2022年南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试卷.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 南京市、盐城市留意事项：2022 届高三年级其次次模拟考试数学2022031本试卷共 4 页,包括填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟2答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试终止后,交回答题卡一、填空题：本大题共 14 小题,每道题 5 分,共 70 分请把答案填写在答 题卡相应位置 上1函数 fxln 1x的定义域为 12如复数 z 满意 z1i2i（ i 是虚数单位） , z 是 z 的共轭复数,就 z

2、z 3某校有三个爱好小组,甲、乙两名同学每人挑选其中一个参与,且每人参与每个爱好小组的可能性相同,就甲、乙不在同一爱好小组的概率为4下表是关于青年观众的性别与是否喜爱戏剧的调查数据,人数如表所示：男性青年观众不喜爱戏剧喜爱戏剧40 10 女性青年观众40 60 现要在全部参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研,如在“ 不喜爱戏名师归纳总结 剧的男性青年观众” 的人中抽取了8 人,就 n 的值为第 1 页,共 15 页5依据如下列图的伪代码,输出S 的值为S1I1 6记公比为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn如 a1 1,S45S20,While I 8 SSI就 S

3、5 的值为II 2 7将函数 fx sinx 的图象向右平移 3个单位后得到函数ygx的图象,End While Print S就函数 yfxgx的最大值为（第 5 题图）8在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y2 6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A为垂足如直线AF 的斜率 k3,就线段 PF 的长为数学试卷第 1 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9如 sin 63 5, 0, 2,就 cos 的值为10 , 为两个不同的平面,m, n 为两条不同的直线,以下命题中正确选项（填上所有正确命题的序号） 如 ,m

4、 ,就 m ；如 m ,n,就 m n；如 ,n,mn,就 m；如 n,n, m ,就 m11在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1：kxy20 与直线 l 2：x ky20 相交于点 P,就当实数 k 变化时,点 P 到直线 xy4 0 的距离的最大值为12如函数 fxx 2mcosxm23m8 有唯独零点, 就满意条件的实数 m 组成的集合为13已知平面对量AC1,2, BD2, 2,就 AB .CD 的最小值为14已知函数 fxlnxeaxb,其中 e 为自然对数的底数如不等式 fx0 恒成立,就b a的最小值为二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内 作答,

5、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）D C A 如图,在ABC 中, D 为边 BC 上一点, AD6,BD3,DC 2（1）如 ADBC,求 BAC 的大小；A（2）如 ABC 4,求 ADC 的面积BDCB 数学试卷（第 15 题图 1）（第 15 题图 2）第 2 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16（本小题满分 14 分）如图,四棱锥PABCD 中, AD平面 PAB, APABDCB（1）求证： CD AP；（2）如 CD PD,求证： CD 平面 PAB；

6、AP（第 16 题图）17（本小题满分 14 分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒（如图）设小正方形边长为 x 厘米,矩形纸板的两边 AB,BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 ab（1）当 a 90 时,求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定 a,b, x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值D CA B（第 17 题图）数学试卷 第 3 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - -

7、- - - - - 18（本小题满分 16 分）2 2如图,在平面直角坐标系 xOy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C：x 8y 21 经过点 b, 2e,其中 e为椭圆 C 的离心率过点 T1,0作斜率为 kk 0的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点 A 在 x 轴下方 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆C 于点 M, N,求ATMN BT2的值；y M B （3）记直线 l 与 y 轴的交点为P如 AP2 5 TB,求直线 l 的斜率 kO T x P 19（本小题满分16 分）aRN A （第 18 题图）已知函数 f x ex ax1,其中 e

8、为自然对数的底数,（1）如 a e,函数 g x2ex求函数 hxf xg x的单调区间；如函数 Fxf x,xm,g x,xm的值域为 R,求实数 m 的取值范畴；（2）如存在实数 x1, x2 0,2,使得 fx1fx2,且 | x1x2| 1,求证： e 1ae2e20（本小题满分 16 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,数列 bn , cn 满意 n1 bnan 1Sn n,n2 cn an1an22Sn n,其中 n N* （1）如数列 an 是公差为 2 的等差数列,求数列 cn 的通项公式；（2）如存在实数 ,使得对一切 nN* ,有 bncn,求证：数列 an 是等差

9、数列数学试卷 第 4 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 南京市、盐城市留意事项：1附加题供选修物理的考生使用2022 届高三年级其次次模拟考试 数学附加题 2022032本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟3答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试终止后,交回答题卡21【选做题】在A 、B、C、D 四小题中只能选做2 题,每道题10 分,共计 20 分请在答卷卡指 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4 1：几何证明选讲如图,ABC

