,再绽开仍原沿 EF 剪开得到四边形 BCFE,然后把四边形 BCFE 从 E 点开头沿射

3、线 EA 平移,至 B 点到达 A 点停止 .设平移时间为 t（s）,移动速度为每秒 1 个单位长度,平移中四边形 BCFE 与 AEF 重叠的面积为 S. （1）求折痕 EF 的长；（2）是否存在某一时刻 t 使平移中直角顶点 C 经过抛物线 y x 24 x 3 的顶点？如存在,求出 t 值；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）直接写出S 与 t 的函数关系式及自变量t 的取值范畴 . B B1F O y E1A x 第 1 页,共 18 页25. 1（）折叠后BE与EA 所在直线重合FEEAC C1E 又RtABC 中ACBCCAB45EFEA（ ,）A 1 0F1OAOE1,AE

4、2折痕EF2（ ）存在 . 设CP BA 交 Y轴于 P,就POC为等腰直角三角形,直角顶点C在射线CP 上移动AC4,OA1OCOP3C（3 0,）,（P0, ）3可求得 PC所在直线解析式为：y=-x-3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 2 页,共 18 页直角顶点C从（3 0,）位置移动到（2, ）时,水平移动距离为 12（3） （长度单位）1直角顶点C从开头到经过此抛物线顶点移动的时间t12 2抛物线 :y=x24x3x2212抛物线的顶点为（2, ）代x2 入yx3 得y1.点（2, ）在直线CP 上即直角顶

5、点C在移动中经过此抛物线的顶点四边形BCFE沿射线EA 移动速度为每秒一个单位长度,BAC45直角顶点BCFE 向水平方向移动速度为1 cos452 长度单位/秒）21t22 0t221 2t2 23 s1t22 t12 2t3 241t22 2 t83 2t4 24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载08 湖北襄樊 如图 ,四边形 OABC 是矩形 ,OA=4,OC=8, 将矩形 OABC 沿直线 AC 折叠 ,使点 B 落在 D 处,AD 交 OC 于 E. 1 求 OE 的长 ; 2 求过 O、D、 C三点抛物线的解析式 ;3 如

6、 F 为过 O、D、C三点抛物线的顶点 , 一动点 P 从 A 点动身 , 沿射线 AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动 ,当运动时间 t 秒 为何值时 , 直线 PF 把 FAC分成面积之比为 1:3 的两部分 .解：（ 1）四边形 OABC 为矩形, CDE= AOE=90 , OA=BC=CD 又 CED= OEA , CDE AOE OE=DE. 2 2 2OE OA AD DE ,解得 OE 3.3 （2）EC=83=5. 如图 4,过点 D作 DGEC于 G, DGE CDE DE DG, DE EG. DG 12, EG 9D 24 12, EC CD EC DE 5 5 5 5

7、2O 点为坐标原点,故设过 O、C、D三点抛物线的解析式为 y ax bx. 64 a 8 b 0 解得 a= 5,32 245 2a 245 b 125 . b4. 5y 5x 2 5x . 7（ 分）32 4（3）由于抛物线的对称轴为 x=4,其顶点坐标为（4,）5 .2设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ,就 8 k b 0,解得 k 12,y 1x 4. 9 b 4（ 分）b 4 2设直线 EP 交直线 AC 于 H（m,1 m 4）,过 H 作 HM OA 于 M. 2 AMH AOC. HM ：OC=AH ：AC. S FAH：S FHC 13：或 ：,AH：HC=1：3或3：

8、1名师归纳总结 HM：OCAH：AC14：或 ：第 3 页,共 18 页HM=2 或 6,即 m=2 或 6 直线FH1解析式为y11x17 . 当2y4 时, x=18.114直线FH2 的解析式为y7x19 . 当2y4 时, x=54.74当t18秒或54秒时,直线 FP把FAC分成117面积比为 1：3的两部分； .（ 12分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 08 年湖北省武汉 如图 1,抛物线yax2学习必备欢迎下载3 axb 经过 A（ 1,0）,C（3,2）两点,与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于另一点B；求此抛物线的解析式；如直线y

