2022年选修-坐标系与全参数方程知识点总结材料及同步练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档坐标系与参数方程 学问点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 Px,y 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换:xg x0 0的作用yg y下, 点 Px,y 对应到点Px y , 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念1 极坐标系如下列图, 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点 O引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 , 这样就建立了一个极坐标系 . 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以相

2、互垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 , 而极坐标系就不行 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 . 2 极坐标设 M是平面内一点 , 极点 O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为 ; 以极轴 Ox为始边 , 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M的极角 , 记为 . 有序数对 , 叫做点 M的极坐标 , 记作 M , . 一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为 0, 可取任意实数 . 特殊地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 0, R. 和直角坐标不同 , 平面文案大全 1 名师归纳总结 第 1 页,共 19 页-

3、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档内一个点的极坐标有很多种表示 . 假如规定 0,0 2 , 那么除极点外 , 平面内的点可用唯独的极坐标 , 表示 ;同时, 极坐标 , 表示的点也是唯独确定的 . 3. 极坐标和直角坐标的互化1 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 坐标系中取相同的长度单位 , 如下列图 : ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种2 互化公式 : 设 M 是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是 , x y , 极坐标是, 0, 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 M直角坐标 , 极坐标 , 互化公式xcos2x2y

4、20y x xysintan在一般情形下 , 由 tan 确定角时 , 可依据点 M 所在的象限最小正角 . 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程2 2 圆心在极点 ,r0半径为 r 的圆文案大全名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档圆心为 ,0,2 cos 22半径为 r 的圆圆心为 ,2,2 sin0半径为 r 的圆1过极点 , 倾斜2R 或2R角为的直线过点 ,0, 与0和0cosa2极轴垂直的直线过点 ,2, 与sina0极轴平行的直线注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯独 , 即, ,2,

5、 都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯独性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 . 例如对于极坐标方程,点M4,4可以表示为4,42 或4,42 或-4,5 等多种形式 , 其中, 只有 4,4的极坐标满意方程4. 二、参数方程文案大全名师归纳总结 - - - - - - -3 第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中 , 假如曲线上任意一点的坐标 ,x y都是某个变数 t 的函数 xy g t, 并且对于 t 的每一个答应值 , 由方程

6、组所确定的点 f t M x y 都在这条曲线上 , 那么方程就叫做这条曲线的参数方程 , 联系变数 ,x y的变数 t 叫做参变数 ,简称参数 , 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程 . 2. 参数方程和一般方程的互化1 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式 数而从参数方程得到一般方程 . , 一般地可以通过消去参2 假如知道变数 x y中的一个与参数 t 的关系 , 例如 x f t , 把它代入一般方程 ,求出另一个变数与参数的关系 y g t , 那么 xy g t就是曲线的参数方程 , 在参数方 f t 程与一般方程的互化中 , 必需使x y的取

7、值范畴保持一样 . 注：一般方程化为参数方程,参数方程的形式不肯定唯独；应用参数方程解轨 迹问题,关键在于适当地设参数,假如选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数 方程的形式也不同；3圆的参数如下列图, 设圆 O的半径为 r ,点 M 从初始位置M 动身,按逆时针方向在圆 O上作匀速圆周运动,设M x y ,就xrcos sin为参数 ；的几何意义是OM 转过yr这就是圆心在原点O,半径为 r 的圆的参数方程,其中的角度；圆心为 , a b ,半径为 r 的圆的一般方程是xa 2yb 2r ,4 它的参数方程为：xarcos sin为参数 ；ybr文案大全名师归纳总结 第 4 页,共 19 页

8、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档4椭圆的参数方程2 2以坐标原点 O为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 x2 y2 1 a b 0, 其参a bx a cos数方程为 为参数 ,其中参数 称为离心角；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方y b sin程是 y 22 x 22 1 a b 0, 其参数方程为 x b cos 为参数 , 其中参数 仍为离心角,通常a b y a sin规定参数 的范畴为0 ,2）；注：椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 区分开来, 除了在四个顶点处, 离心角和旋转角数

