2022年奥数训练——数的整除.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院数的整除一、解答题（共 15 小题,满分 0 分）1判定 能否被 3,7,11,13 整除2试说明 形式的 6 位数肯定能被 11 整除3在 1998 后面添上两个数字构成一个六位数,它能够同时被 7 和 8 整除, 所添的两个数字是多少？4求被 179 整除的最小和最大的四位数5一个五位数减去其各位数字之和后变为,就 x 是多少？6首位数字是 9,各位上的数字互不相同的 7 位数中,能被 6 整除最小数是多少？7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭 810 只,卖出鸡只数的,鸭只数的 75%,剩下鸡鸭只数相同,求原先鸡鸭各养了多少只？8五个三位数

2、,前四个数分别是123、345、567、789已知五个数的平均数是9 的倍数,第 5 个数最大是多少？9五个数之和是 308这五个数分别被 2、3、5、 7、11 整除,且商相同,求这五个数10一个数乘以 91 后乘积的后三位是 193,这个数最小是多少？11一个各位数字全是 1 的自然数能被 33333 整除,问这个数最小是多少？12某六位数 能被 17 和 19 整除,求13五位数 能被 36 整除,求这样的五位数14是 105 的倍数,求 xy15给你一个六位数：（1）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 9 整除；（2）依据（ 1）的结果说明该六位数肯定不能被 72 整除；

3、（3）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 24 整除；（4）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 55 整除；（5）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 91 整除第1页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共 15 小题,满分 0 分）1判定 能否被 3,7,11,13 整除考 数的整除特点点：专 整除性问题题：分第一判定能否被 3 整除,由于能同时被7、11、13 整除的最小数为1001,把这个析：数写成 10019866

4、6+766 ,探讨 766 能否被 7,11,13 整除即可解解：由于 9+8+7+6+5+4+3+2=44 ,不能被 3 整除；答：由于 98765432=1001 98666+766,766 不能被 7 整除；766 不能被 11 整除；766 不能被 13 整除；所以 不能被 3,7,11,13 整除点 把握能被 3,7,11,13 整除数的特点是解决问题的关键,留意问题的敏捷处理评：2试说明 形式的 6 位数肯定能被 11 整除考 数的整除特点点：专 整除性问题题：分依据被 11 整除数的特点： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加11析：起来,再求它们的差,假如

5、这个差是11 的倍数（包括0）,那么,原先这个数就肯定能被整除由此说明即可解 解：=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c 答：=100100a+10010b+1001c =1001（100a+10b+c）由于 11 能整除 1001,所以 形式的 6 位数肯定能被 11 整除点 此题考查数的整除特点,把握被 11 能出数的特点是解决问题的根本评：3在 1998 后面添上两个数字构成一个六位数,它能够同时被7 和 8 整除, 所添的两个数字是多少？考 数的整除特点点：专 整除性问题题：分 不妨设,添加的两个数字为 ab,就 8ab 能被 8 整除,就 ab 可以是 00

6、,08,16,24,32,40,析：48, 56,64,72, 80,88,96；且 7 能整除 1998ab,也就是整除 3ab,相当于整除 20+ab,第2页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院进一步验证得出答案即可解 解：设添加的两个数字为 ab,答：8 能整除 1998ab,就 ab 可以为： 00,08,16, 24,32,40,48,56,64,72,80,88,96；7 能整除 1998ab=285427+6+ab,也就是 7 能整除 6+ab,经过验证可知,ab=08,64所以所添的

7、两个数字是 08 或 64点 此题考查能被 7,8 整除的数的特点,解答此题仍要有较强的分析推理才能评：4求被 179 整除的最小和最大的四位数考 数的整除特点点：专 整除性问题题：分先求出 1000179 的商,该商 +1 后,与 179 相乘的积即为所求的被179 整除的最小四位数；析：先求出 9999179 的商,然后用商与179 相乘的积即为所求的被179 整除的最大四位数解解： 1000179=5105,答：179（5+1）=1796 =10749999179=55154,17955=9845；答：被 179 整除的最小的四位数是 1074,最大的四位数是 9845点 此题考查了数的