9、kx1 k0将四边形 ABCD面积二等分,求k的值；180 后得MNQ（点 M,N,如图 2,过点 E（1, 1）作 EF x 轴于点 F,将 AEF绕平面内某点旋转Q分别与点 A,E,F 对应）,使点 M,N在抛物线上,求点M,N的坐标y12 x3x2；y22C x k 4；3 M（3,2）,N（1,3）D B A O 图 1 yD A O F B xE 图 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 08 湖南湘西 已知抛物线y2x22学习必备欢迎下载k与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B

10、 在 x 轴的3正半轴上, C 点在 y 轴的正半轴上,线段OB、OC 的长（OBOC）是方程x210x160的两个根 . （1）求 A、B 、C 三点的坐标；（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；（3）连 AC、BC,如点 E 是线段 AB 上的一个动点（与A、B 不重合）,过 E 作 EF AC 交 BC 于 F,连CE,设 AE m, CEF 的面积为 S,求 S与 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范畴 . （4）在（ 3）的基础上说明 S 是否存在最大值,并求出此时点 E 的坐标,判定此时BCE 的外形；如不存在,请说明理由 . （1）方程 x 2 10

11、 x 16 0 的两根为 x 1 8,x 2 2OB=2,OC=8 名师归纳总结 B（ 2,0）C（0,8）m 8第 5 页,共 18 页函数y2x22k 的对称轴为x23A（6,0）即 A（6, 0）B（2,0） C（0,8）（2） B 点在y2x2 2k上30222 2k3k323函数解析式为y2x223233顶点坐标为32 2,3,大致图象及顶点坐标如右（3） AE=m,AB=8,BE8mOC=8, OA=6,据勾股定理得AC10AC EF, ACAB即1088m,EF584EFBEEF4m过 F 作 FGAB 于 GsinCABsinFEB45而sinFEBFG,FG8mEFS=SCE

12、BSFEB=1BEOC1BEFG1m2222S与 m 的函数关系式为S1m24 m,m 的取值为0m2（4）S1m 24m中10,S 有最大值22S1 m428, 当 m=4 时, S有最大值为8 2E 点坐标为： E（2 ,0）B（ 2,0）, E（2 -,0）CE=CB BCE 为等腰三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ax2 21图像的顶点为P,与 x 轴交点08 江苏淮安 如下列图,在平面直角坐标系中,二次函数y为 A 、B,与 y 轴交点为 C,连结 BP 并延长交 y 轴于点 D；（1）写出点 P 的坐标；（2）连结 A

13、P ,假如APB 为等腰直角三角形,求 a 的值及点 C、D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下,连结 BC、AC、AD ,点 E（0,b）在线段 CD（端点 C、D 除外）上,将BCD绕点 E 逆时针方向旋转 90 0,得到一个新三角形；设该三角形与ACD 重叠部分的面积为 S,依据不怜悯况,分别用含 b 的代数式表示 S,挑选其中一种情形给出解答过程,其它情形直接写出结果；判定当 b 为何值时,重叠部分的面积最大？写出最大值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载08 辽宁沈阳 如下列图, 在平面直

14、角坐标系中,矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴上, 边 OC 在 y 轴的正半轴上, 且 AB 1,OB 3,矩形 ABOC 绕点 O按顺时针方向旋转 60 后得到矩形 EFOD 点 A 的对应点为点 E ,点 B 的对应点为点 F ,点 C 的对应点为点 D ,y 2抛物线 y ax bx c过点 A, ,DE （1）判定点 E 是否在 y 轴上,并说明理由；F （2）求抛物线的函数表达式；A C D （3）在 x 轴的上方是否存在点平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的 2 倍,且点 P 在抛物线上,如存在,P ,点 Q ,使以点 O, , ,Q 为顶点的B O x 恳求出点

15、 P ,点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由解：（ 1）点 E 在 y 轴上 ,理由如下：名师归纳总结 连接 AO ,如下列图,在RtABO中,AB1,BO3,AO22第 7 页,共 18 页sinAOB1,AOB302由题意可知：AOE点 B 在 x 轴上,60 BOE点 E 在 y 轴上AOBAOE306090（2）过点 D 作 DMx 轴于点 MOD1,DOM30在 RtDOM中,DM1,OM3y 22点 D 在第一象限,2点 D 的坐标为3 1,2 2A F E D 由（ 1）知EOAO,点 E 在 y 轴的正半轴上C 点 E 的坐标为 0 2点 A的坐标为31B O M x 抛物线y

