2022年高考数学一轮复习精品学案――三角函数的图像与性质.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A 版）三角函数的图象与性质一【课标要求】1能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,明白三角函数的周期性；2借助图像懂得正弦函数、余弦函数在 0,2 ,正切函数在（ /2, /2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等）；3结合详细实例, 明白 y=Asin（wx+ ）的实际意义； 能借助运算器或运算机画出 y=Asin（wx+ ）的图像,观看参数 A,w, 对函数图像变化的影响 .二【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强

2、了对三角函数的图象与性质的考查,由于函数的性质是讨论函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点；在复习时要充分运用数形结合的思想, 把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描画函数的图象,这样既有利于把握函数的图象与性质,又能娴熟地运用数形结合的思想方法 .猜测 20XX 年高考对本讲内容的考察为：1题型为 1 道挑选题（求值或图象变换）,1 道解答题（求值或图像变换）；2热点问题是三角函数的图象和性质,特殊是 三【要点精讲】1

3、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=Asin（ wx+ ）的图象及其变换；-3y=sinx-5o-2-3-3-2yo23225374x1-4-7-3222-1222y=cosx-5-2-3-2yo2325374x1-3222-4-7 2-122y=tanxy2x-yo32xy=cotx-2-22222三角函数的单调区间：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - ysinx的递增区间是2k学习必备欢迎下载Z,2,k2k3递减区间是 2 k,k k Z ；2 2y cos x 的递增区间是 2 k,k k Z ,递减区间是

4、2 k,k k Z ,y tan x 的递增区间是 k,k k Z ,2 23函数 y A sin x B（其中 A 0,0）最大值是 A B,最小值是 B A,周期是 T 2,频率是 f,相位是 x,2初相是；其图象的对称轴是直线 x k k Z ,凡是该图象与直线 y B 的2交点都是该图象的对称中心 .4由 ysinx 的图象变换出 ysin x的图象一般有两个途径,只有区分开这两个途径,才能敏捷进行图象变换；利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也常常显现 .无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母“ 角变化” 多少；x 而言,即图象变换要看“ 变量” 起多大变化,而

5、不是途径一：先平移变换再周期变换 伸缩变换 先将 ysinx 的图象向左 0或向右 0平移个单位, 再将图象上各点的横坐标变为原先的 1 倍 0,便得 ysin x的图象 .途径二：先周期变换 伸缩变换 再平移变换；先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原先的 1 倍 0,再沿 x 轴向左 0或向右 0平移 | | 个单位,便得 y sin x的图象；5由 yAsin x的图象求其函数式：给出图象确定解析式 y=Asin（ x+）的题型,有时从查找“ 五点” 中的第一零点（,0）作为突破口,要从图象的升降情形找准 第一个零点的位置；6对称轴与对称中心：名师归纳总结 ysinx 的对称轴为x

6、和k2,对称中心为k,0 kZ ；对称轴与最第 2 页,共 10 页ycosx 的对称轴为 xk,对称中心为k2,0；对于yAsinxyAcosx来说, 对称中心与零点相联系,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载值点联系；7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特殊留意A、的正负 .利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“yAsinx、yAcosx” 的形式,在利用周期公式,另外仍有图像法和定义法.3 、2 来求相应的x 值及对应的y 值,9

7、五点法作y=Asin（ x+）的简图：五点取法是设x= x+,由 x 取 0、 、 、22再描点作图；四【典例解析】题型 1：三角函数的图象例 1（2022 浙江理）已知a 是实数,就函数f x 1,asinax 的图象不行能是 解析对于振幅大于1 时,三角函数的周期为T2a1,T2,而 D 不符合要a求,它的振幅大于1,但周期反而大于了2答案： D 例 2（2022 辽宁理, 8）已知函数f x =Acosx的图象如下列图,f22,就3f0=（）C.- 1 2D.1 2CB. 2 3A.2 3答案题型 2：三角函数图象的变换名师归纳总结 例 3试述如何由y=1 sin（2x+ 3 ）的图象得

8、到 3y=sinx 的图象 .第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： y=1 sin（2x+ 3 ）3学习必备欢迎下载横坐标扩大为原先的2 倍yy11 3sin（x）3纵坐标不变图象向右平移个单位ysinx33纵坐标不变纵坐标扩大到原先的3 倍sinx横坐标不变另法答案：（1）先将 y=1 sin（2x+ 3 ）的图象向右平移 3 个单位,得 6y=1 sin2x 的图象；31 sinx 的 3（2）再将 y=1 sin2x 上各点的横坐标扩大为原先的 32 倍（纵坐标不变） ,得 y=图象；（3）再将 y=1 sinx 图象

