2022年高三解析几何专题复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高三解析几何专题复习 瑞安中学 吴直爽平面解析几何的基本思想是用坐标方法讨论几何图形性质；通过合理地建立坐标系,把点和 坐标、曲线和方程等联系起来,达到了形和数的结合；同时平面对量具有代数与几何形式的双重 身份,它融数、形于一体,已成为中学数学学问的一个重要交汇点,平面对量与解几交汇自然贴 身,一脉相承,是新课程高考命题的必定趋势；一、 明确考试要求,把握试题特点；1、高考要求（略）2、试题特点：综观近几年的新课程卷,试卷中解几分值占 20%,挑选题、填空题 23 题,主要考查圆 锥曲线的标准方程及简洁几何性质等三基内容,解答

2、题就综合考查同学的“ 四大才能”,题 型环绕解几的两大基本问题求轨迹方程和讨论曲线性质进行命制,或两者综合考查只是常把求轨迹隐匿于性质讨论中,如全国97 年、 20XX 年、 20XX 年等；近几年仍融入向量刻画的背景,其实质是对直线与圆锥曲线的性质作进一步的深化探究,是代数、向量、三角、几何学问的综合应用；试题对解几内容的考查主要表达了函数与方程,等价转化、数形结合 等重要数学思想；分析试题总特点“ 重基础、重素养、重才能”；二、复习的想法1、从思想方法高度重新熟识基本概念、公式；数学概念是数学学问的主体,是揭示数学规律的基本单元,在解几教学与复习中,必需透彻 懂得概念,把握概念、公式所反映

3、的数学本质,这是把握基本学问、技能、思想方法的前提；例 如解几中两点间距离、点线距离、三点共钱、四点共圆、直线平行、垂直、直线的斜率、直线的 夹角、线段的比、图形的轴对称性,中心对称性等等问题都会是解几中要讨论的对象,对此我们 第一必需深刻体会教材中是如何用代数形式来实现这些重要几何概念、几何位置关系的；在今后 再如解几中仍常会遇见两点 综合问题中遇见这些几何表述时是否能娴熟转化为代数形式来处理；A 、B 关于直线 L 对称和直线与圆锥曲线位置的判定等几何问题；这些几何问题放在坐标系中是 如何通过曲线与方程概念得到转化的；用解几的基本思想高度熟识问题,可以大大提高分析转化 问题的才能；如：判别

4、式 位置 直线（几何）转化 直线方程 消 y px 2+qx+r=0 （q 0） 求根公式 交点 圆锥曲线 曲线方程 韦达定理 弦长、弦中点等点 A、 B 关于直线 L 对称（几何）转化（代数）AB 中点坐标满意直线 L 的方程 K ABK L=-1 另外坐标系中的几何对象、点的坐标、线段的长、直线的斜率、三点共线、直线的平行与垂 直、直线的夹角、线段的比等,转化为向量形式又各是如何刻划,也需熟识并进行一一总结；因向量方法可以其特殊的解题方式给解题供应一种新的思维视角,使相应的数学工具和教学语言更加丰富、应用形式更加敏捷、多样 ,与解几融合将能考查同学多方面的才能与水平；2、重视曲线与方程的复

5、习 环绕解几两大基本问题,通过一些典型问题的剖析、逐步形成一些方法系统,同时,能熟识 这些方法的应用情境,使同学对常见的基础问题始终“ 有规可循、有法可依” 这是同学突破解几问题的关键, 不管问题背景如何综合新奇、设问如何奇妙, 用解几基本思想方法,进行联想总是,可以实现有效转化的；（一）求曲线的方程：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分为两类问题：一类是知曲线的外形求标准方程,通常用待定系数法,表达方程思想,此法同学较为熟识, 另一类是不知曲线外形位置求动点的轨迹方程,常见的求法有： 直译法、 定

