2022年大学高数公式大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高等数学公式导数公式：tgxsec 2xarcsinx11x21x2ctgxcsc2xarccosx1secxsecxtgx1cscxcscxctgxarctgx1axaxlnax2logaxx1aarcctgx11x2ln基本积分表：三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx1tgxdxlncosxCCdxx2 secxdxtgxCCC第 1 页,共 12 页cos2ctgxdxlnsinxCcsc2xdxctgxdxsecxdxlnsecxtgxsin2xcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCa2

2、dx21 aarctgxaCCcscxctgxdxCcscxCaxxaaxdxdx1lnxlnax2a22 axashxdxCx2a2chxadx221lnaxCchxdxashxC2x2 aaxdxdxxxarcsinC2lnxx2a2aIn2sinnxdx2n cosxdxnn1In200Cx2a2dxxx2a2a2lnxx2a222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a2 u2,cos x12 u,utgx,dx2 duu12 u212 u- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载

3、一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦:shxx eexexlim x 0sinx1e2 . 7182818284 59045 .2x双曲余弦:chxe xexlim x 11xx2双曲正切:thxshxexchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差角公式：sincos函数sin cos tg ctg cos2第 2 页,共 12 页角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-

4、sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差化积公式：sincossinsinsin2sin2coscoscossinsintgtgtg1sinsin2cos2sin21tgtgcoscoscos2cos22ctgctgctgctgctgsincoscos2sin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 倍角公式：sin22sincos12sin22 cossin2sin33sin4

5、sin 3cos 222 cos1ctg2ctg21cos 343 cos33cos2 ctg3 tgtgtg3tg22 tg13 tg21tg2 半角公式：sin21cossincos21coscossin22tg21cos1cosctg21cos11cossin1cos1cossin1cos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2a2b22abcosCsinsinsin 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgxuvn高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：1 nkuvnnCkunkvkunkvk1 n2vnnnk0unvnun1 vnn1u2 .k

6、 .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fb fafFb FaF当F xx 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：名师归纳总结 弧微分公式：dss1:y2dx,其中ytg化量；s：MM弧长；第 3 页,共 12 页平均曲率：K.从M点到M点,切线斜率的倾角变s 1yy23.dM点的曲率：Klim s 0ds直线：K0 ;1 a.半径为a 的圆：K- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1ynyn1y n1y n24 y 1y 3y n1矩形法：fbabx na1

7、y0y 1梯形法：f2abfbay 0yn2 y 2y 4抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2, k 为引力系数rb函数的平均值：y 1f x dxb a ab均方根：1 f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 空间2 点的距离：dM1M2x2x12y2y 12z 2z 12第 4 页,共 12 页向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u轴的夹角；Prjua 1a2Prja1Prja2ababcosax bxayb yaz bz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2ax bxaayb y

8、bxaz bzy2bz2ay222b为锐角时,zijkcabaxayaz,cabsin.例：线速度：vwr.b xbyb zaxayaz向量的混合积：abcabcbxbybzabccos,cxcycz代表平行六面体的体积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面的方程：1、点法式：A xx 0Byy0Czz 00,其中n2A ,B ,C,M0x0,y0,z 0mt2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyz c1Ax 0By0Cz 0Dab平面外任意一点到该平面的距离：dA2B2C空间直线的方程：xx0yy0zz 0t,其中sm

9、 ,n,p ;参数方程：xx0yy0ntmnpzz0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q 同号）a2b2c22、抛物面：x22 py2z（,p,2q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x2a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdyduudxyu ydyyudzxyxz全微分的近似运算：zdzfxx ,y xfx,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,vdxvdyduudxudydvxyxy隐函数的求导公式：名师归

10、纳总结 隐函数Fx ,y0,dydxFx y2,ddxyxF xyF xdy第 5 页,共 12 页F2FyFydx隐函数Fx ,y ,z 0,zxF x,zyFyF zF z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 隐函数方程组：Fx,y ,u ,v 0J学习必备欢迎下载FF uF vF, GFu Gv GGx ,y,u ,v 0G uGv u,vuvu1F,Gv1F,GxJx ,vxJu ,x u1F,Gv1F,GyJy,v yJu ,y 微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y0,z 0 处的切线方程：xtx 0yy0zz0y,y0,z 0zz

11、00yt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z0,就切向量TFyFz,FzF x,FxFGyGzGzGxGxGyGx ,y,z0Fzx0曲面Fx ,y,z0上一点Mx 0,y0,z0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y0,z 0,Fyx0,y0,z 0,Fzx0,y 0,z02、过此点的切平面方程：Fxx 0,y0,z0xx0Fyx 0,y0,z0yy03、过此点的法线方程：Fxx,x0,z 0Fyy,y0z0Fzz,z0z 0x 0y0x0y 0,x0y0,方向导数与梯度：函数zfx ,y 在一点p x ,y 沿任一方向l的

12、方向导数为：fjf xcosjf ysinl其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx ,y 在一点p x ,y 的梯度：grad fx,y fifxysin,为l方向上的它与方向导数的关系是：flgradfx ,ye,其中ecosi单位向量；f是grad fx,y 在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：名师归纳总结 设fxx0,y02fyx0,y00,令：fxxx0,y0A,fxyx0,y0B,fyyx0,y0C第 6 页,共 12 页0 时,A0,x0,y0 为极大值ACB就：2A0,x0,y0 为微小值ACB0时,无极值ACB20 时,不确定- - - - - - -精选学习资料 - -