9、上各点的纵坐标扩大为原先的 33 倍（横坐标不变） ,即可得到y=sinx 的图象；例 42022 山东卷理 将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位 , 再向上平移 1 个单位 ,4所得图象的函数解析式是 .2 2A. y cos2 x B. y 2cos x C. y 1 sin 2 x D. y 2sin x4解析 将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位 ,得到函数 y sin 2 x 即4 4y sin2 x cos2 x 的图象 ,再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式为22y 1 cos2 x 2cos x ,应选 B.答案 :B【命题立意】 :此题考

10、查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析名师归纳总结 式的基本学问和基本技能,学会公式的变形. 第 4 页,共 10 页7.2022 山东卷文 将函数ysin 2x 的图象向左平移4个单位 , 再向上平移1个单位 ,所得图象的函数解析式是 .A. y2cos2xB. y2sin2xC.y1sin2x4D. ycos2x解析将函数ysin 2x 的图象向左平移4个单位 ,得到函数ysin 2x4即ysin2x2cos2x 的图象 ,再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式为y1cos2x2cos2x ,应选 A.- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

11、- - - - 学习必备 欢迎下载答案 :A【命题立意】 :此题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本学问和基本技能,学会公式的变形.题型 3：三角函数图象的应用例 5已知电流I 与时间 t 的关系式为IAsint；I（）右图是IAsint（ 0, |2）在一个周期内的图象,依据图中数据求IAsint300的解析式；I（ ） 如 果t在 任 意 一 段1秒 的 时 间 内 , 电 流-1 900o1t150180Asint都能取得最大值和最小值,那么 的最小正-300整数值是多少？力解析 : 本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础学问,考查运算才能和规律推理能

12、（）由图可知 A300；设 t 11,t 21,900 180就周期 T2（t 2t 1） 2（11）1；180 900 75 2150 ；T又当 t 1 时, I 0,即 sin （150 1） 0,180 180而 | |, ；2 6故所求的解析式为 I 300sin150 t ；6（）依题意,周期 T1,即21,（ 0）150 150 300 942,又 N *,故最小正整数 943；点评 : 此题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中,读图、识图、用图是形名师归纳总结 数结合的有效途径.f x =Acosx图第 5 页,共 10 页例 6（1）（2022 辽宁卷理）已知函数的图象如

13、下列图,f22,就f0= 3A.2B. 2 3C.1 23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载D. 1 2解析由图象可得最小正周期为23于是 f0f2 3 ,留意到2 3与 2关于 7 12对称x0, -就=_ 有：解析：由图可知,T5 2,4,把2 ,1代入 y=sin4551=sin8,9510答案：9 10题型 4：三角函数的定义域、值域例 7（1）已知 f（x）的定义域为0,1,求 f（ cosx）的定义域；（2）求函数 y=lgsin （cosx）的定义域；分析：求函数的定义域： （1）要使 0cosx1,（2）要使 sin（

14、cosx） 0,这里的 cosx 以它的值充当角；解析：（ 1）0cosx12k x2k + 2 ,且 x 2k （ kZ）；2 且 x 2k ,kZ；2所求函数的定义域为 xx 2k , 2k + 2（2）由 sin（cosx） 02k cosx2k + （ kZ）；又 1cosx1, 0 cosx1；故所求定义域为 xx（ 2k ,2k + 2 ）,kZ ；2点评：求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二：一是图象,二是三角名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数线 . 例 8已知函数

15、 f（x）=64 cosx52 cosx1,求 f（x）的定义域, 判定它的奇偶性,cos2x并求其值域 . 解析： 由 cos2x 0 得 2x k +2,解得 xk4,kZ,所以 f（ x）的定义域为 x| x2R 且 xk4, kZ,2由于 f（ x）的定义域关于原点对称,且 f（ x）=6cos4x52 cosx164 cosx52 cosx1=f（x）；cos2xcos2x所以 f（ x）是偶函数；又当 xk4（ kZ）时,22 cosx1 32 cosx13cos2x1；2f（x）=64 cosx5cos2x1cos2xcos2x所以 f（ x）的值域为 y| 1y1 或 21y2

16、；2点评：此题主要考查三角函数的基本学问,题型 5：三角函数的单调性 例 9求以下函数的单调区间：考查规律思维才能、 分析和解决问题的才能；名师归纳总结 （ 1）y=1 sin（2 42x ）；（2） y= sin（x+ 3 ）；4第 7 页,共 10 页分析：（1）要将原函数化为y=1 sin（22 x3 ）再求之；4（2）可画出 y=|sin（x+ ）|的图象 . 4解：（1）y=1 sin（2 42x ） =31 sin（22x 3 ）；4故由 2k 22x 3 2k + 4 ；23k 3 x3k +9 （kZ）,为单调减区间；88由 2k + 22x 3 2k + 43 ；23k +9