6、义法、几何法、转移法、点差法（05 年上海春）、交轨法（ 03 年）、参数法（ 99 年）、对称曲线求法等；我想其次轮复习可重点放在定义法、点差法、参数法的强化训练上；如有些轨迹题借条件可用定义判定外形,但同学总是把握不好,特殊是双曲线定义（比如一模解几题）；而对参数法求轨迹方程更是难点,这里是否挑选参数法去解、挑选什么参数,如何消参及变量范畴等等都需要较强分析问题才能,建议举些可多角度挑选不同参数形式的典型问题去熟识参数,总结常见的参数选择：如挑选点参数（一般点、参数点）,直线的斜率k,截距 b,倾斜角、直线参数方程中t,角（旋转角） ,线段的比入等等参数来沟通动点p（x、y）的坐标；以下我

7、总结的这些问题及解法,同学应当有肯定熟识程度；老师可以总结归纳得更多；1、已知 A ：x-22+y2=1 B：x-22+y2=4,分别求满意以下条件的点P（x、y）的轨迹方程； APB 周长为 10, PAB 中 SinA-SinB= 1 2 sinP P 与 OA 相外切且过定点 B（2,0） P 与 A 外切且与直线 L ：x=L 相切 P 与 A、 B 都相切2、已知 A 1,0 B1,0 ,分别求动点 P 满意以下条件的轨迹方程并指出轨迹外形：K PAkPB=m |PA| |PB| =m（m0） PBA=2 PAB APB=45 |PA| 2 |PB| 2=m |PA| |PB|=2m

8、 |PA|-1|=|PB|-3| PAB 中 PA 边上的中线长为 m；3、在圆 O：x 2+y 2=r 2 中过轴上点 M 作 MN/X 轴,交圆 O 于 N, O 与 X 轴正半轴交于 A 点,求线段 AM 与 ON 交点 P的轨迹方程解一：考虑到点P 位置随着点M 在轴上位置的变化而变化,故可选点 M 的纵坐标 t 为参数,N动点 P（x,y ）2+y2=r2 上可设圆心角AON= 为参数就解二： N 点在圆 x（rcos ,rsin ）解三：可设直线 ON 的斜率 k 为参数解四：留意到点 P 位置随平行线 MN 的变化,即随|NP| |PO| =|MP|= 的变而变,可选 为参数,设

9、 P（ x,y）, N（x 0, y0）（二）讨论曲线性质的常见问题和方法依据曲线的方程讨论曲线的性质是解几的另一个基本问题,也是各类考题中的热点问题之一；讨论曲线性质问题常见有：直线与圆锥曲线的位置关系,有关点的范畴、线段长（弦长、点线距等）、直线的斜率 K 、倾斜角、截距,角、线段的比,图形面积及与圆锥曲线有关的重要基本量 e、a、 b、c 等对象的范畴,最大小值,定值等；求解的策略：（1）定义法与几何法（2）函数、方程、不等式法；前者常运用曲线的定义和几何性质,再进行代数运算,而且对题目条件和结论能明显表达几何特点的意义,就考虑用图形性质、定义等来简捷求解,例如椭圆、双曲线、抛物线的定义

10、有着明显的几何意义,它们与“ 线段的长”（焦半径、长轴、焦距等）及“ 线段的比值” （定点、定直线、比值）等有着非常紧密的关系,应善于运用定义法或几何方法求解,它侧重从形的角度去讨论曲线性质；其次轮仍要总结归纳熟识一些常见问题求解；后者常直接转化为代数形式,并尽量运用削减运算量的运算技巧（如韦达定理、点差法等）来求解,此法从“ 数”的角度去讨论曲线的性质,这恰恰是解几的最基本的,也是最重要的思想方法；例 1：关于一些常见最值问题求解及策略名师归纳总结 1、已知两点 A（-2,2）,B（-3,-1）,试在直线L:2x-y-1=0 上分别求出符合以下条件的点P：第 2 页,共 6 页- - - -