10、 的顶点 A,C 在圆 O 上, B 在圆外,线段AB 与圆 O 交于点 M（1）如 BC 是圆 O 的切线,且AB 8,BC4,求线段 AM 的长度；（2）如线段 BC 与圆 O 交于另一点 N,且 AB2AC,求证： BN 2MN C A O C B A O N B M M （第 21A 图）B选修 4 2：矩阵与变换设 a,bR如直线 l：axy70 在矩阵 A= 3 0对应的变换作用下,得到的直线为l：1 b9x y910求实数 a,b 的值C选修 4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线 l：x13 5t,t 为参数 ,与曲线 C：x4k2,k 为参数 交y4 5ty

11、4k于 A, B 两点,求线段AB 的长数学试卷第 5 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - D选修 4 5：不等式选讲设 a b,求证： a46a2b 2 b4 4aba2b2【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）如图,在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,底面四边形 ABCD 为菱形, A1AAB 2,ABC 3,E, F 分别是 BC,A1C 的中点（1）求异面直线 EF

12、, AD 所成角的余弦值；（2）点 M 在线段 A1D 上,A1M A1D 如 CM 平面 AEF,求实数 的值A1 D1B1 C1FMA DB E C（第 22 题图）23（本小题满分 10 分）现有nn 12（n2,nN* ）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* 第 1 行* * 第 2 行* * * 第 3 行 * * * * 第 n 行设 M k 是第 k 行中的最大数,其中（1）求 p2的值；2（2）证明： pnC n1n1.1 kn,k N* 记 M 1M 2 M n的概率为 pn数学试卷 第 6 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,

13、共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 南京市、盐城市2022 届高三年级其次次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共 14 小题,每道题 5 分,计 70 分.）21, 1 2 2 33 430 517 631 4 3373 8 6 910 10 113 2 122 139 4 141 e二、解答题（本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）15（本小题满分 14 分）解：（1）设 BAD , DAC 由于 ADBC,AD 6,BD3,DC2,所以 tan1 2,tan 1 3,211 2 分所以 tanBAC tanta

14、n tan1tantan 4 分12 1又 BAC 0,所以 BAC 4 6 分（2）设 BAD 在 ABD 中, ABC 4,AD6,BD3由正弦定理得sin AD4BD sin, 解得 sin42 8 分由于 ADBD,所以 为锐角,从而 cos1 sin24 14 10 分因此 sinADC sin 4sincos 4cossin2 2424 14 14 7 12 分 ADC 的面积 S1 2 AD DC sinADC 1 2 6 2 14 73 217 14 分数学试卷 第 7 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - -

15、 - - - - - 16（本小题满分 14 分）证明：（1）由于 AD平面 PAB,AP. 平面 PAB,所以 ADAP 2 分又由于 APAB ,ABADA, AB. 平面 ABCD ,AD. 平面 ABCD ,所以 AP平面 ABCD 4 分由于 CD. 平面 ABCD ,所以 CDAP 6 分（2）由于 CD AP,CDPD,且 PD APP,PD. 平面 PAD,AP. 平面 PAD,所以 CD平面 PAD 8 分由于 AD平面 PAB,AB. 平面 PAB,所以 ABAD又由于 APAB,APADA,AP. 平面 PAD,AD. 平面 PAD,所以 AB平面 PAD 10 分由得

16、CD AB, 12 分由于 CD / 平面 PAB,AB. 平面 PAB,所以 CD 平面 PAB 14 分17（本小题满分 14 分）解：（1）由于矩形纸板 ABCD 的面积为 3600,故当 a90 时, b40,从而包装盒子的侧面积S2 x902x2 x402x 8x2260x,x0,20 3 分由于 S 8x2260x 8x65 4 24225, 6 分故当 x65 4时,侧面积最大,最大值为4225平方厘米2答：当 x65 4时,纸盒的侧面积的最大值为4225平方厘米2（2）包装盒子的体积Va2xb2x xxab2abx 4x2, x0,b 2,b60 8 分Vxab2abx4x2x

17、ab4 abx4x2 x3600240x4x2 名师归纳总结 数学试卷第 8 页 共 15 页第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4x3240x23600x 10 分当且仅当 a b60 时等号成立设 f x4x3240x23600x,x 0,30就 f x12x10x30于是当 0x10 时, f x0,所以 f x在0,10上单调递增；当 10x30 时, f x0,所以 f x在10,30上单调递减因此当 x10 时, f x有最大值 f 10 16000, 12 分此时 ab60,x10答：当 ab60, x10 时纸盒的

