2022年高等数学公式结论汇总.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 年山东省一般高等训练专升本考试2022 年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学公式结论归纳汇总经管类专业：会计学、工商治理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业： 电气工程及其自动化、 电子信息工程、 机械设计制造 及其自动化、交通运输、运算机科学与技术、土木 工程2022 年 4 月 26 日星期五名师归纳总结 曲天尧编写第 1 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载一、函数、极限、连续：1. 基本初等函数的图像与性质小结：常数函数

2、： y=c（c 为任意常数）幂函数： a为实数 a 取什么值, xa 在内总有定义；定义域：随a 的不同而不同,但无论值域：随 a 的不同而不同有界性：单调性：如a0,函数在内单调增加；如 a1 函数单调增加；如0a1 时,函数单调增加；0a1 时,函数单调削减奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数,图形过（1,0）点,直线 x=0 为函数图形的铅直渐近线名师归纳总结 e=2.7182 ,无理数常常用到以e 为底的对数第 4 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载三角函数：正弦函数：定义域：有界函数值域： -1,

3、1 有界性： -1,1 单调性：（ -T/2,T/2 ）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以 为周期的周期函数；余弦函数：定义域：值域： -1,1 有界性： -1,1 有界函数单调性：奇偶性：偶函数周期性：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载正切函数：定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：余切函数：,定义域：值域：有界性：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载单调性：奇偶性：奇函数周期性：,反

4、三角函数：反正弦函数：定义域：-1,1 值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：反余弦函数：定义域：-1,1 值域：有界性：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 单调性：单调削减学习好资料欢迎下载奇偶性：周期性：反正切函数：定义域：值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载周期性：反余切函数定义域：值域：有界性：单调性：单调削减；奇偶性：周期性：以上是六种基本初等函数,关于

5、它们的常用运算公式都应把握！2. 指数式与对数式的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载,由此可知,今后常用关系式如：3. 三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差角公式：sin函数sin cos tg ctg 2cos2第 10 页,共 37 页角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg t

6、g 270 +-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsintgtgtgsinsin2cos2sin21tgtgcoscos2coscos22ctgctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 倍角公式：sin22sincos12sin 2cos 2sin2sin33 sin43 sincos 22cos 21ctg2ctg21c

7、os 343 cos33cos2 ctgtg33 tgtgtg22 tg13 tg21tg2 半角公式：sin21coscos21coscos1sin212tg21cos1cos1sinctg2cos11cossincos1cossincos 平方和公式：tan2x+1=sec2x；cot2x+1=csc2x. 正弦定理：aAbBc2 RsinsinsinC2arcctgx 余弦定理：c2a2b22 abcosC 反三角函数性质：arcsinx2arccos xarctgx4. 极限的性质、结论、运算小结：结论：lim nqn0,当|q|1 时1 时；不存在,当q|数列求极限关键在于求所给数列

8、的前n 项和,现将数列求和方法总结如下：1 公式法 等差数列、等比数列求和：已知数列 a n 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,就Sn=na 1+nn-1d/2; （d 为公差）S na 1 1qqnq1 或Sna 1anqq1 .Sn=An2+Bn ；A=d/2 ,B=a 1-d/2 Sn=2a 1+n-1d n/2 1q1 1q已知数列 a n 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,就1 na1na1q2 分组求和法： 在直接运用公式法求和有困难时,再运用公式法求和 . 常将 “ 和式 ” 中 “ 同类项 ” 先合并在一起,3 倒序相加法： 如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列

9、的通项与组合数相关 联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的 推导方法） . 名师归纳总结 4 错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构第 11 页,共 37 页成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载5 通项转换法 ：先对通项进行变形,发觉其内在特点,再运用分组求和法求和 . 6 裂项相消法 ：假如数列的通项可“ 分裂成两项差 ” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用

10、裂项形式有：1k111；1 n n11 nn11；1 n nk1 1 k n n1k；1k111k11k11,1k11k11kk222k1 kk21 kkn n1n2111n1n2；nn1.1n11.；12n n1n.2n1nn2n11n2n12nn1. n极限四就运算：已知limfx,limgx都存在,极限值分别为A,B,就下面极限都存在,且有（1）limfxgxAB（2）limfxgxAB（3）limfx A,此时需 B0 成立gxB说明：极限号下面的极限过程是一样的；同时留意法就成立的条件,当条件不满意时,不能用；推论： 1设 c 为常数, limfx 存在,就 limcfx=climf

