2022年高中数学论文：巧解外接球的问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 巧解外接球问题假如一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点 . 考查 同学的空间想象才能以及化归才能 .讨论多面体的外接球问题, 既要运用多面体的学问,又要运用球的学问,并且仍要特殊留意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 公式法 1、求正方体的外接球的有关问题例 1 2006 年广东高考题假设棱长为 外表积为 _ . 27 . 3 的正方体的顶

2、点都在同一球面上,就该球的例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,假设该正方体的外表积为24 ,就该球的体积为 _. 解析：要求球的体积,仍是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体外表积可求出棱长,从而求出正方体的体对角线是2 3 所以球的半径为3 .故该球的体积为4 3. 2、求长方体的外接球的有关问题例 3 2007 年天津高考题一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,就此球的外表积为 . 解析：关键是求出球的半径,由于长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径；长方体体对角线长为 14 ,故球的外表积为 14 . 例

3、 4、2006 年全国卷 I已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,就这个球的外表积为. A. 16B. 20C. 24D. 32解析：正四棱柱也是长方体；由长方体的体积16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为名师归纳总结 2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,应选 C. 第 1 页,共 8 页9/1/2022 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上,且该六棱柱的体积为r8 ,底面周长为,

4、就这个球的体积为. . x ,高为 h ,就有96 x3,x1 , 2解设正六棱柱的底面边长为63 42 x h ,h38正六棱柱的底面圆的半径r1,球心究竟面的距离d3.外接球的半径22Rr2d21.V球4. 2d2求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式3小结此题是运用公式R2二、构造法 补形法 1、构造正方体例 5 2022 年福建高考题假设三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,就其外接球的外表积是 _. 解析： 此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形运算球的半径 .而作为填空题,我们更想使用较为便利的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体

5、的一个角,立刻构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如图 1,就AC=BC=CD 3 ,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求外表积是9 .如图 1 例 3 假设三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,就其外接球的外表积是 . 解 据题意可知, 该三棱锥的三条侧棱两两垂直,把这个三棱锥可以补成一个棱长为3 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 . 设其外接球的半径为 R ,就有 2 R 23 23 23 29.R 2 94 . 2故其外接球的外表积 S 4 R 9 . 小结 一般地,假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、 、c R ,9

6、/1/2022 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就有2Ra 2b2c 2. 显现“ 墙角” 结构利用补形学问,联系长方体；【原理】：长方体中从一个顶点动身的三条棱长分别为即,就体对角线长为,几何体的外接球直径为体对角线长【例题】：在四周体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,假设该四周体的四个顶点在一个球面上,求这个球的外表积；解：由于：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四周体外接球的直径为 的长 即：所以 球的外表积为例 6 2003 年全国卷一个四周体的全部棱长都为此球的外表积为9/1/202

7、2 3 2 ,四个顶点在同一球面上,就名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - DBC.在此,A. 3B. 4C. 3 3D. 6图解析：一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再运算球的半径由于全部棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再查找棱长相等的四周体,如图 2,四周体 A BDE 满意条件,即AB=AD=AE=BD=DE BE 2,由此可求得正方体的棱长为 1,体对角线为 3 ,从而外接球的直径也为 3 ,所以此球的外表积便可求得,应选 A. 如图 2 0例 72006 年

8、山东高考题 在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB 的中点,将 ADE 与 BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,就三棱锥P-DCE的外接球的体积为. 4 3 6 6 6A. 27 B. 2 C. 8 D. 240解析：如图 3 由于AE=EB=DC=1,DAB= CBE= DEA=60,所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE为正四周体, 至此, 这与例 6D C P 就完全相同了,应选 C. A E B D C例 8 2022 年浙江高考题已知球 O 的面上四点 A、B、C、 D,DA E 平面 ABC,图

9、 3 ABBC ,DA=AB=BC=3 ,就球 O的体积等于. 解析：此题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于DA平面ABC,ABBC ,联想长方体中的相应线段关系,构造如图 4 所示的长方体,又由于DA=AB=BC=3 ,就此长方体为正方体,所以CD 长9即为外接球的直径,利用直角三角形解出CD=3 .故球 O 的体积等于2.如图 49/1/2022 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - DOA2、构造长方体例 92022 年安徽高考题已知点 A 、B、C、D 在

10、同一个球面上,A B 平面 BCD,图 4 BC DC ,假设 AB 6,AC=2 13,AD=8,就球的体积是 . 解析：第一可联想到例 8,构造下面的长方体,于是 AD 为球的直径, O 为球心,OB=OC=4 为半径, 要求 B、C 两点间的球面距离,只要求出 BOC 即可,在 Rt ABC 中,40求出 BC =4,所以 BO C=60,故 B、 C 两点间的球面距离是 3 .如图 5OBC本文章在给出图形的情形下解决球心位置、半径大小的问题；D图 5 三.多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,就这个球的外表积是名师归纳总结 A.16B.2

11、0C.24D.322416,解得x2. 第 5 页,共 8 页解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R ,就有4x2 R2 2222 42 6,R6.这个球的外表积是2 R24.选 C. 9/1/2022 5 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 小结此题是运用 “ 正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 四.寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ,点 S、 、 、 、D都. C在同一球面上,就此球的体积为. 解设正四棱锥的底面中心为O ,外接球的球心为O,如图 1S所示 .由球的截面的性质,

12、可得OO1平面ABCD. ADO1B图 3又SO 1平面ABCD,球心O必在SO 所在的直线上 . ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径在ASC中,由SASC2,AC2,得2 SASC2AC2. ASC 是以AC为斜边的 Rt. AC1V球4. 23小结依据题意,我们可以挑选最正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.此题供应的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过查找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来讨论 .这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 . 五 .确定

13、球心位置法名师归纳总结 例 5 在矩形ABCD中,AB4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角C第 6 页,共 8 页BACD ,就四周体 ABCD 的外接球的体积为125125125125A.12B.9C.6D.3D解设矩形对角线的交点为O ,就由矩形对角线相互平分,可知AOOAOBOCOD .点 O 到四周体的四个顶点A、 、 、D的图4B.故距离相等,即点O 为四周体的外接球的球心,如图2 所示 .外接球的半径ROA52V球4R3125.选 C. 369/1/2022 6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 显现两个垂直关系,利用直角三角形

14、结论；【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半；球心为直角三角形斜边中点；【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且,求球的体积；, 解：且,由于所以知所以所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点,在 中在 中所以在几何体中,即为该四周体的外接球的球心所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四周体中除了直角顶点以外的两个点连线；9/1/2022 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四周体是正四周体外接球与内切球的圆心为正四周体高上的一个点,依据勾股定理知,假设正四周体的边长为时,它的外接球半径为；9/1/2022 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页