2022年完整word版,圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范畴为题（本质是函数问题）题型十一： 存在性问题 （存在点, 存在直线 ykxm ,存在实数, 三角形 （等边、 等腰、直角）,四边形（矩形,菱形、正方形）,圆 ）二热点问题 1. 定义与轨迹方程问题 2. 交点与中点弦问题 3. 弦长

2、及面积问题 4. 对称问题 5. 范畴问题 6. 存在性问题 7. 最值问题 8. 定值,定点,定直线问题其次部分学问储备2 axbxc0a0相关的学问（三个“ 二次” 问题）一与一元二次方程1.判别式：b24 acax2bxc0 a0有两个不等的实数根x x ,就c2.韦达定理：如一元二次方程x 1x 2b,x 1x2aaax2bxc0 a0有两个不等的实数根x x ,就 1 23.求根公式：如一元二次方程x 1,2bb24ac2a二与直线相关的学问名师归纳总结 1.直线方程的五种形式：点斜式,斜截式,截距式,两点式,一般式第 1 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 -

3、- - - - - - - - 2.与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：ytan,0, ；点到直线的距离公式：dAx0ABy02C（一般式） 或dkx0y02b（斜截式）2B2 1k3.弦长公式：直线ykxb 上两点A x y 1,B x 2,y 2间的距离：y 1y2AB1k2x 1x21k2x 1x 224x x 1 2或AB11k24.两直线l1:y 1k x 1b l2:y 2k x 2b 的位置关系：AB 的中点,就l 1l2k 1k 21l 1/ /l2k 1k 2且b 1b 25.中点坐标公式：已知两点A x y 1 1,B x 2,y 2,如点Mx y 线段xx 12x 1,y

4、y 12y2三圆锥曲线的重要学问考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简洁性质,文理要求有所不同；文科：把握椭圆,明白双曲线；理科：把握椭圆及抛物线,明白双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质；2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程 抛物线的标准方程3. 圆锥曲线的基本性质：特殊是离心率,参数 a b c 三者的关系,p 的几何意义等2 2 4. 圆锥曲线的其他学问：通径：椭圆 2b,双曲线 2b,抛物线 2p a a焦点三角形的面积：p在椭圆上时 S V F PF 1 2 b 2 tan 2p 在双曲线上时 S V F PF 2 b

5、 2 / tan 2 四常结合其他学问进行综合考查 1 圆的相关学问：两种方程,特殊是直线与圆,两圆的位置关系 2 导数的相关学问：求导公式及运算法就,特殊是与切线方程相关的学问 3 向量的相关学问：向量的数量积的定义及坐标运算,两向量的平行与垂直的判定条件等 4 三角函数的相关学问：各类公式及图像与性质 5 不等式的相关学问：不等式的基本性质,不等式的证明方法,均值定理等 五不同类型的大题（1）圆锥曲线与圆名师归纳总结 例 1.（本小题共14 分）第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知双曲线C:x2y21 a0,b0的离心率为

6、3,右准线方程为x3223ab（）求双曲线C的方程；2上动点P x 0,y0x y00处的切线,l与双曲线（）设直线l是圆O:x2y2C交于不同的两点A B,证明AOB的大小为定值【解法 1】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础学问,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算才能名师归纳总结 （）由题意,得a23y21. 0,第 3 页,共 14 页c3,解得a1,c3,c3ab2c2a22,所求双曲线C的方程为x22（）点P x 0,y 0x y 00在圆x2y22上,82x2P x 0,y 0处的切线方程为yy 0x0xx0,圆在点y0化简得x xy y2.

7、由2 x2 y1及2 x 0y22得3 x24x24x x2000x xy y22,切线l与双曲线C 交于不同的两点A、B,且02 x 0,3x240,且16x24 32 x 04822 x 0000设 A、B 两点的坐标分别为x 1,y 1,x 2,y2,就x 1x 234x 04,x x 282 x 022 x 0,2 x 034,cosAOBuuur uuur OA OB uuur uuur OA OB,且uuur uuur OA OBx x 2y y2x x 212x x 12x x 2y2 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x x 2212

8、 x 042x 0x 1x 22 x x x 2822 x 02142 8 x 02 x 0822 x 0处的切线方2 3 x 042 x 032 x 0432 x 04822 x 0822 x 00. 3 x 0 243 x 0 24AOB的大小为90. 【解法 2】（）同解法1.y 0x y 00在圆x2y22上,圆在点P x 0,y 0（） 点P x 0,程为yy0x 0xx 0,化简得x xy y2. 由x2y21及2 x 02 y 022y 0x xy y2得2 2 23 x 0 4 x 4 x x 8 2 x 0 0 2 2 23 x 0 4 y 8 y x 8 2 x 0 0 2

