2022年逆矩阵的求法及逆矩阵的应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用 摘要： 在现代数学中,矩阵是一个特别有效而且应用广泛的工具,而逆矩阵就是矩 阵理论中一个特别重要的概念； 关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有特别重 要的意义；目前,对于逆矩阵的求法及其应用领域的讨论已比较成熟；本文将对逆矩 阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结,并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方 面的应用；关键词：矩阵逆矩阵 逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Ab

2、stract: In modern mathematics,matrix is an effective tool with extensive application,and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will

3、 summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Applicati

4、on of inverse matrix 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一：引言在现代数学中,矩阵是一个有效而应用广泛的工具；在矩阵理论中,逆矩阵又一个特别重要的概念；本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨,并进一步明白逆矩阵在现代数学中的应用,以激发同学的学习爱好,让同学进一步明白逆矩阵的应用,从而提高训练教学质量；二：矩阵的逆的定义对于 n n 矩阵 A,假如存在一个 n n矩阵 B,使得 AB=BA=EE为单位矩阵,那么说矩阵 A 可逆,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵；记 A 的

5、逆矩阵为 A 1 . 三：可逆矩阵的性质 1、假如矩阵 A、B 均可逆 , 那么矩阵 AB可逆,其逆矩阵为 B 1 A 1 . 推广：假如矩阵 A1 ,A2 , A n 均可逆 , 那么矩阵 A1A2 An可逆,其逆阵为 An 1 A2 1A1 1 2、假如 A 可逆,那么 A 1可逆,且 A 1 1=A； 3、假如 A 可逆,那么 A 可逆,且 TA T 1A 1 T. 4、 A 1 A 1 . 5、假如 A 可逆,数 0,那么 A可逆,且 A 1 1 A 1； 6、假如矩阵 A 的逆存在,那么该逆矩阵唯独；以上结论见文献 1 四：矩阵可逆的几种判别方法设矩阵 A 为 n 阶方阵,那么 A

6、可逆的充要条件有：1、存在 n 阶方阵 B,使得 AB=I；2、对 PAQ=I0,其中 P为 sn矩阵, Q为 n m矩阵, r A=n；001 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、A0；4、 A 是非退化矩阵 . 5、A的行向量列向量组线性无关；6、A可由一系列初等矩阵的乘积表示；7、A可经过一系列初等行变换列变换化成单位矩阵 I ；8、齐次线性方程组 AX=0只有零解 . 以上结论见文献 1 8五：逆矩阵的几种求法一定义法 定义：矩阵 A为 n 阶方阵,假如存在 n 阶方阵 B,使得 AB=E,那么称 A可逆

7、,称 B为 A的逆矩阵,记为A1.x 11x 12x 13, =100. 012A114求矩阵210的逆矩阵 . A1x 21x22x23解 ： 由于A 0, 所以A1x 31x32x33由定义知A1A=E,所以x 11x 12x 13012114x21x22x 23010210x31x32x 33001由矩阵乘法得x 212x 31x 12x222x 32x 32x 13x 232x 33=100. x 11x 214x 31x224x234x 330102x 11x 212x 12x222x 13x23001由矩阵相等可解得2 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16

8、页精选学习资料 - - - - - - - - - x 112;x 121;x 131. x214x231x222x 313x 331x 32122211故A142131122二相伴矩阵法A 11 A 21 A n 1定理：n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是 A A 1 1 A 12 A 22 A n 2,其中,Aij 是|A|AA 1 n A 2 n A nnA 11 A 21 A n 1中元素 aij A 12 A 22 A n 2称为矩阵 A的相伴矩阵,记作 A*,即有 A-1 = 1 |A| A*. A 1 n A 2 n A nn该定理见文献 1注 此方法适用于运算阶数较低矩阵一般不超