8、整除特点,明确倍数的求法,是解答此题的关键评：5一个五位数减去其各位数字之和后变为,就 x 是多少？考 数字问题点：专 数性的判定专题题：分 五位数与各位数字和的差为 7xxxx ,已知万位为 7,那么 4x+7 应是 9 的倍数,进一步解决析：问题解 解：设原先的三位数是 abcde,由题意得：答：10000a+1000b+100c+10d+e （ a+b+c+d+e）=7xxxx ,9999a+999b+99c+9d=7xxxx ,因此,五位数减去各们数字之和肯定是 9 的倍数,可得 4x+7=9 （或 18,或 27,36）体会证,只有 4x+7=27 符合题意,因此 x=5 点 设原先

9、的三位数是 abcde,五位数减去各们数字之和肯定是 9 的倍数,然后通过验证推出评：结果6首位数字是 9,各位上的数字互不相同的 7 位数中,能被 6 整除最小数是多少？考 数的整除特点点：第3页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院专 整除性问题题：分首位数字确定,要使最小,不妨设为901234x,x 是偶数,且9+1+2+3+4+x=18+ （x+1）要析：能被 3 整除,求得x=2 或 8,最小且不重复就是8解解：要使最小,不妨设为901234x ,x 是偶数,答：就 9+1+2+3+4+x=

10、18+ （x+1 ）需能被 3 整除,就 x=2 或 8,点2 与前面的数字重复,所以x 取 82 或 3 整除数的特点是解决问题的关键所以能被 6 整除最小数是9012348此题考查被一个数整除的数的特点,把握被评：7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810 只,卖出鸡只数的,鸭只数的75%,剩下鸡鸭只数相同,求原先鸡鸭各养了多少只？考分数和百分数应用题（多重条件）点：专 分数百分数应用专题题：分依据 “卖出鸡只数的,鸭只数的75%,剩下鸡鸭只数相同”,可知鸡 （ 1 80%）=鸭析：（1 75%）,所以鸡： 鸭=（1 75%）：（1 80%）=5：4那么鸡有 810（ 5+4）5=450（只）,进而

11、求出鸭的只数解 解：（1 75%）：（1 80%）=5：4 答：鸡有：810（5+4） 5 =81095 =450（只）鸭有：810 450=360（只）答：原先鸡养了 450 只,鸭养了 360 只点 此题先求出鸡鸭只数的比,是解答此题的关键评：8五个三位数,前四个数分别是123、345、567、789已知五个数的平均数是9 的倍数,第 5 个数最大是多少？考 平均数问题；整除性质点：专 平均数问题；整除性问题题：分 123+345+567+789=1824 ,依据题意 “已知五个数的平均数是 9 的倍数 ” 所以得出这五个三析：位数的能既能被 5 整除,又能被 9 整除,由于能被 5 整除

12、,所以个位数是 0 或 5,由于求这个五位数最大是 900 多, 1824+900=2724 ,由于这 5 个三位数的和能被 9 整除,所第4页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院以各个数位上数的和能被9 整除,然后分析当这五个数的和的个位是0 或 5 时,要求的数的大小,然后进行比较,进而得出结论解 解： 123+345+567+789=1824 ,答：由于能被 5 整除,所以个位数是 0 或 5,由于求这个五位数最大是 900 多,1824+900=2724 由于这 5 个三位数的和能被 9 整

13、除,所以各个数位上数的和能被 9 整除,当个位是 0 时,2+7+9+0=18 ,能被 9 整除,所以这个数的和是 2790,就要求的数为： 2790 1824=966；当个位是 5 时,2+7+4+5=18 ,能被 9 整除,所以这个数的和是 2745,就要求的数为： 2745 1824=921；由于 921966 点所以要求的三位是最大是9665 和 9 整除的数的特点,是解答此题的关键答：第 5 个数最大是966此题考查了数的整除特点,明确能被评：9五个数之和是308这五个数分别被2、3、5、 7、11 整除,且商相同,求这五个数考整除性质点：专 整除性问题题：分 先求出 2、3、5、7