9、值可相等外（即在 0到 2 的范畴内）,在其他任何一点,两个角的数值都不相等；但当 0 2时,相应地也有0 2,在其他象限内类似；5双曲线的参数方程以坐标原点 O为中心,焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为x2y21 a0,b0,a2b2其参数方程为xasec tan为参数 ,其中0,2且2,3.yb2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是y2x21 a0,b0,其参数方程为a2b2xbcot为参数,其中0,2 e 且.yacsc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角；6抛物线的参数方程x以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线y22px p0的参数方程为2pt2 t 为参数.y2pt7直线的参数方程文案

10、大全名师归纳总结 - - - - - - -5 第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档经过点 M 0 x 0 , y ,倾斜角为 2的直线 l 的一般方程是 y y 0 tan x x 0 , 而过x x 0 t cosM 0 x 0 , y ,倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 t为参数 ；y y 0 t sin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M 0 x 0 , y ,倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 x x 0 t cos t为参数 ,其中t 表示直线 l 上以定点 M 为起点,任一点y y 0 t sinM x y 为终点的有向线段

11、 uuuuuur 的数量,当点 M 在 M 上方时, t 0；当点 M 在 M 下方时,t 0；当点 M 与 M 重合时, t =0；我们也可以把参数 t 懂得为以 M 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 单位长度相同；选修 4-4 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 提高训练 C组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A 组 一、挑选题1如直线的参数方程为x12 3 tt 为参数 ,就直线的斜率为（）6 y2A2 3 B 2

12、3sin为参数 上的点是（）C3 2 D 3 22以下在曲线xsin 2ycos文案大全名师归纳总结 第 6 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档A1 2,2 B 3 1 4 2 C 2,3 D 1, 3x20y13将参数方程x2sin2为参数化为一般方程为（）ysin2Ayx2 B yx2 C yx22x3 D y4化极坐标方程2 cos0 为直角坐标方程为（）y1Ax2y20 或y1 B x1 C x2y20 或x1 D 5点 M 的直角坐标是 1,3 ,就点 M 的极坐标为（）A 2,3 B 2,3 C 2,2 D 2, 2

13、k3,kZ36极坐标方程cos2sin 2 表示的曲线为（）A一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆二、填空题1直线x34 tt 为参数 的斜率为 _；,7 y45 t2参数方程xt et eettt为参数 的一般方程为 _；y2e3已知直线l 1:x1 3 t t为参数 与直线l2: 2x4y5相交于点 B,又点A 1,2y24 t就 AB_；4直线x211ttt 为参数被圆x2y24截得的弦长为 _；2y125直线xcosysin0的极坐标方程为 _；文案大全名师归纳总结 第 7 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

14、- - 有用文档三、解答题1已知点 P x y 是圆 x 2y 22 y 上的动点,（1）求 2x y 的取值范畴；（2）如 x y a 0 恒成立,求实数 a 的取值范畴；2求直线l1:x15t3 tt为参数 和直线l2:xy2 30的交点 P 的坐标,及点 Py与Q1, 5的距离；x2y120的距离的最小值；3在椭圆x2y21上找一点,使这一点到直线1612数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B 组 一、挑选题1直线 l 的参数方程为xat t 为参数 , l 上的点t1P 对应的参数是1t ,就点1P 与P a b , yb之间的距离是（）2 t D 2t 18 A1t B 2

15、 t C 2文案大全名师归纳总结 第 8 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档2参数方程为xt1t 为参数 表示的曲线是（）ty2A一条直线 B 两条直线 C 一条射线 D 两条射线3直线x11 2t3t t为参数 和圆x2y216交于A B 两点,）y3 32就 AB 的中点坐标为（）A 3, 3 B 3,3 C 3, 3 D 3,34圆5cos5 3 sin的圆心坐标是（）A 5,4 B 5,3 C 5,3 D 5,5335与参数方程为xttt为参数等价的一般方程为（）y2 1Ax2y21 Bx2y210x144Cx2y210