9、过3 阶的逆,或用于元素的代数余子式易于运算的矩阵求逆；留意 A* = Aji n n的元素位置以及各元素的符号；特a 11 a 12 a 22 a 12 A A *别地,对于 2 阶方阵 a 21 a 22,其相伴矩阵为 a 21 a 11 . 对于分块矩阵 A B,上述求相伴矩阵的规律不适用 . C D1 3例 2：已知 A,求 A-1. 1 2解: A = -1 0 A = 2, A =1,A21= 3, A22=13 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A-1 = 1 |A| A* = 23231111三行

10、列 初等变化法设 n 阶矩阵 A,作 n 2n 矩阵,对该矩阵作初等行变换,假如把子块 A 变为 I ,那么子块 nI变为 A 1,即由 A,E 作初等行变换得 E,A-1 ,所得的 A 1即为 A的逆矩阵 . 注 对于阶数较高的矩阵n3,用初等行变换法求逆矩阵,一般比用相伴矩阵法简便 . 用上述方法求逆矩阵,只答应作初等行变换 . A 初等列变换 E也可以利用E A 1 求得 A的逆矩阵 . 初等行变换 1 A 初等列变换 E假设矩阵 A可逆,可利用 A B E A B , 1C C A得 A-1B 和 CA-1. 这一方法的优点是不需求出换,即求出了 A-1B 或 CA-1. A 的逆矩阵

11、和进行矩阵乘法仅通过初等变例 3：用初等行变换求矩阵A223的逆矩阵 . 110121解：A E022310011100103110010110010223100011011112100112100104312010210014301101101015300116400116414所以A1153164四用 Cramer法就求矩阵的逆4 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - a x 11 1a x2a1 nx nb 1a x 21 1 a x 2 a 2 n x n b 2假设线性方程组 a x 1 a n 2 x 2

12、a x n b 的系数行列式 D | a ij n | 0,就此方程组D 1 D 2 D n有唯独的一组解 x 1D , x 2D , , x nD . 这里 D 是将 D 中的第 i 列 a 1 , , a 换成 b 1, , b 得到的行列式 . 定理 1 假设以 1 = 1 , 0 , 0 , , 0, 2 = 0 , 1 , 0 , ., 0, ., 3 = 0 , 0 , , 1 表示 F nF n表示数域 F上的 n维行向量空间 上的一组标准基 , 那么 F n中任一向量 = a 1 , a 2 , , a n 都能且只能表示为 : =a1 1 + a 2 2 + + a n n的

13、形式, 这里 ai Fi = 1 , 2 , , n. 定理 2 假设称矩阵 A与矩阵 B相乘所得的矩阵为 AB,以A的第i 行右乘以 B,其乘积即为矩阵AB的第i 行. 求 矩 阵 的 逆 可 用 以 下 方 法 : 令 n 阶 可 逆 矩 阵 A=aij ,A 的 行 向 量 分 别 为1, 2, , n, 其中 1=a 11,a 12, ,a 1n,i=1,2, ,n, 由定理 1得 : 1=aij ji = 1 , 2 , ., n ,解方程组1, 2, ., n为未知量 , 由于系数行列式D jD=|A| 0 由于A 可逆, 所以, 由Cramer法就可得唯独解 : j = bj1

14、1+ bj2 2+ .D+ b jn nj = 1 , 2 , ., n . 其中Dj 是用方程组的常数项 1 , 2, ., n替换行列式 D的第 j 列的元素得到的 n2可得: BA = I I 以上定理见文献 1 、 7 、8下面举例说明这种方法 . 111为单位矩阵 , 从而有 A-1= B. 其中B=bij . 例4：求矩阵A02,2,的逆矩阵 . 1,2,3表示为：3,由标准基110解：矩阵 A的行向量为125 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1123解以1,2,3为未知量的方程组得：12122123

