2022年向量知识点归纳与常见题型总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载向量知 识点归纳与常见题型总结一、向量学问点归纳1与向量概念有关的问题向量不同于数量,数量是只有大小的量（称标量）,而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小 . 记号“a b ” 错了,而| a | | b | 才有意义 . 有些向量与起点有关,有些向量与起点无关 . 由于一切向量有其共性（大小和方向） ,故我们只讨论与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时,可平移向量 . 平行向量（既共线向量）不肯定相等,但相等向量肯定是平行向量单位向量是模为1 的向量,其坐标表示

2、为（x,y）, 其中 x 、 y 满意x2y21（可用（ cos,sin）（02 ）表示） . 特殊：AB表示与 AB 同向的单位向量；例如：向量|AB|AB|AC|0所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在ABAC直线 ；例 1、O是平面上一个定点, A、B、C不共线,P满意OPOA|AB|AC0,.ABAC就点 P 的轨迹肯定通过三角形的内心；变式 已知非零向量 AB 与AC 满意 AB|AB | + AC|AC | BC =0 且 AB|AB |AC AC | =1 2 , 就 ABC 为 A. 三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 06

3、陕西 0 的长度为 0,是有方向的,并且方向是任意的,实数 0 仅仅是一个无方向的实数 . 有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段 . （7）相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ； 2与向量运算有关的问题向量与向量相加,其和仍是一个向量. （三角形法就和平行四边形法就）当两个向量a 和 b 不共线时, ab 的方向与 a 、b 都不相同, 且 | aab | | a | | b | ；当两个向量a 和 b 共线且同向时, ab 、a 、b 的方向都相同, 且|b|a|b|；当向量 a 和 b 反向时,如 | a | | b | ,ab与 a 方向相

4、同,且 |ab|=| a |-|b | ；如| a | | b | 时 ,ab与 b方向相同,且 | a b |=| b |-|a |. . 向量与向量相减,其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算三角形法就适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法就适用于共起点的向量求和；名师归纳总结 ABBCAC;ABACCBCBPAPB,R ,就 P 肯定在（）第 1 页,共 5 页例 2：P 是三角形 ABC 内任一点,如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、ABC 内部AB2学习必备欢迎下载B、AC 边所在的直线上C、AB 边上D、BC 边上0,就 AB

5、C是： A.Rt B. 锐角 C. 钝角 D. 等腰 Rt例 3、如ABBC,sin,b3 ,1,求|2ab|的最大值；例 4、已知向量acos分析：通过向量的坐标运算,转化为函数（这里是三角）的最值问题,是通法；解：原式 =|2cos3 ,2sin1 |2cosZ322sin12=88sin3；当且仅当2 k5k时,|2 ab|有最大值4 .6评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“|a|b|ab|a|b|” 就显得简洁明快；原式|2 a|b|=2|a|b|2124,但要留意等号成立的条件（向量同向）；围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量 . 如, AB BC CA 0

6、 , （在 ABC中）AB BC CD DA 0 . ABCD中 判定两向量共线的留意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量 a、bb 0 ,a b存在实数 使 a= b假如两个非零向量 a , b ,使 a = b （ R）,那么 a b ；反之,如 a b ,且 b 0,那么 a = b . 这里在 “ 反之”中, 没有指出 a 是非零向量, 其缘由为 a =0 时,与 b 的方向规定为平行 . 数量积的 8 个重要性质两向量的夹角为 0 . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值,其射影值可正、可负、可以为零,故向量的数量积是一个实数 . 设 a 、 b 都是

7、非零向量,e 是单位向量,是 a 与 b 的夹角,就e a a e | a | cos . | e | 1 a b a b 0（=90 ,cos 0 在实数运算中 ab=0 a =0 或 b=0. 而在向量运算中 a b =0 a =0 或 b =0 是错误的,故 a 0 或 b 0 是 a b =0 的充分而不必要条件 . 当 a 与 b 同向时 a b = | a | | b | =0,cos =1;当 a 与 b 反向时,a b =-| a | | b | = ,cos =-1 ,即 a b 的另一个充要条件是| a b | | a | | b | . 当 为锐角时, a b 0,且 a

8、 b、 不同向,a b 0 是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时, a b 0,且 a b、 不反向,a b 0 是 为钝角的必要非充分条件 ；名师归纳总结 例 5. 如已知a2,b3,2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是第 2 页,共 5 页_（答：4或0 且1 3）；3例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量,ai2j,bij；且 a 与 b 的夹角为锐角,求实数的取值范畴；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习必备欢迎下载分析：由数量积的定义易得“a,bab0” ,但要留意问题的等

9、价性；解：由 a 与 b 的夹角为锐角,得ab120 .有1.2而当atb t0 ,即两向量同向共线时,有t12得2 此时其夹角不为锐角；t故,22 ,1. 2评析： 特殊提示的是：a,b是锐角与ab0不等价； 同样a,b是钝角与ab0不等价；极易疏忽特例“ 共线”；特殊情形有aaa2=| a|2；或| a =aa=a2=2 xy2. 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 x ,y ,2x ,y2, 就| a =x 1x22y 1y22|ab|a|b|；（因cos1）数量积不适合乘法结合律. 如 ab ca bc .（由于ab c与 c