11、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载使 APB 为最大使 |PA|+|PB|为最小使 |PA|-|PB|为最大使 |PA| 2+|PB| 2 为最小2、已知实数x,y 满意 x2+y-12=1,分别求最大、小值：求（x+2 ）2+y+12x+y |2x-y-3| y+1 x+2使 x+y+m 0 恒成立的m 范畴3、求圆锥曲线上的动点与（i）某定点距离的最值（90 年解几题）（ i i）定直线距离的最值（97 年）（i i i ）某定圆上点的距离的最值2 24、已知定点 A （x0,y0）,椭圆 x a 2 + yb 2 =1, F 为椭圆的一个焦点,

12、试在椭圆上找一点 P 使 |PA|+|PF| e 最小值 使 |PA|+|PF|值最大、最小；类比双曲线,抛物线能否构造类似命题？5、圆锥曲线中定长弦中点到准线距离最小值问题；6、在圆锥曲线的内部求出一个半径最大的圆,使与曲线相切其中一个顶点；7、与圆锥曲线性质有关的量最值问题,角的最值,围成多边形面积最值等；例 2、解几中重要参变量取值范畴问题的求解方法；此类题综合性强,且确定参变量取值范畴的不等量关系也较为隐匿,因而给解题带来诸多困难,其次轮复习有必要通过典型问题总结和归纳如何查找和挖掘不等量关系的一些方法,突破这一难点：下面是一个老题,此题解法角度较多有肯定代表性,同时也可绽开讨论性复习

13、；例1、2 已知椭圆 C：x a 2 +y2F1,F2,假如曲线C 上存在点 P,使2 =1（ab0）的两焦点为bPF1PF20,求椭圆离心率e 的变化范畴解一：依据圆锥曲线的变化范畴,建立含参数不等式：2c 2-a 22e 2-a 22令 Qx 0,y0 y 0 0 可得 x0= e 2| x0|a 0e 2a 求得 2 e1 解二：选参数点利用弦函数有界性建立不等式,设由垂直关系建立 e 与 sin 2 关系 得 sin 2 = 1 e 2 -1 0e 12 -11 解三：利用圆锥曲线的定义与几何性质 |PF1|=r1,|PF2|= r2r1 2+r2 2=4c 2r1 + r 2=2a

14、r1 ,r2是方程 t 2-2at+ a 2- c 2=0 两实根r1 + r 2=2a r 1 r2=2a 2- c 2 =4 a 2-8a 2- c 20 求得或：用基本不等式 r1 2+r 22 2（r1+r22）2 构造不等关系；解三：利用曲线交点特点（方程组解有实数解）建立不等关系由x2+y2=4c2有实数解得b2-a 2x2=a 2b2-a 2c 2 ab 有实数解b2x2+a 2y2=a 2b2 a 2b2-a 2c2 0 求得解四：几何法名师归纳总结 可知 F1PF2 为最大角 且须有 F1PF2= 2 2 40 第 3 页,共 6 页2 e=c a =sin 2sin 4 =

15、2e1 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线离心率e=c a学习必备欢迎下载同时因它是一个重要元素, 它的变化会直接导致曲线外形和类型的变化,是圆锥曲线统肯定义中的三要素（定点、定直线、定比）之一,因此圆锥曲线的某些性质及其变化可通过 e 的变化来遥控,从而使其成为以圆锥曲线为载体,集函数、方程、不等式于一体的问题；从今题的多向摸索解答可以体会查找不等关系的常见方法,在此仍可以总结如下：（1）、运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系（如 05 全国 21 题）（2）依据圆锥曲线的交点特点即方程有实数解建立不等式（如 直线与圆