15、1332312111223632111213363311213331所以A363111363111333五解方程组求逆矩阵由可逆矩阵的上三角 下三角 矩阵的逆仍为上三角 下三角 矩阵 , 且对于上 下三角矩阵的逆矩阵, 其主对角元分别为上 下 三角矩阵对应的主对角元的倒数 , 可设出逆矩阵的待求元素 ; 又由 A-1A = E 两端对应元素相等 , 依次可得只含有一个待求元素的方程 , 因而待求元素极易求得 , 此法常用元素待求上 下 三角矩阵的逆矩阵 . 例5： 求A1000的逆矩阵 . 120021301214解：设6 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学

16、习资料 - - - - - - - - - 1000X21100, 2A1X3110X323X41X42X4314先求 A-1 中主对角线下的次对角线上的元素X21,X32,X43,X ,X42,X41. 1000设E为4阶单位矩阵 , 比较X211001000201200E的两端对应元素 , 得：1X31X322130311214X41X42X4340 X410 X423 X43110;解得,X431;4121 X311 X3221 00;解得,X431;320 X412 X421 X4320;解得,X425;441 X411 X422 X4310;解得,X43148及所求的逆矩阵为A110

17、001100221110263151184124六求三角矩阵的逆的一种方法7 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - t11t 12t 1n1t1 n定理：假设假如 n阶矩阵T0t220t2n1t2n可逆,000tnn就它的逆矩阵为Tt111t1120t 1111 n1t 1111n110t221t2212n1t2212n000tnn1其中例6： 求上三角阵ii1ti1i1t ii1,i1,2,n1,n2;j3,4,n1ij11 t t ij3i kj1 kj ik kk t t,i1,2121A0113 5的逆矩阵 .

18、 0020002解：由定理知12t1t123212211 t t 33 23232131 t t 33 131 23 12 t1 t 2215t t 44 34342241 t t 44 2434 23 t1 t 334141 t t 44 141 24 12 22 t t1 34 13 33 t t28 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13212A101112400152400012七用分块矩阵求逆矩阵设矩阵 A 为 m阶可逆矩阵, B为 n 阶可逆矩阵,就：AC1A1A CB 11AO1A11OA01A101

19、OB1DB0BOB1B DA 1B10BOAOB1BO2A1O100例 7：已知A3200,求 A-1. 57181316解：将 A 分块如下：A2100A 11O32005718A 22A 211316可求得A 221A 111|* A 11|121,A 221* A 22|168732211A 11|A 22A A 11168521572111332229 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2100A1A 22A 1111O1320057341A A 11A 22221122八用恒等变形法求矩阵的逆有些运算题

20、看似与求逆矩阵无关, 但实际上却能发觉, 这些题是运算需要求出逆矩阵的,需将给定矩阵等式作恒等变形,且通常化为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式；例8：已知A6E ,试求A 并证明A1AA , 其中13A1A 11, 而 A为A2 32 1. 解: 由A6E ,得A6EA6A16A622A A 11E ,故13A1A ,所以A 1122正交矩阵 , 3122九拼接新矩阵：在可逆矩阵 A的右方补加上一个单位矩阵E, 在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在 A的右下方补加上一个零矩阵O, 使其负单位矩阵 -E化为零矩阵 , 那么原先的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵 A-1. 0 1 2例9：

21、求矩阵 A 1 2 1 的逆矩阵 A-1. 1 3 20 1 2解: 由于 A 1 2 1 1 0,所以 A 1 存在1 3 2A E构造矩阵 有：E O10 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 012|100121|010132|001100|000010|000001|000将第一行依次乘以 -2 ,-3 和1,分别加到其次行、第三行和第五行,得：012|100103|210104|301100|000002|100001|000将其次行依次乘以 -1 和1,分别加到第三行和第四行,得：012|100103|2

22、10001|111003|210002|100001|000再将第三行依次乘以 -3 、2和-1 ,分别加到第四行、第五行、第六行,得：01A2|114030103|210001|111000|143000|122000|111故：1122111十 . 用Hamilton-Caley 定理求逆矩阵11 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - Hamilton-Caley 定理 : 设A是数域 P上的 n阶矩阵n n 1f E-A a 1 a n a n 为A的特点多项式,就 f A E-A A n a A 1 n 1