11、x；2如 limfx 存在, n 为正整数,就 limfx n=limfx n. 两个重要极限：名师归纳总结 （1）lim x 0sinx1. 第 12 页,共 37 页x（2）lim x 0 1x 1e；lim x 11 xxex说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身,仍应能够娴熟运用它们的变形形式常用等价无穷小: 当x0时x sinx tanx ln1x x e1,1cosx1x2, 1x1 x .2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载6. “0 ” , “0” 型洛必达法就 . limuv0 00” 型 极限运算法： “1,lnl

12、imu vlimvlnulimlnuv1其中的“1 ” 型 , 也可用 配e法:设limux0, limv x, 就1lim1uvlim1u uvexplimuv5. 函数的间断点：函数的间断点第一类间断点：其次类间断点：左右极限都存在 左 右 极 限 至 少 有一个不存在 可去间断点：跳动间断点：例如：无穷间断点：振荡间断点：例如： fx=x2-1/x-1 x0例如： fx=1/x 例如： fx=sin1/x f x 0 x0x0二、导数与微分学：一一元函数的微分学：1. 基本初等函数的导数公式：名师归纳总结 c0c为任意常数 ,第 13 页,共 37 页x = x-1 . a x = a

13、x ln a . e x = e x. logaxx1a.lnx1.lnxsin x = cos x. cos x = - sin x. tan x = sec 2x . cot x = - csc 2x . sec x = sec x tan x . csc x = - csc x cot x . arcsinx112,arccosx11121x1xarctanx1,arccotx.x2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载xux02. 导数的四就运算：v设函数ux、vx 在 x 处可导,就它们的和、差、积与商ux在 x 处也可导,

14、且ux vx = u x v x；uxvx = uxv x + u xvx；推广： u 1u2 u n =u 1 u 2 un+u 1u 2 u n+ u 1u 2 u n . cux = cu x c 为常数 . vx.v xuxvxuxuxux23. 反函数求导法就：设y=fx 的反函数为x=f-1y,就 f-1y =1/f x. y=fgx 的导4. 复合函数求导法就：设y=fu ,u=gx ,且 fu 、gx 都可导,就复合函数数为 dy/dx=f ug x. 5. 中值定理与导数应用：罗尔中值定理：如函数fx满意:1 在闭区间a,b上连续;2 在开区间a,b 内可导;3 fafb,就

15、在开区间a,b 内至少存在一点,使得f 0.拉格朗日中值定理：如函数fx满意1在闭区间 a,b 上连续；2在开区间 a,b内可导名师归纳总结 就在开区间a,b 内至少存在一点,fbfafba第 14 页,共 37 页使得fbfaf.或者ba- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载二多元函数的微分学：1. 多元函数的求导：全微分：dzzdxzdyduu xdxyu ydyyudzxyz全微分的近似运算：zdzfxx ,yxfx ,y 多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux ,y ,v x ,y zzuzx

16、uxvx当uux ,y ,vv x ,y 时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y z 0,dydxFx2,ddxyxF xyF xdyFy2FyFydx隐函数Fx ,y ,0,zxFx,zyFyF zF z2. 多元函数的极值及其求法：名师归纳总结 设fxx0,y0fyx 0,y00,令：fxxx0,y0A,fxyx0,y 0B,fyyx0,y 0C第 15 页,共 37 页0 时,A0 ,x0,y0为极大值ACB2就：A0 ,x0,y0为微小值ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

17、 - - - 学习好资料 欢迎下载三、积分学：一一元函数的积分学：1. 基本初等函数的积分公式： 1 kdxkxC,2 x dxdxxu+1/u+1+C （u -1）3ln|x|C,x 1dxarctanxC41x2名师归纳总结 511x2dxarcsinxCC第 16 页,共 37 页6 cosxdxsinxC7sinxdxcosxC82 secxdxtanxC92 cscxdxcotxC10 secx tanxdxsec xC11 cscx cotxdxcscx12 exdxexCaxdxaxC13 aln14 tanxdx= ln|cosx |C15 cotxdx= ln|sinx |C

18、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16 1dx学习好资料xCC欢迎下载a01arctanaa2x2a17 12dxa0 = arcsinxa2xa18 1dxa0 = 12 aln|xa|Cx2a2xa19 cscxdxln|cscxcotx|C20 secxdx= ln|secxtanx|C2. 初等函数不定积分的运算：分项法：k1fxk2gxdxk 1fx dxk2gxd x化所给不定积分为常见的积分类型之和. 第一类换元法（凑微分法）f d x;f d dx.常见的凑微分类型：2 .fxdx;1.fxn1xndx;x3.flnxdx;4.f11