18、体积最大,最大值为 16000 立方厘米 14 分18（本小题满分 16 分）解：（1）由于椭圆 x2 8y2 b21 经过点 b, 2e,所以 b2 8 4e2 b2 1由于 e2c2 a 2c2 8,所以 b2 8 c2 21由于 a2b2c2,所以 b 88b2 21 2 分整理得 b412b2320,解得 b24 或 b28舍 2 2所以椭圆 C 的方程为x 8y 41 4 分（2）设 Ax1,y1,Bx2,y2由于 T1,0,就直线 l 的方程为 ykx 1名师归纳总结 联立直线 l 与椭圆方程ykx1,x 8y 241,2 6 分第 9 页,共 15 页消去 y,得2k21x24k

19、2x2k28 0,所以x1x24k2 2k21,x1x22k28 2k 21由于 MN l,所以直线MN 方程为 ykx, 8 分联立直线 MN 与椭圆方程y kx,x 8y 241,2消去 y 得 2k21x28,解得 x28 2k 21由于 MN l,所以ATBT 21x1xMxN x212MN数学试卷第 9 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 1 x1 x21 x1x2x1 x21 2k21 ,7xMxN24x232 2k 2 1,2k7 212k2 1 327 32 10 分所以ATMNBT 21x1xMxN x212（3）

20、在 ykx1中,令 x0,就 y k,所以 P0, k,从而APx1,ky1,TBx21,y212 分14 分16 分由于AP2 5 TB,所以 x12 5x21,即 x12 5x22 5 由2知,x1x24k 2 2k 21,x1x22k28 2k 21由x1x24k 2 2k 21,解得x14k2 2 32k 21,x216k22 32k 21 x12 5x22,由于 x1x 22k 28 2k 21, 所以4k22 32k 2132k 16k 22 21 2k 2k 2821,整理得50k483k2340,解得 k2 2 或 k217 50 舍 又由于 k0,所以 k2 19（本小题满分

21、16 分）解：（1）当 ae 时, f xexex1 h xf xg xe x2x1,h xe x2由 h x 0 得 x ln2,由 h x0 得 xln2所以函数 hx的单调增区间为ln2, ,单调减区间为, ln23 分 f xexe当 x1 时, f x0,所以 f x在区间 , 1上单调递减；当 x1 时, f x0,所以 fx在区间 1, 上单调递增1 当 m1 时, f x在, m上单调递减,值域为emem1, ,gx2ex 在m, 上单调递减,值域为由于 Fx的值域为 R,所以 e mem12em,即 em2m10（*）, 2em,名师归纳总结 数学试卷第 10 页 共 15

22、页第 10 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由可知当 m 0 时, hmem2m1h0 0,故（ *）不成立由于 hm在 0, ln2上单调递减,在 ln2,1上单调递增,且 h00, h1 e30,所以当 0m1 时, hm0 恒成立,因此 0m1 6 分2 当 m1 时, f x在, 1上单调递减,在 1,m上单调递增,所以函数 f x ex ex1 在, m上的值域为 f 1 , ,即 1, gx 2ex 在 m, 上单调递减,值域为 , 2em由于 Fx的值域为 R,所以 12em,即 1me21综合 1,2可知,实数 m 的

23、取值范畴是 0,e21 9 分（2）f xexa如 a0 时, f x0,此时 fx在 R 上单调递增由 fx1fx2可得 x1x2,与 |x1x2|1 相冲突,所以 a0,且 fx在, lna 单调递减,在 ln a, 上单调递增 11 分如 x1,x2, lna,就由 f x1f x2可得 x1x2,与 |x1x2| 1 相冲突,同样不能有 x1,x2ln a, 不妨设 0x1x 22,就有 0x1lnax22由于 fx在x1,lna上单调递减,在lna,x2上单调递增,且f x1f x2,所以当 x1xx2时, f xf x1f x2由 0x1x22,且 |x1x2|1,可得 1x1,x

24、2,故 f 1f x1 f x2 14 分又 f x在, ln a单调递减,且0 x1lna,所以 f x1f 0,所以 f 1 f 0,同理 f 1f 2即ea10,ea1e22a2,解得 e1ae2e1, 16 分所以 e1a e2 e20（本小题满分16 分）解：（1）由于 an 是公差为 2 的等差数列,名师归纳总结 所以 ana12n 1,Sn na1n 1, 2 分第 11 页,共 15 页从而 n2 cna12na12n1 a1n1n 2,即 cn1 4 分2数学试卷第 11 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由 n

25、1bnan 1Sn n,得 nn1 bn nan1Sn,n1n2 bn1n1an2Sn1,两式相减,并化简得an 2an1n2 bn 1nbn 6 分9 分11 分14 分16 分从而 n2 cn an1 an2Sn n an1an2an1n1 bn 2an2an 1 2n1 bnn2 bn1nbn 2n1 bn1 2n2 bnbn1因此 cn1 2 bnbn1 由于对一切nN* ,有 bn cn,所以 cn1 2bnbn1,故 bn,cn 所以 n1 an1Sn n,n21 2an1 an2Sn n,得1 2an2an1,即 an 2an1 2故 an1 an2 n2 又 2a2S1 1a2

