2022年高中数学数列压轴题练习及详解3.docx

《2022年高中数学数列压轴题练习及详解3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学数列压轴题练习及详解3.docx（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学数列压轴题练习江苏及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为,且.,求数列的通项公式 ; 数列满意,求数列的通项公式 ; ,使得,成等差数列 .假设存在 ,求出是否存在正整数m,m,n 的值 ;假设不存在 ,请说明理由 .解:I 设数列 的公差为 d,就由.,得, 运算得出或舍去 . ; , , , 即,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 累加得 : , 也符合上式 . 故,. 假设存在正整数m、,使得,成等差数列 , 就又, ,即 , 化简得

2、 :当,即,时,舍去 ; 成等差数列 . 当,即时,符合题意 . 存在正整数,使得,解析直接由已知列关于首项和公差的方程组 ,求解方程组得首项和公差 ,代入等差数列的通项公式得答案 ; 把数列 的通项公式代入 ,然后裂项 ,累加后即名师归纳总结 可求得数列的通项公式 ; 第 2 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假设存在正整数m、,使得,成等差数列 ,就.由此列关于m 的方程 ,求运算得出答案.,假设为数列2.在数列中,已知,1求证 :数列为等比数列 ; 2记,且数列的前 n 项和为中的最小项 ,求的取值范畴 . 解:1证明 :, 又,

3、 故, , 是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列2由1知道,有, 假设为数列中的最小项 ,就对恒成立 , 名师归纳总结 即当时,有.对; 恒成立恒成立 , 第 3 页,共 22 页; 当时,有当时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对 恒成立 . 令 ,就对恒成立 , 在时为单调递增数列. ,即综上 ,解析1由,整理得 :.由,可以知道是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列 ; 2由1求得数列 通项公式及前 n 项和为 ,由 为数列 中的最小项 ,就对 有 恒成立 ,分类分别求得当时和当 的取值范畴 , 当 时, ,利用做差法 ,依据函数的单

4、调性 ,即可求得的取值范畴 .3.在数列中,已知, , ,设名师归纳总结 为的前 n 项和 . 第 4 页,共 22 页1求证 :数列是等差数列 ; 2求; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3是否存在正整数p,q, ,使, , 成等差数列 .假设存在 ,求出 p,q,r 的值 ;假设不存在 ,说明理由 . 1证明 :由, 得到 , 就又 , , 数列 是以 1 为首项 ,以 -2 为公差的等差数列 ; 2由1可以推知 : , 所以 , , 所以 ,-,得, , , 所以名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 -

5、- - - - - - - - 3假设存在正整数p,q,使,成等差数列 . 就 , 即由于当时, 所以数列, 单调递减 . , 又所以时,且 q 至少为 2, 所以,当又, ,等式不成立 . 所以当时, 所以所以 , 所以 ,数列 单调递减 ,解唯独确定 . 综上可以知道 ,p,q,r 的值分别是 1,2,3. 解析名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1把给出的数列递推式,变形后得到新数列,该数列是以 1 为首项 ,以-2 为公差的等差数列 ; 2由1推出 的通项公式 ,利用错位相减法从而求得求 ; 3依据等差数列的

6、性质得到,从而推知 p,q,r 的值 . 4.已知 n 为正整数 ,数列满意, ,设数列满意1求证 :数列为等比数列 ; 2假设数列,使得是等差数列 ,求实数 t 的值 ; 的3假设数列是等差数列 ,前 n 项和为,对任意的,均存在成立 ,求满意条件的全部整数值. 1证明 :数列,满意., , .数列 为等比数列 ,其首项为 ,公比为 2; 2解:由1可得 : . , ,数列是等差数列 , , 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运算得出 或 12. 时,是关于 n 的一次函数 ,因此数列是等差数列. 时,不是关于