10、 共线,而a bc 与 a 共线）数量积的消去律不成立. 如 a 、 b 、 c 是非零向量且acbc并不能得到ab这是由于向量不能作除数,即1 是无意义的 . c6 向量 b 在 a 方向上的投影bcosaba7 1e 和e 是平面一组基底, 就该平面任一向量a1e 12e 21,2唯独 特殊： . OP 1 OA2OB就121是三点 P、A、B 共线的充要条件. 留意：起点相同,系数和是1；基底肯定不共线例 7、已知等差数列an的前n 项和为S ,如1 BO2a 1OAa 200OC,且 A、B、C三点共线（该直线不过点O）,就 S200（）A50 B. 51 C.100 D.101 例8

11、、 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A3 1, ,B3,1 , 如点 C 满意OC1OA2OB, 其中1,2R且121, 就点 C 的轨迹是 _（直线 AB）例 9、已知点 A,B,C 的坐标分别是1,3 ,5 ,2,2t,2t.如存在实数, 使OCOA1 OB,就 t 的值是 :A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D.不确定例 10 以下条件中,能确定三点A,B,P不共线的是：A MPsin220MAcos220MBBMP2 sec20MAtan220MB第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - CMPsin220MAP学习必备欢迎下载MPcsc23

12、1MAcot231MB且cos270MBD分 析 ： 本 题 应 知 ：“A,B ,共 线 , 等 价 于 存 在,R 使MPMAMB1” ；8 在 ABC 中 ,PG 1 3 PA PB PC G 为 ABC 的 重 心 , 特 别 地PA PB PC 0 P 为 ABC 的重心；AB 1BC AD 就 AD过三角形的重心；2例 11、设平面对量 a 、a 、a 的和 a 1 a 2 a 3 0；假如向量 1b 、2 b 、 3 b ,满意 b i 2 a i,且 ia 顺时针旋转 30 o 后与 ib 同向,其中 i 1,2,3,就（ D）（ 06 河南高考）Ab 1 b 2 b 3 0

13、B b 1 b 2 b 3 0Cb 1 b 2 b 3 0 Db 1 b 2 b 3 0 PA PB PB PC PC PA P 为 ABC 的垂心；向量 AB AC 0 所在直线过 ABC 的内心 BAC 的角分线所在直线 ；| AB | | AC | | AB PC | BC PA | CA PB 0 P ABC的内心； 选 SAOB1 x A y B x B y A ; 2例 12、如 O 是 ABC 所在平面内一点, 且满意 OB OC OB OC 2 OA ,就 ABC的外形为 _（答：直角三角形） ；例 13 、 如 D 为 ABC 的 边 BC 的 中 点 ,ABC 所 在 平

14、面 内 有 一 点 P , 满 足P A B P C P 0,设| AP |,就 的值为 _（答： 2）；| PD |例 14、如点 O 是ABC 的外心,且 OA OB CO 0,就内角 C 为_（答： 120 ）；9 、 P 分 P 1P 2 的比为 , 就 P1 P = P P 2 ,0 内分 ;0 且 -1 外分 . OP OP 1 OP 2 ; 如 1 就 OP 1 OP + OP ; 设 Px,y,P 1x 1,y 1, 1 2x x 1 x 2, x x 1 x 2, x x 1 x 2 x 3 ,P2x 2,y 2 就 1 ; 中点 2 重心 3y y 1 y 2. y y 1

15、 y 2. y y 1 y 2 y 3 .1 2 3说明： 特殊留意各点的次序,分子是起点至分点,分母是分点至终点,不能转变次序和 分子分母的位置；例 15、已知 A（4, -3 ）,B（-2 ,6）,点 P 在直线 AB上,且 |AB|3|AP ,就 P 点的坐标是（）（ 2,0）,（6,-6 ）xxh函数yfx 按10 、点P x ,y按ah ,k平移得Px,y, 就 PP a或yykah ,k平移得函数方程为：ykfxh 说明：（1）向量按向量平移,前后不变；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载-

16、与坐标轴的方向一样；（ 2）曲线按向量平移,分两步：确定平移方向按左加右减,上加下减（上减下加）名师归纳总结 例16、把函数y22 x 的图象 按向量a2, 2平移后得到的解析式是_；第 5 页,共 5 页y2x28x6例 17、函数ysin2x的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是ycos x1,就 a_（答：41,）结论：已知Ax 1,y1,Bx2,y 2,l:AxByC0, 过A,B的直线与 l 交于点 P , 就 P 分AB 所成的比是Ax1By1C, 如用此结论 , 以下两题将变得很简洁. Ax2By2C例 18、已知有向线段PQ 的起点 P 和终点 Q的坐标分别是1,1 ,2,2,如直线 l 的方程是xmym0,直线 l 与 PQ 的延长线相交 , 就 m 的取值范畴是 _. 解 : 由Ax1By1C得12m, 由于直线 l 与 PQ 的延长线相交, 故1,Ax2By2C23m解得 3 m 23变式 : 已知点 A2,-1,B5,3.如直线l:kxy10与线段 AB 相交 , 求 k 的范畴 . 提示 : 由Ax1By 1C得:2 k20及直线过端点得1k2Ax2By2C5 k25- - - - - - -