17、 x3k +21 （kZ）,为单调增区间；88- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 递减区间为3k 3 学习必备,欢迎下载,3k +9 88k +递增区间为 3k +9 ,3k +21 （kZ）；3 ,减区间为 k ,488（2）y=|sin（x+ ）|的图象的增区间为4k + ,k + 44 ；4-5-3- 4y435744444xo例 10（2002 京皖春文, 9）函数 y=2 sinx 的单调增区间是（）A2k 2,2k 2（ kZ）B2k 2,2k 3（kZ）2C2k , 2k （ kZ）D2k ,2k （kZ）解析： A；函数 y=2 x 为增

18、函数,因此求函数y=2 sinx的单调增区间即求函数y=sinx 的单调增区间 . 题型 6：三角函数的奇偶性例 11判定下面函数的奇偶性：f（x）=lg （sinx+1sin2x）；分析：判定奇偶性第一应看定义域是否关于原点对称,然后再看 解析：定义域为 R,又 f（x）+f（ x）=lg1=0 ,即 f（ x）=f（ x）, f（x）为奇函数；f（x）与 f（x）的关系；点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件；名师归纳总结 例 12（2001 上海春）关于x 的函数 f（x）=sin（x+）有以下命题：第 8 页,共 10 页对任意的,f（x）都是非奇非偶函数；不存

19、在,使 f（ x）既是奇函数,又是偶函数；存在,使 f（x）是奇函数；对任意的,f（x）都不是偶函数；其中一个假命题的序号是_.由于当=_时,该命题的结论不成立. 答案：, k （kZ）；或者,2+k （ kZ）；或者,2+k （k Z）解析：当=2k ,kZ 时, f（x）=sinx 是奇函数；当=2（k+1） ,kZ 时 f（x）=sinx 仍是奇函数；当=2k +2,kZ 时, f（x）=cosx,或当=2k 2,kZ 时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载为何值都不能使f（x）f（x）=cosx,f（x）都是偶函数 .所以和都是

20、正确的；无论恒等于零；所以 f（x）不能既是奇函数又是偶函数；和都是假命题；点评：此题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的才能,留意 kZ 不能不写,否就不给分,此题的答案不惟一,两个空全答对才能得分 . 题型 7：三角函数的周期性例 13求函数 y=sin6x+cos 6x 的最小正周期,并求x 为何值时, y 有最大值；分析：将原函数化成y=Asin（ x+）+B 的形式,即可求解.解析： y=sin6x+cos 6x=（sin2x+cos 2x）（sin4xsin2xcos 2x+cos 4x）=13sin2xcos2x=13 sin 22x=43 cos4x+ 85 ；8T=

21、；2当 cos4x=1,即 x=k （ kZ）时, ymax=1；2例 14设fxasinxbcosx0 的周期 T,最大值f 124,（1）求、 a 、 b 的值；（2）如、为方程fx0 的两根,、终边不共线,求tan 的值解析： 1 fx a2b2sinx,T,2 ,又fx的最大值；f 124,4a2b2,且4asin2bcos2,1212由 、解出a=2 , b=3. 2 fx 2sin2x23cos2x4sin2 x3,ff0,4sin234sin 23,232 k23,或232k 23,即k、共线,故舍去 ,或k6,tantank63kZ；3周期性；点评：方程组的思想是解题常常用的基

22、本思想方法；在解题时不要遗忘三角函数的题型 8：三角函数的最值名师归纳总结 例 15（2022 安徽卷文）设函数,其中,第 9 页,共 10 页就导数的取值范畴是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. B. 学习必备欢迎下载D. C.解析f1sin2 x3cosxx1sin3 cos2sin3f x 的最大0,5sin32 2,1f12, 2,选 D 2,就1213 tan cosx , 0x例 16（ 2022 江西卷理）如函数f x 值为31D32A1 B 2C答案： B 解析由于f x 13 tanxcosx =cosx3 sinx =2cosx

23、3当x3是,函数取得最大值为2. 应选 B 五【思维总结】1数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段, 对各类函数的讨论都离不开图象,许多函数的性质都是通过观看图象而得到的 .2作函数的图象时,第一要确定函数的定义域 .3对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可依据周期性作出整个函数的图象；4求定义域时,如需先把式子化简,肯定要留意变形时x 的取值范畴不能发生变化；5求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的 次数为 1 的形式,否就很简单显现错误；6函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的,要比较两三角函数值的 大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小；名师归纳总结 7判定y=Asin（ x+）（ 0）的单调区间,只需求y=Asin（ x+）的相反区x第 10 页,共 10 页间即可,一般常用数形结合.而求 y=Asin（ x+）（ 0单调区间时,就需要先将的系数变为正的,再设法求之. - - - - - - -