7、n 的一次函数 , 因此数列 不是等差数列 . 综上可得 ; 3解:由2得 , 对任意的.,均存在,使得, 成立 , 即有, .化简可得当,对任意的,符合题意 ; 当,当时, 对任意的,不符合题意 . ,均存在, 综上可得 ,当,对任意的使得成立 . 解析名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1依据题意整理可得,.,再由等比数列的定义即可得证; 2运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得 t,对 t 的值 ,检验即可得到所求值; ,使得3由2可得,对任意的,均存在成立 ,即有.,争论为偶数和奇数 ,

8、化简整理 ,即可得到所求值 . 5.已知常数,数列满意, , 依次成等差1假设, , ; 求的值 ; 求数列的前 n 项和2假设数列中存在三项, 数列 ,求的取值范畴 . , 解:1, , , 名师归纳总结 , , ,即从其次项起 ,数列是以 1第 9 页,共 22 页当时, 当时,为首项 ,以 3 为公比的等比数列- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数列的前 n 项和, 明显当 时 ,上式也成立 , ; 2, ,即单调递增 . , i 当时,有,于是,假设数列中存在三项,依次成等差数列,就有, 即名师归纳总结 ,.此时.因此不成立 .因此此时第 10

9、页,共 22 页数列中不存在三项,依次成等差数列 . 当时,有于是当时,.从而.于是依次成等差数列,假设数列中存在三项,就有, ,同i 可以知道 :.于是有,是整数 ,即.与冲突 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故此时数列中不存在三项,依次成等差数列 . 当 时,有于是此时数列中存在三项,依次成等差数列 . 综上可得 :解析1,可得,.同理可得,当时 ,当时,为公比的等比数列,即从其次项起 ,数列是以 1 为首项 ,以 3,利用等比数列的求和公式即可得出2,可得,即单调递增 . .利用反证法i 当时,有,于是,可得,即可得出不存在. 时,有.此时

10、.于是当时 ,当名师归纳总结 从而.假设存在,同i 可以知道 :.得出冲突 ,因此不存第 11 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在. 当时,有.于是.即可得出结论 . 6.已知两个无穷数列, 和的前 n 项和分别为, , ,对任意的,都有1求数列的通项公式 ; , ,都有.证明 : ; 的2假设为等差数列 ,对任意的3假设为等比数列 , ,求满意n 值. 解:1由,得. , 即,所以由,可以知道所以数列是以 1 为首项 ,2 为公差的等差数列故的通项公式为,2证法一 :设数列的公差为 d, 就, 由1知 ,由于,所以, 名师归纳总结

11、即恒成立 , 第 12 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,即, 又由,得, 所以所以 ,得证 . 证法二 :设的公差为 d,假设存在自然数,使得, , 就,即时, 由于,所以所以,所以存在,当由于恒成立 . 这与 “对任意的,都有”冲突 . . , 所以,得证 . 3由1知,.由于为等比数列 , 且, 所以是以 1 为首项 ,3 为公比的等比数列所以,就名师归纳总结 由于,所以,所以第 13 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而,所以,即当,2 时,式成立 ; , 当时,设

12、就, 所以n 的值为 1 和 2. , 故满意条件的解析1运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求 ; 名师归纳总结 2方法一、设数列的公差为 d,求出,.由恒成立思想可得,第 14 页,共 22 页求出,判定符号即可得证; 方法二、运用反证法证明,设的公差为 d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于 0,即可得证 ; 3运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,化简,推出小于 3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值. 7.已知数列, 都是单调递增数列,假设将这两个数列的项按由小到大的次序排成一列相同的项视为一项,就得到一个新数列1设数列, 分别为等差

13、、等比数列,假设, , ,求; 2设的首项为 1,各项为正整数 , ,假设新数列是等差数列 ,求数列的前 n 项和; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3设是不小于 2 的正整数 , ,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是假设存在 ,请给出一个满意题意的等差数列;假设不存在 ,请说明理由 . 解:1设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, ,单调递依据题意得 ,运算得出或 3,因数列增, 所以, ,且, 所以, 所以由于,2设等差数列的公差为 d,又所以,所以中的项 ,所以设,即;由于是当时,运算得出,不满意各项为正整数名师归纳