9、切线 l 与双曲线 C交于不同的两点 A、B,且 0 x 0 2,23 x 0 4 0,设 A、B 两点的坐标分别为 x y 1 , x 2 , y 2,2 2就 x x 2 82 2 x 0, y y 2 2 x 02 8,3 x 0 4 3 x 0 4uuur uuurOA OB x x 2 y y 2 0,AOB 的大小为 90 . 2 2 2 2 2（x 0 y 0 2 且 x y 0 0,0 x 0 2,0 y 0 2,从而当 3 x 0 4 0 时,方程和方程的判别式均大于零）. 2 2练习 1：已知点 A 是椭圆 C : x y 1 t 0 的左顶点, 直线 l : x my 1

10、 m R 与椭9 t名师归纳总结 圆C相交于E F两点,与x轴相交于点B. 且当m0时,AEF的面积为16. 第 4 页,共 14 页3（）求椭圆C的方程；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）设直线AE,AF与直线x3分别交于M,N两点,试判定以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由. （2）圆锥曲线与图形外形问题例 2.1 已知 A,B, C 是椭圆 W：x 2y21 上的三个点, O 是坐标原点41当点 B 是 W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积；2当点 B 不是 W 的顶点时,判定四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明

11、理由2 解： 1 椭圆 W：x y 2 1 的右顶点 B 的坐标为 2,0 4 OABC为菱形,所以 AC与 OB相互垂直平分由于四边形所以可设 A1 ,m ,代入椭圆方程得 1m 21,即 m3 . 4 2 所以菱形 OABC的面积是1 | OB| | AC| 1 2 2| m| 3 . 2 2 2 假设四边形 OABC为菱形由于点 B 不是 W的顶点,且直线 AC不过原点,所以可设 AC的方程为 ykxm k 0,m 0 由2 x42 ym4,消 y 并整理得 1 4k2 x 28kmx4m 24 0. ykx设 A x1,y1 ,C x2,y2,就x 12x214 km2,y 12y2k

12、x 12x 2mm2. 4k14k所以 AC的中点为 M14 km2,1mk2. 4k41 4k. 由于 M为 AC和 OB的交点,所以直线OB的斜率为由于 k1 1,所以 AC与 OB不垂直4k所以 OABC不是菱形,与假设冲突所以当点 B 不是 W的顶点时,四边形bOABC不行能是菱形x 练习 1：已知椭圆 C：a2y21 a0 过点 2 , 1,且以椭圆短轴的两个端点和2b2一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.求椭圆的标准方程；设 M（x y是椭圆 C 上的动点, P（p,0是 X 轴上的定点, 求 MP 的最小值及取最小值时点 M 的坐标 .名师归纳总结 - - - - - - -

13、第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）圆锥曲线与直线问题例 3.1 已知椭圆C:x22y24,（1）求椭圆 C 的离心率 .（2）设 O 为原点, 如点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线y2上,且 OAOB,求直线 AB与圆x2y22的位置关系,并证明你的结论.解析：椭圆的标准方程为：x2y21,42a2,b2就c2,离心率ec2; a2直线 AB 与圆x2y22相切 . 证明如下：法一：设点AB 的坐标分别为x 0y 0t2,其中x 00. t22y 0. 由于OAOB,所以uuur uuur OA OB0,即tx02y00,解得x0当0xt 时,

14、y0t2,代入椭圆C 的方程,得t2, . 2故直线 AB 的方程为x2. 圆心O到直线 AB 的距离d此时直线 AB 与圆x2y22相切 . 当0xt 时,直线 AB 的方程为y2y02xt,x 0t即y02xx 0t y2x 0ty00. 圆心 O 到直线 AB 的距离dy02x 0ty00t2. 22x又2 x 022 y 04,t2y 0,故x 0dx22x02y244 x 042 x 0162. 0x 0x 0y2 02 4 y 02 x 08x20 202x0此时直线 AB 与圆x2y22相切 . 法二：名师归纳总结 由题意知,直线OA 的斜率存在,设为k ,就直线 OA 的方程为

15、ykx, OAOB,第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当k0时,A20,易知B02,此时直线AB的方程为xy2或xy2,原点到直线AB 的距离为2,此时直线 AB 与圆x2y22相切；2 k；当k0时,直线OB的方程为y1x,2k22k联立y2kxy24得点 A 的坐标12k212k2或12k212 k2x2联立y21x得点 B 的坐标2k2,k12k2 k进行运算,y2 k,由点 A 的坐标的对称性知,无妨取点A12k222于是直线 AB 的方程为：y212k2x2kkk12k2x2k2122 k112k22k2即k12k2x