26、a1,就 an1an2 n1所以数列 an 是等差数列 数学试卷第 12 页 共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 南京市、盐城市2022 届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A 、B、C、D 四小题中只能选做2 题,每道题10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4 1：几何证明选讲解：（1）由于 BC 是圆 O 的切线,故由切割线定理得BC2BMBA 2 分设 AM t,由于 AB8, BC4,所以 4288t,解得 t

27、6 ,即线段 AM 的长度为 6 4 分（2）由于四边形 AMNC 为圆内接四边形,所以A MNB 6 分又 B B,所以BMN BCA, 8 分所以BN BAMN CA由于 AB2AC,所以 BN 2MN 10 分B选修 4 2：矩阵与变换解：（方法一） 在直线 l：axy70 取点 A0,7,B1,7a由于 3 0 0 0 7b, 3 0 1 3, 4 分 1 b 71 b 7 ab7a1所以 A0,7, B1,7a在矩阵 A 对应的变换作用下分别得到点A0,7b,B3,b7a18 分 10 分 Qx,y4 分由题意,知A,B在直线 l： 9xy910 上,所以7b910, 27b7a19

28、10解得 a2,b13 （方法二） 设直线 l 上任意一点Px,y,点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点由于 3 0xxy,所以x 3x, 1 byy xby又由于点 Qx,y在直线 l上,所以 9xy910即 27xxby910,也即 26xby910,又点 Px,y在直线 l 上,所以有axy 70 8 分所以26 a b 1917,解得 a2,b 13 10 分C选修 4 4：坐标系与参数方程名师归纳总结 数学试卷第 13 页 共 15 页第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（方法一） 直线 l 的参数方程化为一

29、般方程得 4x3y4,将曲线 C 的参数方程化为一般方程得 y24x 4 分1联立方程组 4x 3y4,y 24x,解得 x4,y4 或xy 14,所以 A4,4, B1 4, 1 8 分所以 AB414 241225 4 10 分（方法二） 将曲线 C 的参数方程化为一般方程得 y24x 2 分直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的方程得 4 5t2 413 5t,即 4t215t250,所以 t1t215 4,t1t2 25 4 6 分所以 AB|t1t 2|t1t 224t1t2 15 4 22525 4 10 分D选修 4 5：不等式选讲证明：a46a2b2b44aba2b2a2b22

30、4aba2b24a2b25 分a2b22ab2ab4 由于 a b,所以 ab4 0,所以 a46a2b2b44aba2b2 10 分【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤名师归纳总结 22（本小题满分10 分）D1y第 14 页,共 15 页解： 由于四棱柱ABCD A1B1C1D1 为直四棱柱,所以A1A平面 ABCD 又 AE平面 ABCD ,AD平面 ABCD ,所以 A1A AE,A1AAD在菱形 ABCD 中 ABC 3,就 ABC 是等边三角形z A1由于 E 是 BC 中点,所以BCA

31、ED由于 BC AD,所以 AE ADB1C1以AE ,AD ,AA1 为正交基底建立空间直角坐标系FMA就 A0,0,0,C3,1,0,D0,2,0,A10,0, 2, E3,0,0,F2,1 2,1BExC第 22 题图 数学试卷第 14 页 共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）AD 0,2,0,EF 3,1 2, 1,所以 AD EF 12从而 cosAD ,EF |AD | | AD EFEF |2 4 4 分故异面直线EF,AD 所成角的余弦值为24（2）设 Mx,y,z,由于点 M 在线段 A1D 上,且A1M A1D, 6

32、 分就 A1M A1D,即 x,y,z20, 2, 2就 M0,2,22, CM3, 21, 22设平面 AEF 的法向量为n x0,y0,z0由于 AE 3,0,0,AF 2,1 2,1,由 nAE 0,nAF 0,得 x00,1 2y0z00取 y02,就 z0 1,就平面 AEF 的一个法向量为n0,2, 1 8 分10 分3 分5 分由于 CM 平面 AEF,就 nCM 0,即 221 220,解得 2 3 23（本小题满分10 分）解：（1）由题意知p22A2 22 3, 即 p2 的值为2 3 A3 3（2）先排第 n 行,就最大数在第n 行的概率为nnn 12； n12去掉第 n 行已经排好的n 个数,就余下的nn1nnn12 2个数中最大数在第n1 行的概率为n2 n；nn12名师归纳总结 故 pn22 n 2 32n12n 7 分第 15 页,共 15 页n1