16、ax2bxc 经过点 E ,c2由题意,将A 31, ,D3 1,2 2代入yax2bx2中得3a3 b21a 89解得 所求抛物线表达式为：b 5 39P ,点 Q 理由如下：y8x25 3x23a3b2199422（3）存在符合条件的点矩形 ABOC 的面积AB BO3以 O, , ,Q为顶点的平行四边形面积为2 3 由题意可知 OB 为此平行四边形一边,又OB3OB边上的高为2 依题意设点 P 的坐标为 m,2点 P 在抛物线y8x25 3x2上82 m5 3m29999解得,m 10,m 25 3P 1 0 2 , ,P 25 3 2 88以 O, , ,Q为顶点的四边形是平行四边形,

17、PQOB,PQOB3,当点1P 的坐标为 0 2, 时,点 Q 的坐标分别为Q 13 2, ,Q 2 3 2, ；当点P 的坐标为5 3 2, 时,点 Q 的坐标分别为8Q 313 3 2, ,8Q43 3 2, 8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 08 内蒙包头 已知直线ykx1经过点M学习必备欢迎下载,交 y 轴于点 H,交 x 轴于点 F. ,2和点N ,2（1）求 d 的值；（2）将直线 MN 绕点 M 顺时针旋转45 得到直线ME ,点Q3,e 在直线 ME 上,证明ME x 轴；试求过 M、N、Q 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条

18、件下,连接 NQ,作NMQ 的高 NB,点 A 为 MN 上的一个动点,如 BA 将 NMQ 的面积分为 12 两部分,且射线 BA 交过 M、N、Q 三点的抛物线于点 C,试求点 C 的坐标 . y O x 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 08 四川成都 如图,在平面直角坐标系学习必备欢迎下载10, 0）,顶点 B 在第一象限xOy 中, OAB 的顶点的坐标为（内,且 AB =3 5 ,sinOAB= 5. 5（1）如点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点,求经过O、C、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在

19、 1中,抛物线上是否存在一点P,使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形？如存在,求出点P的坐标；如不存在,请说明理由；（3）如将点 O、点 A 分别变换为点 Q（ -2k ,0）、点 R（5k,0）（k1 的常数）,设过 Q、R 两点,且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N,其顶点为 M ,记 QNM 的面积为 S QMN, QNR的面积 S QNR,求 S QMNS QNR 的值 .解：（ 1）如图,过点 B 作 BDOA于点 D. 在 Rt ABD中, AB =3 5 ,sin OAB=5 , 5 BD = AB sin OAB=3 5 5 =3. 5又由勾股定理

20、,得2 2 2 2A D A B B D 3 5 3 6 OD = OA - AD =10-6=4. 点 B在第一象限,点B 的坐标为（ 4,3）；x25 . 4设经过 O0,0 、C（4,-3 ）、 A10,0 三点的抛物线的函数表达式为 y=ax2+bxa 0. 由16aa4bb3a1, 8经过 O、C、A 三点的抛物线的函数表达式为y1100100b5. 48（2）假设在（ 1）中的抛物线上存在点P,使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形点 C（4,-3 ）不是抛物线 y 1x 2 5x 的顶点,8 4过点 C做直线 OA的平行线与抛物线交于点 P1 ；就直线 CP1的函数表达式为

21、y=-3. 对于 y 1x 2 5x ,令 y=-3 x=4 或 x=6. x 1 4, x 2 6,而点 C（ 4,-3 ）, P16,-3. 8 4 y 1 3; y 2 3.在四边形 P1AOC中, CP1 OA,明显CP1 OA . 点 P1（6,-3 ）是符合要求的点；如 AP2 CO；设直线 CO的函数表达式为 y k x 1.将点 C（4,-3 ）代入,得 4 k 1 3. k 1 3.4直线 CO的函数表达式为 y 3 . 于是可设直线 AP2的函数表达式为 y 3x b 1 .4 4将点 A（10,0）代入,得 3x 15.直线 AP2的函数表达式为 y 3x 15.4 2