14、、11 的和,然后用 308 除以这五个数的和,求出商,然后用商分析：别乘 2、3、5、7、 11,即可求出这五个数解 解： 2+3+5+7+11=28 ,30828=11,答：所以这五个数分别是：211=22,311=33,511=55,711=77,1111=121；答：这五个数分别是 22,33,55, 77,121点 求出 2+3+5+7+11 的和,然后用 308 除以 28,求出商,是解答此题的关键评：10一个数乘以 91 后乘积的后三位是 193,这个数最小是多少？考 最大与最小点：专 整除性问题题：分 由于是 193,3 只能和 13 才出 3所以这个数的最终一个数是 3,又

15、390=270,十位析：90 70=20,就这个数的十应是 2,即后两位是 23,9123=2093,百位仍差 1,只要找个数与 1 相乘得 1 相乘得 1 就可以了, 1 与 1 相乘得了,就这个数最小是 123,即12391=11193解 解：由于 13=3,答：就这个数个位是 3,390=270,十位 90 70=20,120=20,就这个数的十应是 2,即后两位是 23,9123=2093,百位仍差 1,第5页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院1 与 1 相乘得 1,就这个数最小是 123

16、,即 12391=11193点答：这个数最小是1233,然后逐步进行推理是完成此题的关键第一依据题意确定这个数的个位是评：11一个各位数字全是1 的自然数能被33333 整除,问这个数最小是多少？考整除性质点：专 整除性问题题：分先把 33333 分解质因数： 33333=311111,能被 33333 整除,那么全部的1 加起来能析：被 3 整除,所以可能有6,9,12,15 个 1；但是 33333 是 5 位数,很明显6 个、 9个、 12 个都不能整除,位数不合适,只能是15 个也就是11111111111111133333=3333366667；由此解答即可解 解：能被 33333

17、整除,那么全部的 1 加起来能被 3 整除,所以可能有 6,9,12,15答：个 1；但是 33333 是 5 位数,很明显 6 个、 9 个、 12 个都不能整除,位数不合适,只能是 15 个,即这个数最小是 111111111111111；答：这个数最小是 111111111111111点 明确能被 3 和 11111 整除的数的特点,是解答此题的关键评：12某六位数 能被 17 和 19 整除,求考 整除性质；位值原就点：专 整除性问题题：分 依据六位数 23xy22 能被 17 和 19 整除,得出这个六位数能被 1719=323 整除, 再假设出这析：个六位数最大值与最小值,进而得出

18、它们商的取值范畴,进而得出符合要求的答案解 解：由于六位数 23xy22 能被 17 和 19 整除,答：所以这个六位数能被 1719=323 整除,这个数最小为 230022,故 230022323=712.46,这个数最大为 239922,故 239922323=742256,由于 23 22 能被 323 整除,商肯定为 3 位数,且个位数肯定为 4,符合要求的只有 714,724,734故试一下 323714=230622,323724=233852,323734=237082,只有 323714=230622 符合要求,故原数为： 230622；答： xy=06 点 此题主要考查了数

19、的整除性,依据已知得出 23 22 除以 323 商的取值范畴以及个位数的特评：点是解题关键13五位数 能被 36 整除,求这样的五位数第6页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院考 整除性质；位值原就点：专 整除性问题题：分36=49,能被 36 整除, 就要能同时被4 和 9 整除,能被 4 整除的数： 后两位能被4 整除；析：能被 9 整除的数：各位数字的和能被9 整除；由此可知：y 可能是 2 或 6,假如 y=2,就2+x+8+9+2 能被 9 整除, x=6；假如 y=6,就 2+x+8+

20、9+6 能被 9 整除, x=2 ；由此即可求出这个五位数解 解： 36=49,能被 36 整除,就要能同时被 4 和 9 整除,答：能被 4 整除的数：后两位能被 4 整除；能被 9 整除的数：各位数字的和能被 9 整除；由此可知： y 可能是 2 或 6,假如 y=2,就 2+x+8+9+2 能被 9 整除, x=6；假如 y=6,就 2+x+8+9+6 能被 9 整除, x=2；所以这个五位数是 26892 或 22896答：这个五位数是 26892 或 22896点 明确能被 4 和 9 整除的数的特点,是解答此题的关键评：14是 105 的倍数,求xy考数的整除特点点：专 整除性问题