16、锥曲线位置动身,利用一元二次方程实根存在条件如（3）依据圆锥曲线的变化范畴,建立不等关系（如上例）（4）借助定义和几何直观挖掘不等关系；（上例）再附几题,供复习参考02 全国 21 题及上例）；（从 04 全国 23 题）；1 以 A为圆心,以2cos42为半径的圆外有一点B ,已知| AB|2sin；设过点 B 且与圆 A外切于点 T 的圆的圆心为 M ；（）当 取某个值时,说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线；（）点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A 上的动点,把 | MN | 的最小值记为 f （不要求证明）,求 f 的取值范畴；（）如将题设条件中的 的取值范畴改为 0,点 B

17、的位置改为圆内, 其它条件不变,4点 M 的轨迹记为 P ；试提出一个和原问题具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）；（I）轨迹 P 是以 A, B 为焦点,2 cos 为实轴长的双曲线的右支；（II ）0 f 1 III （1）当 取某个值时,说明点 M的轨迹P是什么曲线；（2）点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A上的动点,把 | MN | 的最小值记为 f （不要求证明）,求 f 的取值范畴； ）此题全面考查明白析几何的基本思想,综合了三角函数学问,仍有探究才能；2 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点Mm ,0 m0,端点A,B到 x 轴的距离之积为3 m,以 x 轴为对

18、称轴,过A,O ,B作抛物线；yA （ I）求抛物线方程； （II ）如直线 AB 的斜名师归纳总结 率为1 ,求当 20m3时,tanAOB的2）O B M x第 4 页,共 6 页取值范畴；xII2AOBarctan（Iy23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3椭圆C1:x2y21 ab0学习必备欢迎下载F1、F2,右顶点为A ,M 为椭圆 C1 上的左、右焦点分别为a2b2任意一点,且|MF1|MF2|的最小值为3 a ；4值：（ I）求椭圆 C1的离心率；（II ）设双曲线C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点；在第一象限内任取双曲线C2

19、 上一点P,试问是否存在常数0,使得PAF1PF1A恒成立？证明你的结论；Ie1II 假设存在适合题意的常数0 ,先来考查特殊情形下的2此时=2 以下证明当PA 与 x 轴不垂直时,PAF1=2PF1A 恒成立 . 3、加强向量与解几的综合运用 平面对量的概念、性质以及运算都有着明显的几何变化,因此向量与几何图形（特殊是点、直线斜率、线段长、线段比等）,以及图形间的位置关系（如点共线、两线平行、垂直、夹角等）的联系是非常紧密的；而平面对量的坐标表示又架起了其与解几何之间的桥梁,使得这两分支之间建立了联系；从“ 运算” 的意义上懂得向量的加、减、数乘、数量积等运算,通过运算的几何意义可将其换成平

20、面图形间的“ 变换”,通过坐标运算又可转换为“ 实数” 意义下的运算,这种,“ 转“ 运算”间的相互转换构成平面对量、平面几何、 解析几何的相互转化,渗透着“ 数形结合”化” 等重要的数学思想方法；平面对量与平面解析几何学问融合在一起的考查,成为了对平面解析几何考查的热点,这在全国新课程试卷中表达是充分的,04 全国、 03 年、 02 年新课程卷都融入向量,甚至也可以把向量作为解几问题的有力武器；估量我省对两者的综合性也可能会加强,其考查的重点着重 在如何将平面对量条件等价转化成平面解几的相关条件,然后用解几方法去解,或直接借向量运 算去求解；解题的关键在于如何运用向量及运算的几何意义,坐标

21、运算等基础学问实现转化；第二轮复习要挑选适当两者综合的问题加以训练,着重总牢固现转化的途径和方法,这里不再举例；4、关注讨论性学习,培育探究精神和创新实践才能 高考仍将增加综合性、探干脆、开放性等“ 才能型” 试题,加大对探究精神和制造才能的考 查,其本质是突出对探究精神,制造才能与综合素养的考查,同时讨论性课程作为新课程和必修 课,已成为高考一项内容,今后将会有所表达；鉴于此解几其次轮复习可选取高考的热点或典型问题进行讨论性学习,变革教学复习方式,引导同学主动参加到数学过程中,勉励同学自主学习,合作探究,自主建构并在此过程中猎取对学问和情感的亲身体验；培育创新意识和实践才能；先举个课本高二（