16、y2 D x2y210x1,0y2446直线x12tt t 为参数 被圆x32y2 125所截得的弦长为（yA98 B 401 4 C 82 D 934 3二、填空题1曲线的参数方程是x11 t 为参数 ,t0 ,就它的一般方程为 _；t文案大全y1t29 名师归纳总结 第 9 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档x 3 at2直线 t 为参数 过定点 _；y 1 4 t3点Px,y 是椭圆 2 x 23 y 212 上的一个动点,就 x 2 y 的最大值为 _；4曲线的极坐标方程为 tan cos,就曲线的直角坐标方程为 _；1

17、5设 y tx t为参数 就圆 x 2y 24 y 0 的参数方程为 _；三、解答题1参数方程xcos sincos cos 为参数 表示什么曲线？ysin sin2点 P在椭圆x2y21上,求点 P到直线 3x4y24的最大距离和最小距离；1693已知直线 l 经过点P1,1 , 倾斜角6,（1）写出直线 l 的参数方程；（2）设 l 与圆x2y24相交与两点A B ,求点 P 到A B 两点的距离之积；文案大全名师归纳总结 - - - - - - -10 第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档数学选修 4-4 坐标系与参数方程 . 提高训练 C

18、组 一、挑选题1把方程 xy 1 化为以 t 参数的参数方程是（）1x t 2 x sin t x cos t x tan tAy t 12 B ysin 1t C ycos 1t D ytan 1tx 2 5 t2曲线 t 为参数 与坐标轴的交点是（）y 1 2 tA0, 2 、1,0 B 0, 1 、1,05 2 5 2C 0, 4 8,0 D 0, 5 8,093直线 x 1 2 t t 为参数 被圆 x 2y 29 截得的弦长为（）y 2 tA12 B12 55 5C9 5 D 9 105 524如点 P 3, m 在以点 F 为焦点的抛物线 x 4 t t 为参数 上,y 4 t就

19、PF 等于（）A 2 B 3C 4 D 55极坐标方程cos20表示的曲线为（）11 文案大全名师归纳总结 第 11 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档A极点 B极轴C一条直线 D 两条相交直线6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）sin2Acos2 BC4sin3 D 4sin3二、填空题21已知曲线 x 2 pt t 为参数 , 为正常数 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t 1 和 t 2,y 2 pt且 t 1 t 2 0,那么 MN =_；x 2 2 t2直线 t 为参数 上与点 A 2,3 的距离

20、等于 2 的点的坐标是 _；y 3 2 t3圆的参数方程为 x 3sin 4cos 为参数 ,就此圆的半径为 _；y 4sin 3cos4极坐标方程分别为 cos 与 sin 的两个圆的圆心距为 _；5直线 x t cos 与圆 x 4 2cos 相切,就 _；y t sin y 2sin三、解答题1分别在以下两种情形下,把参数方程x1 2etetcos化为一般方程：12 y1 2t eetsin（1）为参数,t 为常数；（2）t 为参数,为常数；文案大全名师归纳总结 第 12 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档2过点P10,0

21、作倾斜角为的直线与曲线x212y21交于点M,N ,2求 PMPN 的值及相应的的值；新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、挑选题1D ky23 t313 x12t2文案大全名师归纳总结 第 13 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档2B 转化为一般方程：y21x ,当x3 4时,y123C 转化为一般方程：yx2,但是x2,3,y40,14C cos10,x2y20, 或cosx15C 2, 2k2,kZ 都是极坐标sin3,即26C cos4sincos ,cos0,或4sin就

22、k2,或x2y24y二、填空题15 4ky45t5xyxy4x34 t42x2y21,x2xt etettxy2ett2y416eexy2e22235 225 2,0,而A 1,2,得AB5将x13 t4 t代入 2x4y5得t1,就By222414直线为xy10,圆心到直线的距离d12,弦长的一半为2252 22214 2,得弦长为140 ,取222coscossinsin0,cos三、解答题1解：（1）设圆的参数方程为x1cos,114 y1 sin2xy2cossin15sin0512xy51a（2）xyacossin文案大全名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19