21、题：分第一 105=357,能被 3 整除就 2+7+x+y 能被 3 整除,能被 5 整除,就末尾是0 或 5,析：进一步验证是否能被7 整除得出答案即可解解：由于 105=357,答：就 2+7+x+y 能被 3 整除,能被 5 整除,就末尾是0 或 5,当 y=0 时, 2+7+x+0 能被 3 整除,就 x=0,3,6,9；当 y=5 时, 2+7+x+5 能被 3 整除,就 x=1,4,7；就能被 7 整除的只有 200760所以 x=6,y=0 点此题考查被一个数整除的数的特点,把握被 3、5、7 整除数的特点是解决问题的关键评：15给你一个六位数：（1）试求出全部这样的 x、y

22、的组合,使该六位数能被 9 整除；（2）依据（ 1）的结果说明该六位数肯定不能被 72 整除；（3）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 24 整除；（4）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 55 整除；（5）试求出全部这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 91 整除考 整除性质；位值原就点：第7页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 晨曦书院专 整除性问题题：分（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y ）能被 9 整除,即 2x+y 能被 9 整除,且 0x, y10,析：由此列

23、举即可；（2）验证（ 1）中的 11 组结果,简单得到没有结果符合条件；（3）欲使该 6 位数被 24 整除,就第一必需是偶数,且2x+y 能被 3 整除,即要求2x+y能被 6 整除,这样的组合只可能如下（0,6）（1,4）（2,2）（3,0）（2,8）（3,6）（4,4）（ 5,2）（ 6,0）（5,8）（6,6）（7,4）（8,2）（9,0）（8,8）（9,6）,又要求该六位数能被 8 整除,即要求3xy 被 8 整除,这样可以得到（2,8）,（3,6）,（4,4）,（5,2）（ 6,0）几个组合；（4）为使能整除 55,第一 y 只可能是 0 或者 5,其次偶数位减奇数位整除 11因此

24、即2x y 2 能被 11 整除,这样组合仅有（9,5）一组；（5）为使能整除 91,就要求 87x 3xy 能被 91 整除,就 87x=x+51 ,3xy=10x+y+27 ,即要求 x+51=10x+y+27 ,由此得出（ x,y）=（2,6）解 解：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y ）能被 9 整除,即 2x+y 能被 9 整除,且 0x,y答：10,因此（ x,y）只能是如下组合（0,9）、（1,7）、（2,5）、（ 3,3）、（4,1）、（ 5,8）、（6,6）、（7,4）、（ 8,2）、（9,9）；（2）验证（ 1）中的 11 组结果,简单得到没有结果符合条件；（3）欲使

25、该 6 位数被 24 整除,就第一必需是偶数,且2x+y 能被 3 整除,即要求2x+y能被 6 整除,这样的组合只可能如下（0,6）（1,4）（2,2）（3,0）（2,8）（3,6）（4,4）（ 5,2）（ 6,0）（5,8）（6,6）（7,4）（8,2）（9,0）（8,8）（9,6）,又要求该六位数能被 8 整除,即要求3xy 被 8 整除,这样可以得到只有（2,8）,（3,6）,（4,4）,（5,2）（6,0）；（4）为使能整除 55,第一 y 只可能是 0 或者 5,其次偶数位减奇数位整除 11因此即2x y 2 能被 11 整除,这样组合仅有（9,5）一组；（5）为使能整除 91,就要求 87x 3xy 能被 91 整除,就 87x=x+51 ,3xy=10x+y+27 ,即要求 x+51=10x+y+27 ,由此得出（ x,y）=（2,6）点此题考查了整除的性质,明确能被9 整除及能被11 整除的特点,是解答此题的关键评：第8页（共 8页）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页