22、上）P114 习题：离心率e= 2 ,经过点 M（-5,3）,求适合条件的双曲线方程；1、设问：改（ i）e= 3 ii 5 iiie= 5,经过的点不变,标准方程情形如何？2（i）一种情形、焦点x 轴上,（ii ）两情形、焦点x、y 轴上都可解；（iii ）双曲线不存在；（）当离心率为何范畴时,经过点 两种情形？M （-5,3）的双曲线的标准方程可能不存在,一种情形,2、设问：（i）如 e = 3 M -5 ,4 就双曲线有两情形ii 如 e = 2 5 M 1 ,3 就双曲线有两情形iii 离心率 e 相对不变,经过什么区域内的点时双曲线的标准方程名师归纳总结 - - - - - - -第

23、 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载为一种、两种,也有可能没有？再如已知抛物线y2=2pxp 0,过 O 点作两相互垂直的直线OA 、OB 交抛物线于A、B,求证：直线 AB 恒过肯定点；1、讨论不同的解法；表达多向思维在分析解题中的作用,沟通学问间的关系；2、探究变题逆命题是否正确？正确赐予证明,不正确,说理由,直线 OB 成立的充要条件吗？AB 恒过点（ 2P ,0）是 OA 对定理中的 OA OB ,变为 KOAK OB= m（m 0）又如何？充要条件仍为直线恒过定点（-2p m,0）过原点的两弦变为抛物线 y 2=2pxp 0上任意一

24、点（ x 0, y0）又如何？a、PAPB,充要条件为直线AB 过定点 P（ x0+2P、 - y0）b、K OA KOB= m（m 0） P（ x0-2p m、- y0）对抛物线成立的命题类似地对于其他圆锥曲线是否仍能成立？过椭圆2 xa 2 +y2PAPB,2 =1 上任意点 P（x 0, y0）作相互垂直两弦b就直线 AB 恒过定点（aa 2+b 2-b 22 x0 , b a 2+b 2-a 22 y0）双曲线2 x ya 2 -b2aa 2+b2-b 2 x 0 ,a2a 2+b2-b 22y0）2 =1 （这种对作问题的形式结构和数量关系进行讨论,利用变式探究、挖掘、概括、引申获得

25、问题 的一般性结果,使得特殊问题一般化,零数学问规律化；3、讨论问题的辐射及应用价值 对上讨论成果进一步探究其在其他情境中的应用价值,仍可以更深刻熟识其他问题；原命题中（ 1）求弦 AB 中点轨迹方程（2）如 AOB 的平分线交AB 于 P,求点 P 的轨迹方程,对这些问题总结各种解题方法和探究方法都有肯定代表性；如从抛物线的切线有关性质上进行发散是否能发觉些新的结论：如已知抛物线 x 2=2py 的焦 点为 F,准线为 L,过 L 上一点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A、 B,如提出如下三个猜2 想：（ 1）直线 PA、 PB 恒垂直；（ 2）直线 AB 恒过定点；（3）等式 FA FB FP 中的 恒为常数,现请你一一进行论证；此例可知讨论性复习课的学问容量大,思维新,具有肯定创新意识,可以防止传统复习中那种单调重复的低效益；同时也给我们获得了探究数学问题的一些方法如“ 逆命题”探究和“ 类比”探究；学会提出问题比学会解决问题更重要；如师生常常一起来挖掘课本资源,多从数学问题的 背景入手,多角度去探究,去摸索,提出更多更深刻的问题,可以激发探究的热忱,开发同学的 庞大潜能,从而培育创新意识和实践才能,使师生共享探究性学习数学的情感体验；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页