22、4 2y 3x 15 .由 4 2 x 24 x 60 0,即（ x-10 ）（x+6）=0. 1 2 5y x x8 4x 1 10, x 2 6y 1 0; y 2 12;而点 A（10,0）, P2（-6 ,12）；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 过点 P2作 P2Ex 轴于点 E,就学习必备欢迎下载P2E =12. 在 Rt AP2E中,由勾股定理,得AP 2P E 22AE212216220.而 CO = OB =5. 在四边形P2OCA中, AP2 CO,但 AP2 CO . 点 P2（-6 ,12）

23、是符合要求的点；如 OP3 CA,设直线 CA的函数表达式为y=k2x+b2y1x5.直线 OP3的函数表达式为y1x将点 A10,0 、 C4,-3代入,得10 k 2b 20k 21 2,直线 CA的函数表达式为4 k2b 23b 2225.由y1x5x2 x14x0,即 xx-14=0.x 10,x 214,而点 O0,0, P3（14,7）；2y12 xy 10;y 27.84过点 P3作 P3Ex 轴于点 E,就P3E =7. 在 Rt OP3E中,由勾股定理,得2 2 2 2OP 3 P F OF 7 14 7 5. 而 CA = AB =3 5 . 在四边形 P3OCA中, OP

24、3 CA,但 OP3 CA . 点 P3（14,7）是符合要求的点；综上可知,在（1）中的抛物线上存在点 P16,-3、P2-6,12、 P314,7, 使以 P、O、 C、A 为顶点的四边形为梯形；（3）由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下；名师归纳总结 当抛物线开口向上时,就此抛物线与y 轴的副半轴交与点N；49ak2,2.第 10 页,共 18 页可设抛物线的函数表达式为ya x2 x5 （a 0）；即yax23 akx10ak2a x3k249ak2.24如图,过点M作 MGx 轴于点 G. Q（ -2k ,0）、R（5k,0）、G3k,0、N0, -10ak2 、 M3k,224

25、49 4akQO2 , k QR7 , k OG3k,QG7k ON10ak2,MG22SQNR1QR ON17k10ak235ak3.221QOON1ONGMOG1QGGM22249ak212k10ak2110ak249ak23k17k224222412915349749ak3.288SQNM:SQNR21ak3 : 35ak33: 20.N,4y 轴的正半轴交于点当抛物线开口向下时,就此抛物线与同理,可得SQNM:SQNR3: 20.综上所知,SQNM:SQNR的值为 3：20. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

26、- -学习必备欢迎下载08 四川泸州 如图,已知二次函数yax2bxc 的图像经过三点A1,0,B 3,0 ,C 0,3 ,它的顶点为 M ,又正比例函数ykx 的图像于二次函数相交于两点D、E,且 P 是线段 DE 的中点；求该二次函数的解析式,并求函数顶点M 的坐标；已知点E 2,3 ,且二次函数的函数值大于正比例函数时,试依据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范畴；当 0k2时,求四边形PCMB 的面积 s 的最小值；【参考公式：已知两点Dx y 1,Ex 2,y 2,就线段 DE 的中点坐标为x 12x 2,y 12y2】（1）由ybax2bxc ,就得1yMac0a9 a3 bc

27、0,解得b2CEc3c3故函数解析式是：yx22x3；由yx22x3x124 知,AOPBx点 M （1,4）；（2）由点 E 2,3 在正比例函数ykx 的图像上得,32 ,得k3,故y3x ,D22由y3x2x3解得 D 点坐标为（3,9）,2y2 x24由图象可知,当二次函数的函数值大于正比例函数时,自变量x 的取值范畴是3x2；2（3）ykx22x3yx解得,点 D、 E 坐标为 D（2kk24k16 2 ,kk24 k16k）、22E（2kk24 k16 2 ,kk24k16k）,22就点 P 坐标为 P（22k,22k k ）由 0k2,知点 P 在第一象限；由点 B 3,0 ,C

28、 0,3 ,M （1,4）,得S四边形COBM13412415,就222S 四边形PCMB15SOPCSOPB151322k1322kk212 222整理,配方得S 四边形PCMB3k93；4216故当k1时,四边形PCMB 的面积值最小,最小值是93；216第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载08 云南双柏 已知：抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点B 在 x 轴的正半轴上, 点 C 在 y 轴的正半轴上, 线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程 x 210x160 的两个根,且抛物线

