2022年高考中常用的数学概念、公式、中间结论.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学重要学问点一、概念1. 集合的基本运算交集： AB=x|x A 且 xB 并集： AB=x|x A或 xB 补集：全集为U, 集合 AA. U的补集为CuA=x|x U且 x.A 2.1 全称命题 p: . xM,px 的否定为特称命题p: . 0x M, p x . 2 特称命题 p: . 0xM,p x 的否定为全称命题p: . xM, px. 3. 分段函数 : 在定义域的不同范畴内函数具有不同的解析式 , 这类函数称为分段函数 . 分段函数是一个函数 , 分段函数的定义域是各段定义域的并集 , 值域是各段值域的

2、 并集 . 4. 奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意 x 定义域关于原点对称 ,都有 f x fx 成立, 就 fx 为奇函数 都有 f x fxf|x| 成立, 就 fx 为偶函数 5. 对数：假如axNa0,a1, 那么数 x叫做以 a 为底 N 的对数 , 记作xlogaN. 其中 a 叫底数 , N 叫做真数6. 指数函数与对数函数定义指数函数对数函数axa0 且 a 1 的函数形如 y=x a a0 且 a 1 的函数形如 y=log图象定义域R x|x0 值域y|y0 R 过定点0,1 1,0 单调性a1 时, 在 R上单调递增a1 时 , 在0,+ 上单调递增

3、0a1 时, 在 R上单调递减0a1 时, 在0,+ 上单调递减函数值性质0a1, 0a0 时,0y1 ；当 x1 当 x1 时,y0 ；当 0x0 a1, a1, 当 x0 时,y1 ；当 x0 时,0y1 时,y0 ；当 0x1 时,y1,d 为常数 . 2 等差中项 : 如 a,A,b 成等差数列 , 就 A叫做 a 与 b 的等差中项 , 且 A=a2b . 17. 等比数列的相关概念1 定义 : 假如一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 , 那么这个数列叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的公比 , 公比通常用字母 qq 0 表示 . 符号表示为a n

4、q n 2,q 为常数 . a n 12 等比中项 : 假如三个数 a、G、 b 成等比数列 , 就 G叫做 a 和 b 的等比中项 , 那么G =b , 即a GG 2=ab. 18. 判定二元一次不等式表示的平面区域的方法1 在直线 Ax+By+C=0的某侧任取一点0x ,0y , 通过 Ax +B0y+C的符号来判定Ax+By+C0或 Ax+By+C0,就当 B0 时表示直线 Ax+By+C=0的上方；当 B0时,表示直线Ax+By+C=0的下方 . 如 Ax+By+C0; 圆心 a,b, 半径为 r ; 圆的一般方程 :x 2+y 2+Dx+Ey+F=0D 2+E 2-4F0; 圆心

5、-D ,-2 E , 半径2 12 D2E24 F . 24. 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆1F2| |PF1|-|PF双曲线1F2| 抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a2a|F2|=2a2ab0 x2-y2=1 a0,b0 y2=2px p0 方程2a2 b2 a2 b图形名师归纳总结 范畴|x| a,|y|b |x| a x0 第 5 页,共 16 页顶点 a,00, b a,0 0,0 对称性关于 x 轴,y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点 c,0 p ,0 2轴长轴长 2a, 短轴长 2b 实轴长 2a, 虚轴长 2b e=1 离心率e=c a=12 b a0e1

6、准线x=-p 2渐近线y=bx , 就依据定义直接求a25. 求曲线轨迹方程的定义法: 其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义出动点的轨迹方程. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载26. 极坐标：设 M是平面内一点 , 极点 O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为 . 以极轴Ox为始边 , 射线 OM为终边的角 坐标 , 记作 M , . 27. 常用简洁曲线的极坐标方程xOM叫做点 M的极角 , 记为 . 有序数对 , 叫做点 M的极曲线图形极坐标方程圆心在极点 , 半径为 r 的圆 =r 0 2 =2rcos 圆心为 r

7、,0,半径为 r 的圆- 2 圆心为 r, 半径为 r 的圆2 =2rsin 0 = R 或 = + R 2过极点 , 倾斜角为 的直线 cos =a 过点 a,0,与极轴垂直的直线- 2 过点 a, 2, 与极轴平行的直线2 sin =a 0 b0 的参数方程 x a cos , 为参数 a b y b sin .29. 将曲线的参数方程化为一般方程时 , 要把其中的参数消去 , 仍要留意消去参数的过程要保持一般方程与参数方程的 等价性 . 参数方程化为一般方程常用的消参技巧 : 代入消元、加减消元、平方后再加减消元等 . 30. 求解极坐标方程和参数方程的综合问题应统一化为直角坐标方程后处

8、理 . 31. 线性回来方程 y . b . x a . 肯定过样本点的中心 x, y其中b.值是自变量每增加一个单位,因变量的变化值 . 32. 离散型随机变量的分布列1 设离散型随机变量 可能取的值为x1,x2, ,xi, , 取每一个值xi 的概率为 P=xi =p i , 就称下表 : x1x2x3xi . .P p1p2p3pi为离散型随机变量 的分布列 . 2 离散型随机变量 的分布列具有两个性质: pi0, p1+p2+ +pi+ =1i=1,2,3,3 对于离散型随机变量在某一范畴内取值的概率等于它取这个范畴内各个值的概率的和即 P x k=P =xk+P =x k+1+ .