14、总结 当时,此时,只需取,而等比数列的项都第 15 页,共 22 页是等差数列,中的项 ,所以;, 当时,此时,只需取由,得是奇数 ,是正偶数 ,m 有正整数解 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以等比数列的项都是等差数列中的项 ,所以综上所述 ,数列的前 n 项和,或n,都有3存在等差数列,只需首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数, 即 成立 . 由,公差的等差数列符合题意, 所以首项解析1设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,依据题意得 ,运算得出或 3,因数列,单调递增 ,可得,利用通项公式即可得出. .2设等差数列的

15、公差为 d,又,且,所以,所以.由于是中的项 ,所以设,即当时,运算得出,不满意各项为正整数当时,当时 ,即可得出 . 名师归纳总结 3存在等差数列,只需首项,公差.下证与之第 16 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出 . 8. 对于数列 , 称 其中 , 为数列 的前 k 项“ 波动均值”. 假设对任意的 , 都有 , 就称数列 为“ 趋稳数列” .1 假设数列 1,x,2 为“ 趋稳数列”, 求 x 的取值范畴 ; 2 假设各项均为正数的等比数列 的公比 , 求证 :

16、 是“ 趋稳数列” ;3 已知数列, 都有的首项为 1, 各项均为整数 , 前 k 项的和为. 且对任意, 试运算 :.名师归纳总结 解:1依据题意可得,两边平方可得, , , , 第 17 页,共 22 页即运算得出; , 2证明 :由已知 ,设因且故对任意的,都有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - , , 因, , , , , 即对任意的,都有,故是“ 趋稳数列 ” ;3当时 , 当时,同理 , , 因 , , 名师归纳总结 即或, 或第 18 页,共 22 页所以所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于,

17、且,所以,从而, 所以,. 解析1由新定义可得,解不等式可得x 的范畴 ; 2运用等比数列的通项公式和求和公式 得证 ; ,结合新定义 ,运用不等式的性质即可3由任意,都有,可得. 9.已知首项为,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值1 的正项数列 an 满意+an+1an,nN*.1假设 a2=, a3=x, a4=4,求 x 的取值范畴；2设数列 a n 是公比为 q 的等比数列, Sn 为数列 a n 前 n 项的和,假设Sn Sn+12Sn,nN *,求 q 的取值范畴；3假设 a1,a2, ,akk3成等差数列,且a1+a2+ +ak=120,求

18、正整名师归纳总结 数 k 的最小值,以及k 取最小值时相应数列a1,a2, ,akk3的公差 .第 19 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1由题意,anan+12an, x 3,x2x,x 2,3.2anan+1 2an,且数列 a n 是公比为 q 的等比数列, a1=1,qn-1 qn2qn-1,qn-1q-0,q n-1q-2 0,q,1.SnSn+12Sn,当 q=1 时, S2=2S1,不满意题意,当 q 1时,2.,当 q,1时,即q,1.当 q 1, 2时,即,无解,名师归纳总结 - - - - - - -第 20

19、 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - q,1.3设数列 a1,a2, , akk3的公差为 d.an an+1 2an,且数列 a1, a2, , an 成等差数列,a1=1,1+n-1d 1+nd21+n-1d , n=1,2, ,k-1,d -, 1.a1+a2+ +ak=120,Sk=k2+a1-k=k2+1-k=120,d=, -,1,k 15,239, kN* ,k 的最小值为16,此时公差d=.解析【解题方法提示】分析题意,对于1,由已知结合完全平方公式可得an an+1 2an,由此名师归纳总结 可得到关于a2, a3,a4 的大小关系,据此列式可解得x 的取值范畴；第 21 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据anan+1 2an,以及等比数列的通项公式可得q,1,再结合Sn Sn+12Sn以及等比数列的前n 项和公式分类争论可得q 的取值范畴；设公差为 d,依据 an an+12an,以及等差数列的通项公式可得 d-,1,然后依据等差数列的前 n 项和公式结合题意可得 d=,由此可名师归纳总结 解得 k 的取值范畴,进而得到k 的最小值和d 的值 .第 22 页,共 22 页- - - - - - -