29、的对称轴是直线 x 2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求 ABC 的面积；A、点 B （4）如点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 不重合）,过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m, CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范畴；（5）在（ 4）的基础上试说明 S 是否存在最大值,如存在,恳求出 S的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判定此时 BCE 的外形；如不存在,请说明理由2 10x160 得 x12,x28 解：（1）解方程 x点 B 在 x 轴的正半轴上,点C 在 y

30、 轴的正半轴上,且OBOC点 B 的坐标为（ 2,0）,点 C 的坐标为（ 0,8）又抛物线 y ax 2bxc 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（ 6, 0）A、B、C 三点的坐标分别是A（ 6,0）、 B（ 2,0）、 C（0,8）（2）点 C（0,8）在抛物线yax2bxc 的图象上28 3x8c8,将 A（ 6, 0）、B（2,0）代入表达式yax2bx8,得036a6b8解得a2所求抛物线的表达式为y2 3x304a2b8b83（3） AB8,OC8S ABC 1 288=32 （4）依题意, AEm,就 BE8 m,OA6,OC8,AC10 EF AC

31、BEF BACEF ACBE 即EF 108mEF 405m4过点 F 作 FGAB,垂足为 G,就 sinFEGsin CAB45FG EF4FG4 540 5m48mSS BCE S BFE1 2（8m）81 2（8m）（8m）1 2（8 m）（88m） 1 2（8m）m 1 2m 24m自变量 m 的取值范畴是 0m8（5）存在理由：S1 2m 24m 1 2（m4）2 8 且1 20,当 m 4 时, S 有最大值, S最大值 8 m4,点 E 的坐标为（ 2,0） BCE为等腰三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - -

32、 - - - 学习必备 欢迎下载 08 浙江丽水 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A 坐标为（ 2,4）,直线 x 2 与 x 轴相交于点 B ,连2结 OA,抛物线 y x 从点 O 沿 OA方向平移,与直线 x 2 交于点 P ,顶点 M 到 A点时停止移动（1）求线段 OA 所在直线的函数解析式；y（2）设抛物线顶点 M 的横坐标为 m , 用 m 的代数式表示点 P 的坐标；A 当 m 为何值时,线段 PB 最短；（3）当线段 PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点 Q ,使 QMA P 的面积与PMA的面积相等,如存在,恳求出点 Q 的坐标；如 M 不存在,请说明理由解：（1）设

33、OA所在直线的函数解析式为 y kx, A （2,4）,2k 4 , k 2 , B OA所在直线的函数解析式为 y 2 x. O x 2 x（2）顶点 M 的横坐标为 m ,且在线段 OA上移动,y 2 m（0 m 2）. 顶点 M 的坐标为 m , 2m . 抛物线函数解析式为 y x m 22 m .当 x 2 时,y 2 m 22 m m 22 m 4（ 0 m 2）.点 P 的坐标是（ 2,m 22 m 4）.2 2 PB = m 2 m 4 = m 1 3, 又 0 m 2,当 m 1 时, PB最短 . 2（3）当线段 PB 最短时,此时抛物线的解析式为 y x 1 2 .假设在

34、抛物线上存在点 Q ,使 S QMA S PMA . 设点 Q 的坐标为（ x ,x 22 x 3） . 当点 Q 落在直线 OA的下方时,过P 作直线 PC / AO ,交 y 轴于点 C ,PB3,AB4,E yM A D xAP 1,OC 1, C 点的坐标是（ 0,1）. 点P的坐标是（ 2,3）,直线 PC 的函数解析式为y2x1 .SQMASPM A,点 Q 落在直线y2x1上. P x22x3=2x1. 解得x 12,x 22,即点 Q （2, 3）. 点 Q 与点 P 重合 . 此时抛物线上不存在点Q ,使 QMA 与APM 的面积相等 . O C xB 当点 Q 落在直线 OA的上方时,作点 P 关于点 A 的对称称点 D ,过 D 作直线 DE / AO ,交 y 轴于点 E ,2AP 1,EOD A直线 DE 函数解析式为1, E 、 D 的坐标分别是（2x 1 .0,1）,（2,5）,ySQMASPM A,