16、1k12 k2y2 k220,2k222, 原点到直线AB的距离dk12 k2k22k1221此时直线 AB 与圆2 xy22相切；综上知,直线AB 肯定与圆x2y22相切 . 法三：名师归纳总结 当k0时,A20,易知B02,此时OA2OBk2,2,、第 7 页,共 14 页AB222 22 2,原点到直线AB 的距离dOAOB22AB22此时直线 AB 与圆x2y22相切；1x,OB12 12 k ,当k0时,直线OB的方程为y2y2k设A x 1y 1B x2y2,就OA1k2x ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 联立y2kxy24得点 A 的

17、坐标12k212kk2或12k212 k2；2222 kx2于是OA1k2x A2 12k k2,OB2 1k2, 2 倍. 过椭圆并说明理由；12AB4 12k24 1k22 2 1k2,1k212k2所以dOAOB2 1k22 1k22, 直线 AB 与圆x2y22相切；12 k2AB22 1k212k2综上知,直线AB 肯定与圆x2y22相切练习 1：已知椭圆C:x2y21 ab0过点 0,1 ,且长轴长是焦距的a22 b左焦点 F 的直线交椭圆C 于 A,B 两点, O 为坐标原点 .（）求椭圆C 的标准方程；（）如直线 AB 垂直于 x 轴,判定点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位

18、置关系,（）如点O 在以线段 AB 为直径的圆内,求直线AB的斜率 k 的取值范畴 .（4）圆锥曲线定值与证明问题例 4.1 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为3,且椭圆 C 上的点到2两个焦点的距离之和为4（）求椭圆 C 的方程；（） 设 A 为椭圆 C 的左顶点, 过点 A 的直线 l 与椭圆交于点M ,与 y 轴交于点 N ,过原名师归纳总结 点与 l 平行的直线与椭圆交于点P证明：|AM| |AN| 2 |OP2 |第 8 页,共 14 页解：（）设椭圆 C 的标准方程为2 xy21 ab0,a2b22 ab2c2,b1由题意知c3 , 2解得a2,a2 a4

19、,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以椭圆 C 的标准方程为x22 y1 5 分4（）设直线AM 的方程为：yk x2,就N0,2 k ,O（0,由yk x2,得 4,1+4 k2x22 16 k x16 k240（* ）2 x42 y设A 2,0,M x 1,y 1,就2 ,1x 是方程（ *）的两个根,所以x 128 k214 k2所以M28 k2,14k214k24 k|AM|28 k228 k22 14 k2216 16 k24 1k214 k24 k1 4 k22 1 4 k2|AN|44 k22 1k2|AM|AN|4 1k22 1k28

20、14k214k21k2设直线 OP 的方程为：ykx 由ykx,4,得14 k2x2402 x42 y设P x 0,y 0,就x 0214k2,y 0214 k224 k4所以|OP2 |44 k2,2|OP2 |88 k214 k214 k2所以|AM| |AN| 2 |OP2 |例 4.2: 已知椭圆 C：X22 y1（ab0）的离心率为3,A（a,0 ）,B0,b2 a2 b20）, OAB的面积为 1. （I ）求椭圆 C的方程；名师归纳总结 I I设 P的椭圆 C上一点,直线PA与 Y 轴交于点 M,直线 PB与 x 轴交于点 N；第 9 页,共 14 页求证： AN.BM为定值；-

21、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 1：已知椭圆C:x2y21 ab0的离心率为6, 椭圆短轴的一个端点与两个223ab焦点构成的三角形的面积为5 2. 中点的横坐标AB （不垂直3 求椭圆C的方程 ; 已知动直线yk x1与椭圆C相交于A、B两点. 如线段AB为1, 求斜率k的值; 如点M7,0, 求证 :uuur uuur MA MB为定值 . 23练习 2：已知抛物线 C : y2 2 px（ p 0）,其焦点为 F,O为坐标原点,直线于x轴）过点 F 且抛物线 C交于A,B两点,直线 OA 与OB 的斜率之积为p （1）求抛物线 C 的方程；

22、名师归纳总结 （2）如 M 为线段 AB 的中点,射线 OM 交抛物线 C 于点D ,求证：| |OD|2第 10 页,共 14 页OM|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 3：动点Px,y 到定点F ,10 的距离与它到定直线l: x4的距离之比为1 . 2 求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）已知定点 A 2,0,B 2,0,动点 Q 4, 在直线 l 上,作直线 AQ 与轨迹 C 的另一个交点为 M ,作直线 BQ 与轨迹 C 的另一个交点为 N ,证明：M N F 三点共线 .（5）圆锥曲线最值问题名师归纳总结 例 5： 已知椭圆C:x2y