9、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、公式1. 对数性质：loga1,0logaa1.alogaN,aN,logaaNN.a0,a.1 N02. 运算性质：logaMNlogaMlogaN.0NlogaMlogaMlogNaNlogaMnnlogaMnRa01 . M0,3. 换底公式：logablogcb.a0,a1 .c0 ,c1. b0.logca4. 导数公式及运算法就1 导数公式：c =0 （ c 为常数）；xn=nxn1（nQ*）；cos x sin x ；sin x cos x ；a

10、 a ln aa0且 a 1 ； e e ；logax 1 xln a a0 且 a 1 ；ln x 1 x. 2 导数的四就运算法就ux vx=ux vx; 的导数和 y=fu,u=gx的导数之间的关系uxvx=uxvx+uxvx; u x v x =ux v xu x vxv x2y=fgx3 复合函数的求导法就：复合函数为 xy =f ug x. 5. 同角三角函数的基本关系1 商数关系：sin cos tan . 2 +k ,k Z ；2 平方关系： sin 2 cos 2 1 R6. 诱导公式组序 一 二 三 四 五 六 角 2k + k Z +- - - +2 2正弦 sin -s

11、in -sin sin cos cos 余弦 cos -cos cos -cos sin -sin 正切 tan tan -tan -tan 函数名不变 函数名转变口诀符号看象限 符号看象限诱导公式的记忆口诀：奇变 偶不变,符号看象限其中,“ 奇、偶” 是指“k2 kZ” 中 k 的奇偶性；“ 符号” 是 把任意角 看作锐角 时, 原函数值的符号7. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos + =cos cos -sin sin , 余余正正符号异cos - =cos cos +sin sin . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - -

12、 - - - - sin + =sin 学习必备欢迎下载 cos +cos sin , 正余余正符号同sin - =sin cos -cos sin kZ, tan + =tantan,k ,1tantan2tan - =tantan,k ,kZ1tantan28. 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin 2 =2sin cos . cos 2 =cos 2 -sin 2 =2cos2 -1=1-2sin2 . tan 2 =12tan2. tan9. 公式的常见变式1tan tan =tan 1 .tan tan . . 2sin2 = 1cos2; cos2 = 1cos2; sin cos

13、=1 sin 2 22231+cos =2 2cos2; 1-cos =2sin22; 221+sin =sin2cos2; 1-sin =sin2cos2. 10. 形如 asin x+bcos x的式子的化简asin x+bcosx=a2b2sinx+ 其中 sin =a2b2 b,cos =ab2. 2 a11. 正弦定理 : aA=bB=cC=2R2R 为 ABC外接圆的直径 . sinsinsin变形 :a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C. sin A=a, sin B=b, sin C=c. 2 R2 R2Ra bc=sin A sin B sin C.

14、 12. 余弦定理 : a2=b 2+c2-2 bccos A , b2=a 2+c2-2accos B, c2=a 2+b 2-2abcos C. 推论 :cos A=b2c2a2, cos B=a22 cb2, cos C=a2b2c 2. 2bc2ac2 ab13. 三角形常用面积公式1S= 1 ahah a 表示边 a 上的高 ; 22S= 1 absin C= 1 bc sin A = 1 acsin B; 2 2 23S= 1 ra+b+cr 为三角形内切圆半径 . 2留意：圆锥曲线题求三角形面积有时会用分割法；14. 平面对量的运算名师归纳总结 1 如 a=x 1,y 1,b=x

15、2,y2, 就 a b=x1 x2,y1 y2; 第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如 a=x,y,就 a= x, y. 学习必备欢迎下载 | a| aax 2y 2. aa.ABx2x 1,y2y 13如 Ax1,y1,Bx2,y2 ,就中点Cx12x 2,y 12y2. 4 如 a x1,y1 ,b x2,y2 ,为 a 与 b 的夹角,就 cos a b | a| b|xx1x2y1y22 2 . 2 1y2 1x2 2yabcdacadbcbd.15. 等差数列1 如等差数列 a n 的首项是 a1, 公差为 d,