23、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档a cos sin 1 2 sin 14a 2 1x 1 t2解：将 代入 x y 2 3 0 得 t 2 3,y 5 3 t得 P 1 2 3,1,而 Q 1, 5,得 PQ 2 3 26 24 3x 4cos 4cos 4 3sin 123解：设椭圆的参数方程为,dy 2 3sin 54 5 cos 3sin 3 4 5 2cos 35 5 3当 cos 1 时,d min 4 5,此时所求点为 2, 3 ；3 5新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 一、挑选题1C 距离为t 12t

24、122t 12x轴的直线,而x2,或x2,所以表示两条射线15 2D y2表示一条平行于16,得t28 t80,t 1t28,t 12t243D 11t2 3 33t222中点为x1143x32y3 34y31t1, 得0y224A 圆心为5,5 3y21, 而t0,0225D x2t,y21t1x2,x44文案大全名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档6C xx212tt2 12x222 t2,把直线x12tt代入2y1tyy223y25得 5t22t225,t27t20t1t2 t 1t 241,弦长为2

25、t 1t2824 t t 1 2二、填空题1yx x2 2 1x11x1,t11x而y1t ,xt即y111x2x x2x12 3, 1y14x12,y1a4x120对于任何a 都成立,就x3,且y1x3a322椭圆为x2y21,设P 6 cos ,2sin,64x2y6 cos4sin22 sin224x2ytan1sin,cos2sin,2cos2sin,即x2ycoscos25x4 tx2tx24 tx0,当x0时,y0；当x0时,x14t t；1t2y4t21t2而 ytx,即y4t2 t,得x4t1t21y4t21t2三、解答题1解：明显y xtan,就y2111,cos21y122

26、 cos16 x2cos2221xx2 cossincossin 22 cos12 tan22tan文案大全名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档即x112y11y1, 12 yy12413tx y2x2y2y 22 xx1x 2x2x 2得xy2y1,即x2y2xy0xx2解：设P4cos,3sin,就d12cos12sin5x即d12 2 cos5424,当cos41时,d max12 2 52；当 cos41时,d min12 2 52；3解：（1）直线的参数方程为x1tcos6,即2y11 2ty1t

27、sin6（2）把直线x13t代入x2y242y11 2t得13t211t24,t231 t2022t t 1 22,就点 P到A B 两点的距离之积为2新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组 一、挑选题1D xy1, x 取非零实数,而 A,B,C中的 x 的范畴有各自的限制1 5；17 2B 当x0时,t2,而y12t ,即y1,得与 y 轴的交点为0,55当y0时,t1,而x25 t ,即x1,得与 x 轴的交点为1 2,022文案大全名师归纳总结 第 17 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

28、 有用文档2x 1 5 t3B xy 12 2t ty 1 5 t 1 5,把直线 xy 12 2t代入 t5x 2y 29 得 1 2 22 t 29,5 t 28 t 4 0t 1 t 2 t 1 t 2 24 t t 1 2 8 2 16 12,弦长为 5 t 1 t 2 12 55 5 5 54C 抛物线为 y 24 x ,准线为 x 1, PF 为 P 3, m 到准线 x 1 的距离,即为 45D cos2 0,cos 2 0, k,为两条相交直线46A 4sin 的一般方程为 x 2 y 2 24,cos 2的一般方程为 x 2圆 x 2 y 2 24 与直线 x 2 明显相切二

29、、填空题14p t1明显线段 MN 垂直于抛物线的对称轴；即4x 轴,MN2p t 1t 22p2 t 12 3,4 , 或 1,22 2 2 22 2 ,t21,t2223 5由x3sin4cos得x2y225y4sin3cos,作出图形,相切时,42圆心分别为1,0和0,122256,或 5 6直线为yxtan,圆为x42y2易知倾斜角为6,或 5 6三、解答题1解：（1）当t20时,y0,xcos,即xt1,且yy0；18 时, cos1x当t0,sin1t eet1t eet22而xy21,即x2y21t21et eeet2文案大全44名师归纳总结 第 18 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有用文档（2）当k,kZ 时,y0,x1 2t eet,即x1,且y0；当k2,kZ 时,x0,y1 2t eet,即x0；当k,kZ 时,得t eet2x,即2 ett2x2ycoscossin2t eet2y2 e2x2y得sincossint 2 e2et2x2y2x2y