19、2dxx;xx5.fsinxcosxdx;6 .fexdx;7.ftanxsec 2 xdx8.farctanx1x2其次类换元法（积分变量代换法）1根式代换 无理一次根式1fxaxb,设：axbt；2 倒代换；3 三角换元法无理二次根式名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2fxa2x2学习好资料；欢迎下载；设：xasintfxx2a2；设：xasec t；fxa2x2；设：. xatant分部积分法udvuvv dubdx,Pxcosaxb dx, 分部积分基此题型: 1 PxsinaxPxe axdx x 取u

20、P x2 xnlnPxdx,xnarctanxdx 取dvxndx3 eaxsinbxdx,eaxcosbxdx,3 secxd分部积分“ 回来法”待定系数法有理分数函数积分形式 xma x + bn名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载积分形式 xm / a x2 + b x + cn名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载积分形式 xm a + b xnp积分形式 d + e xm a + b x

21、+ c x2p当 b2- 4 a c = 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 积分形式学习好资料欢迎下载xm a + b xn + c x2np当 b2- 4 a c = 0 结论：对称区间上的积分名师归纳总结 设fx在a,a上连续 , 就有xdx. fx dx. 第 21 页,共 37 页axdxafxffa01 当fx是奇函数时 , afx dx0; a2 当fx是偶函数时 , afx dx2aa0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载三角函数的积分

22、积分形式 sine 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载积分形式 cosine 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载积分形式 tangent 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载积分形式 secant 1积分形式 cosecant 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 37 页精

23、选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载积分形式 cotangent 积分形式 sine 和 cosine 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载also: 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载also: also: also: also: 积分形式 sine 和 tangent 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 37 页精选学习资料 - - -

24、- - - - - - 积分形式 cosine学习好资料欢迎下载和 tangent 积分形式 sine 和 cotangent 积分形式 cosine 和 cotangent 二多元函数的积分学：1. 二重积分存在定理：设fx ,y是有界闭区域D 上的连续函数 ,就二重积分fx ,y dD存在 .2. 二重积分的重要性质：假设被积函数在有界闭区域D 上连续 . x ,y d. 2. . kfx ,y dkfx ,y d, k 为常数 . DDfx ,ygx ,y dfx ,y dg DDDg x y d二重积分的线性性：设,为常数就上述两式合并为f x y , g x y df x y dDD

25、D二重积分对区域可加性 DD 1Dfx,ydfx,y dfx,yd, DD 1D2d, 为 D 的面积 . D名师归纳总结 积分不等式 如fx,ygx ,y,就fx ,ydgx ,y d. 第 29 页,共 37 页留意：如在 D 上fx,ygx,yDD但等号不是恒成立,就有Dg x y d. f x y dD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 : fx ,y d学习好资料欢迎下载fx ,yd. DDfx ,y在闭区域 D 上的最大积分估值定理 设 M 、 m 分别是M值和最小值,就mfx ,y d.其中为 D 的面积 . D积分中值定理 设函数f

26、x,y在闭区域 D 上连续,就在D 上至少存在一点,使得f x y df , .为 D 的面积 . D设区域 D D 1 D 2,且 D 与 D 关于 x 轴对称；1当 f x , y 关于 y 是偶函数即 f x ,y f x , y 时,有f x y d 2 f x y d . D D 1当 f x , y 关于 y 是奇函数时即 f x ,y f x y 时,有f x y d 0 . D2 类似有设区域DD 1D2,且D 与D 关于 y 轴对称；当fx,y关于 x 是偶函数时即fx y fx ,y时,有. x y f x y 时,有f x y d2f x y dDD 1f当fx,y关于

27、x 是奇函数时即f x y d0. D四、无穷级数：1. 数项级数收敛的必要条件：lim nu n02. 正项级数敛散性的判定：利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；常用结论：名师归纳总结 1调和级数n11发散 . 留意lim nun0 第 30 页,共 37 页n2比较判别法： 设u 与nv 均为正项级数 , 且n1n1unvn, n,12 ,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n1v 收敛n1un学习好资料欢迎下载收敛 ; u 发散v 发散 . nlimunl,就n1n13比较判别法的极限形式：设u 与v 均为正项级数 ,如vnn1n1当 0l时,v 与u 有相同的敛散性；n1n1当l0时,如v 收敛 ,就un也收敛；n1n1当 l时,如nv 发散 ,就un也发散 . n1n1留意：利用比较的极限形式常常需用到极限的等价无穷小概念,名师归纳总结 x0时,x sinx tanx arcsinx arctanx lnx1 x e1,就第 31 页,共 37 页1cosx12 x ,n1x1:x,ax1:xlna a0且a1）2n4比值判别法（达朗贝尔判别法）：设un为正项级数 ,如lim nun1unn11时, 级数un收敛；n1 1或时, 级数u 发散；n11时, 级数un可能收敛也可能发散. n15根式判