16、就其通项公式为an=a1+n-1d. 通项的推广:a n=am+n-md. 2 等差数列的前n 项和公式 Sn=n a 12an= na 1n n21d16. 等比数列1 设等比数列 an 的首项为 a1, 公比为 q,q 0, 就它的通项公式an=a1qn-1. 通项公式的推广an=am q n-m. 2 等比数列的前n 项和公式：q 1,Sna11qna1anq 1q1qq1,Snna117. 复数的加、减、乘、除运算法就设 z1=a+bi,z 2=c+dia 、b、c、 dR, 就加法 :z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+di; 减法 :z 1-z 2=a+bi-c+di=a-

17、c+b-di; 乘法 :z1z2=a+bic+di=ac-bd+ad+bci; c+di 0. 除法 :z 1z 2=ad= acb icd i=acbdbcad d 2icd icd ic 2d2c 218. 表面积和体积公式柱体的体积V=Sh; +锥体的体积V=1 3Sh; 台体的体积V=1 3SSS +Sh 4 R . 3S 球4 R ,V球球的表面积和体积: 19. 空间向量运算的坐标表示设 a=x 1,y 1,z 1,b=x 2,y 2,z 2, 那么加、减运算 :a b=x 1 x 2,y 1 y2,z 1 z 2. 数量积 :a b=x1x2+y1y2+z1z2. y y 22z

18、 z 1 222 z 2. 夹角公式 :cos=2 x 1x x 22 y 12 z 1xy22模长公式 :|a|=a a =2 x 12 y 1z . 数乘运算 : a= x1, y 1, z1 R. 名师归纳总结 平行的充要条件:a b . x 1= x 2,y 1= y 2,z 1= z 2 R. 第 9 页,共 16 页垂直的充要条件:a b . x1x2+y1y2+z1z2=0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载的法向量 ；20用向量求空间中角的公式1 直线 l1,l2 夹角 有 cos |cos l1,l2 | ；2 直线

19、 l 与平面 的夹角有： sin |cos l ,n | 其中 n 是平面 3 平面 , 夹角余弦为cos = cos=|cos n1,n2| ,就 - l - 二面角的平面角为 或 . 其中 n1,n2 分别是平面 ,的法向量 21. 求空间距离 1 两点间距离求法如 Ax 1,y 1,z 1,Bx2,y 2,z 2, 就| AB |=x 1x22y 1y22z 1z 22. 2 点面距的求法设 n是平面 的法向量 , 点 A在平面 内, 点 B在平面 外, 就点 B到平面 的距离为AB n. n3 线面距、面面距均可转化为点面距再用2 中方法求解 . 22. 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜

20、角范畴为 0 , , 留意任意直线都有倾斜角；直线的斜率： 斜率与倾斜角的关系是 k tan 90 ,留意倾斜角为 90 的直线没有 斜率；过两点的直线的斜率公式: 经过两点 P1x 1,y 1,P2x 2,y 2x1 x2 的直线的斜率公式为kk不能推出l/ /lk=y 2y 1x 2x 1留意：两条直线平行是两条直线斜率相等的既不充分也不必要条件, 即 1/ /l2 时, 不能推出 2 的斜率可 k k,能不存在,k1k 2时l1,l2可能重合 . 两条直线l1 ,l2垂直是两直线的斜率乘积为-1 的必要不充分条件,即l1l2时,l1, l2可能一条斜率为 0,另一条斜率不存在. 23.

21、求平面距离1 两点距离 : 两点 P1x 1,y 1 、P2x 2,y 2 之间的距离 |P 1P2|=x 2x 12y 2y 12. ABy 02C. 2 点线距离 : 点 P0x0,y0 到直线 l:Ax+By+C=0A 、B 不同时为 0 的距离 d=Ax 02B3 线线距离：两平行直线Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d=C 1C22. 2 AB24. 有关弦长的问题 1 圆的弦长的求法名师归纳总结 法一： 几何法 : 圆的弦长的运算常用弦心距d, 弦长一半1l 及圆的半径r 所构成的直角三角第 10 页,共 16 页2形来解 , 即 r2=d 2+1l2. 2

22、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 球：任意截面是圆面（经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小圆） . 球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且r2 Rd2,其中 R 为球半径, r 为截面半径, d 为球心到截面的距离；法二：利用弦长公式|P 1P2|=1k |x1-x 2|=1k2x 1x224 x x 122 圆锥曲线的弦长公式斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于两点P1x1,y1,P2x2,y2, 就弦长|P 1P2|=1k2|x1-x2|=1k2x 1x224x x 或0）. |P 1P2|=11|y1-y2|=11y 1y224y y2（kk2k2当直线的斜率不存在时, 求出交点直接运算. 椭圆与双曲线的通径长为2 2b a；抛物线通径为2p. 抛物线y22px p0的焦点弦长 |AB|=x1+x2+p. 25. 对角线垂直的四边形ABCD面积为：1ACBD. 226. 极坐标与直角坐标的互化设点 P 的直角坐标为 x,y,它的极坐标为 , , 就直角坐标方程化为极坐标方程的公式为xcos ,极坐