23、21ab0的离心率为3,椭圆 C 与 y轴交于 A,B两点,第 11 页,共 14 页a2b22|AB|2. （）求椭圆C 的方程；（）设点 P 是椭圆 C 上的一个动点, 且点 P 在 y 轴的右侧 . 直线 PA, PB 与直线x4分别相交于 M,N两点 . 如以 MN 为直径的圆与x 轴交于两点E,F,求点 P 横坐标的取值范畴及 |EF|的最大值 . 解：（）由题意可得,b1, 1 分ec3, 2 分a2得a213, 3 分2 a4解a24, 4 分椭圆 C 的标准方程为2 xy21 . 5 分4（）设P x 0,y 00x 02,A0,1,B0, 1,所以kPAy01,直线 PA 的

24、方程为yy 001x1, 6 分x 0x同理：直线 PB 的方程为yy01x1,x 0直线 PA 与直线x4的交点为M4,4y011, 7 分x 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 PB 与直线x4的交点为N4,4y 0011,x线段 MN 的中点4,4y0,14y02142, 8 分x 0所以圆的方程为x42y 9 分x 0x0令y0,就x4216y 0 21x 04 2, 10 分2 x 0由于x2 0y21,所以y 0 21 4, 11 分02 x 04所以x42850,x0由于这个圆与 x 轴相交 , 该方程有两个不同的实数解,所以 5

25、80,解得 x 0 8,2 . 12 分x 0 5设交点坐标 x 1 ,0, x 2 ,0,就 | x 1 x 2 | 2 5 8（8 x 0 2）x 0 5所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 14 分2 2练习 1：已知椭圆 C：x2 y2 1 a b 的一个焦点为 F2,0,离心率为 6；过焦a b 3点F 的直线 l 与椭圆 C交于 A, B两点,线段 AB中点为 D,O为坐标原点,过 O,D的直线交椭圆于 M,N 两点；（1）求椭圆 C 的方程；（2）求四边形 AMBN 面积的最大值；练习 2：已知椭圆 C ：2 mx3 my21 m0的长轴长为26, O 为坐标原点 .名师

26、归纳总结 |BA（）求椭圆C 的方程和离心率；P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,如第 12 页,共 14 页（）设点A 3,0,动点 B 在 y 轴上,动点| |BP ,求四边形 OPAB 面积的最小值 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （6）圆锥曲线存在性问题2 2例 6.已知椭圆 C ：x2 y2 1 a b 0 的离心率为 2 ,点 P 0 1, 和点 A m , n m 0a b 2都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M （）求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标（用 m n 表示）；（）设 O 为原点,点 B 与点 A

27、 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N 问： y 轴上是否存在点 Q ,使得 OQM ONQ？如存在,求点 Q 的坐标；如不存在,说明理由解析 : b,1OQ ON” ,（I）由题意得c2,解得a22,a2a2b2c2,故椭圆C的方程为x2y21 .2设Mx M,0.由于m0,所以1n1 .直线 PA 的方程为y1nm1x,所以xM1m,即M1m,0.nn由于点B 与点 A 关于 x轴对称,所以Bm,n.设Nx N, 0 ,就xN1m.n“ 存在点Q0 ,yQ使得OQMONQ” 等价于“ 存在点Q0,yQ使得OMOQ即y 满意 Qy Q2xMxN.由于xM1m,xN1m,2 mn2

28、.12） 在椭nn所以y Q2或y Q2,故在 y 轴上存在点 Q ,使得OQMONQ,点 Q 的坐标为0,2或0,2.练习 1： 设F 1 , F 2分别为椭圆2 x2 y1ab的左、右焦点,点P（1,3 22 ab2名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆E 上,且点 P 和 F1 关于点 C（0,3 4（1）求椭圆 E 的方程；） 对称；（2）过右焦点 F2 的直线 l与椭圆相交于 A,B两点,过点 P且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点 Q ,问是否存在直线 l ,使得四边形 PABQ的对角线相互平分？如存在,求出 l 的方程；如不存在,说明理由；2 2 练习 2：设椭圆 C：x a 2 y b 21ab0的一个顶点与抛物线：x24 2y 的焦点重合, F 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,离心率e3 3,过椭圆右焦点F2 的直线 l 与椭圆 C 交于M、N 两点1求椭圆 C 的方程；2是否存在直线uuuur l,使得 OMuuur ON 1,如存在,求出直线l 的方程；如不存在,说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页