13、- - - - - - - 学习必备 欢迎下载重积分及其应用：fx ,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx,ydx2x ,ydDD曲面zfx ,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx,yd,yMx ,y dMx ,ydDx ,ydDy平面薄片的转动惯量：对于x 轴Ixy2,对于y轴ID0,0a ,a0 的引力：FD,Fy,Fz ,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MF xFxfx,yxd3,Fyfx,yyd3,FzfaDx2x ,yxd3y2aDx2y2a22Dx222y2a22柱面坐标和球面坐标：xrcoszdFr,z rdrddz ,si

14、ndrdvdv柱面坐标：yrsin,fx ,y,zdxdydzzzddrr2sindrdd其中：Fr,zfrcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2r,fx,y,zdxdydzFr,r2sindrdddFr,r2重心：x1xdv,y1ydv,0100Mxzdv,其中MMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z2dv,Izx2y2曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就：yxtt第 7 页,共 12 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx,ydsft,t2t2t特别情形：L- - - - - -

15、-精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐标的曲线积分）：学习必备欢迎下载设L的参数方程为x,yxt,就：,ttQt,ttdtytPx,ydxQdyPtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdyPcosQcosds,其中和分别为,应L上积分起止点处切向量LL的方向角；格林公式：DQPdxdyPdxQdy格林公式：DQPdxdyLPdxQdyxyxyL当Py,Qx,即：QP2时,得到D的面积：ADdxdy1Lxdyydxxy2平面上曲线积分与路径无关的条件：,且QP；留意奇点,如0,01、G是一个单连通区域；2、Px,y,Qx,y在G内具有一阶连续偏导数xy减去对此奇点

16、的积分,留意方向相反！ux,y的全微分,其中：二元函数的全微分求积：在QP时,PdxQdy才是二元函数xyx,yQx,ydy,通常设x0y00；ux,yPx,ydxx0,y0曲面积分：对面积的曲面积分：xyfx,y,zdsfx,y,zx,y1z2x,yz2x,ydxdycosdsxy对坐标的曲面积分：PDxyx,y,zdydzQx ,y,z dzdxRx,y,zdxdy,其中：Rx ,y ,z dxdyR x,y,zx,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；DPx ,y ,z dydzyzP xy,z,y,zdydz,取曲面的前侧时取正号；DQx,y,z dzdxzxQx,yz ,x,zdzdx,

17、取曲面的右侧时取正号；D两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosR高斯公式：名师归纳总结 PQRdvPdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds.xyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0 ,就为消逝散度：divPQR,即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA ndsPcosQcosRcosds,第 8 页,共 12 页因此,高斯公式又可写成：divA dvA nds- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQdydzPRdzdxQ xPdx

18、dyPdxQdyPRdzyzzxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：x Py Qz Rx Py Qz R空间曲线积分与路径无关的条件：RQ z,PzR x,QxyyijkPdxQdyRdzAtds旋度：rotAx Py Qz R向量场A 沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1qq2qn11qn1q等差数列：123nn1n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：莱布尼兹定理：1 时,级数收敛设：lim nnun,就1 时,级数发散1 时,不确定2、比值审敛法：设：lim nUnn1,就1 时,级数收敛1时,级

19、数发散U1 时,不确定3、定义法：存在,就收敛；否就发散；s nu1u2un;lim ns n交叉级数u 1u2u 3u 4 或u 1u 2u 3,un0 的审敛法假如交叉级数满意unuu n1,那么级数收敛且其和 0su 1,其余项rn 的确定值rnun1；lim nn确定收敛与条件收敛：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 u1u2un,其中un学习必备欢迎下载为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收

20、敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：1p 时发散n p 1 时收敛幂级数：1xx2x3n xa2x2xa1 时,收敛于11xR10对于级数3 a0a1xx1 时,发散nxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR时收敛xR时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设lim nan1xR时不定0 时,R,其中an,an1 是3 的系数,就0 时,Ran时,函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fxn1fx0xx 0fx 0xx02fnx0xx0n2.n.余项：Rnfn1 xx 0,fx可以绽开成泰勒级数的x2充要条件是

21、：lim nR n0n1 .f0f0xf0fn0xnx 00时即为麦克劳林公式：fx2.n.一些函数绽开成幂级数： 1xm1x3mxx5mm.1x21x2mm1 nmn1xn1x12.sinxx1nn1x.35 .2n1.欧拉公式：eixcosxisinx或cosxeixeix2sinxeixeix2三角级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ftA0n1A nsinntna0n1a学习必备欢迎下载nxncosnxbnsin2其中,a0aA0,an,Ansinn,bnAncosn,tx；在,2x正交性：1,sin

22、x,cosxsin2x,cossinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：fxa0n1ancosnxbnsinnx,周期2n2fxbnsinnx是奇函数21nfxcosnxdxn0,12an其中1fxsinnxdxn1,2,3bn11121111816（相加）32522232421121112241（相减）122242622232420,bn2正弦级数：afxsinnxdx1,2,30余弦级数：bn0,an2fxcosnxdxn2l01,2fxa0ancosnx是偶函数20nx,周期周期为l2 的周期函数的傅立叶级数：fxa0n1ancosnlxbnsin2l其中an1lllfxcosnlxdxn01, ,2lbn1lfxsinnxdxn,12 ,3ll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx,y或Px,ydxQx,ydy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gydyfxdx的形式,解法：gydyfxdx得：GyFxC称为隐式通解；x,yx,y,即写成y的函数,解法：齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfdxx设uy,就dyuxdu,udu u,d