23、a A n a E n 0所以 1 A n 1 a A 1 n 2 a n 1 Ea n由此,可知 A 1 1A n 1a A n 2a n 1 Ea n2 2 4例10：已知 A 2 3 2,求 A-1. 1 1 13 2解： A 的特点多项式 f E-A 4 7 10由Hamilton-Caley 定理可知,f A A 34 A 27 A 10 E 05 2 16所以 A 1 1 A 24 A 7 E 1 0 2 410 105 0 10十一 . 和化积法对于有些涉及矩阵和的问题,要先判定方阵之和A+B的非退化性,并求出它的逆矩阵；就此时 A+B可直接转化为A+BC=E的形式 , 从而得出

24、结论,A+B非退化,且1 A B =C.或将 A+B表示为几个已知的非退化阵之积,并得出它的逆矩阵 . K 1例11. 证明 : 假如 A =0, 那么 E-A是非退化的,并求 E A . 证明：由于 E A E A A 2A K 1 E ,所以 E A 是非退化的,且1 2 K 1 E A = E A A A . 六：逆矩阵在编码解码方面的应用矩阵密码学是信息编码和解码的技术,其中一种利用了可逆矩阵的方法；第一,在26个英文字母和数字之间建立对应关系,例如,可以是12 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B

25、Y Z ,15,14,5,25 ,其中 5代表字1 2 25 26 使用上面的代码,就该信息的编码是19,5,14,4,13母E；遗憾的是,这个编码表示的对应关系较为简易,人们很轻易就能破译；假如一个信息编码比较长, 那么人们会找出那个显现频率最高的数值,并且猜出它代表哪个字母；比方,以上编码中,显现次数最频繁的编码值是5,所以人们很自然地会认为,5代表字母 E,因由统计规律我们可以知道,在英文单词中,字母 E显现的频率最高；利用矩阵的乘法,我们可以对英文信息“SEND MONEY” 进行加密,让其由明文转换成密文,然后再进行传递发送；这样,信息一经处理,就能有效地对非法用户破译编码增加肯定的

26、难度,而又为合法用户找到一条轻松解密的途径；假设存在一个矩阵 A,它的元素均为整数,而且它的行列式 A = 1. 那么由相伴矩阵求逆公式 A 1 1A * 可知,A 1的元素也都是整数； 我们可以通过这样的方法,A利用矩阵 A 来对明文进行加密,从而增加加密之后的密文的破译难度；现在取用三列将明文“121A=253232SEND MONEY” 所对应的 9 个数值按以下方法排列,可得矩阵19414B=5135141525矩阵乘积13 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12119414434549AB=253151

27、35105118128232141525817793对应上数矩阵,发出去的密文编码为43,105,81,45,118,77,49,128,93,合法用户可用 A-1左乘上述矩阵,即可得到明文从而解密；为了构造“ 密钥” 矩阵 A,我们可以进行有限次的初等行变换,从单位阵 I 开头对矩阵作变换,为了便利,通常我们只用某行的整数倍加到另一行；这样,我们可以得到一个元素均为整数的矩阵A；并且由于 =1,我们可以知道1 A 的元素也必定都是整数；参考文献1 王萼芳,石生明 . 高等代数第三版M. 北京：高等训练出版社,2003. 2 闫晓红 . 高等代数全程导学及习题全解 M. 北京：中国时代经济出版

28、社,2006. 3 同济高校数学系 . 线性代数第五版. 北京：高等训练出版社,2007. 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 同济高校 . 高等代数与解析几何M. 北京 : 高等训练出版社,2005. 5 郭大钧等 . 吉米多维奇数学分析习题集解第三版M. 济南 : 山东科学技术出版社,2005. 6 刘丽,林谦,韩本三等. 高等代数学习指导与习题解析M. 成都 : 西南财经高校出版社,2022. 7 白述伟 . 高等代数选讲 M. 哈尔滨黑龙江训练出版社.1996. 8. 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页