2022年高考数学复习之三角函数与向量.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思专题一：三角与向量的交汇及题型分析解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要表达为交汇型,在高考中, 主要显现在解答题的第一个试题位置上,其难度中等偏下,分值一般为 12 分,交汇性主要表达在：三角函数恒等变换公式、 性质与图象与平面的向量的数量积及平面对量的平行、垂直、 夹角及模之间都有着不同程度的交汇, 考查三角函数的对称性与向量平移,考查两角和与差与向量垂直、考查三角函数的求值与向量积、考查正余弦定理与向量数量积等 .依据 20XX 年考纲估计在 13 年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等

2、变换公式、诱导公式的运用、 三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线 平行 与垂直的充要条件条件主要考查题型：1考查纯三角函数函数学问, 即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式,再求三角函数的值或讨论三角函数的图象及性质；2考查三角函数与向量的交汇,一般是先利用向量学问建立三角函数关系式,再利用三角函数学问求解；3考查三角函数学问与解三角形的交汇,也就是将三角变换公式与正余弦定理交错在一起 . 【考试要求】1懂得任意角的正弦、余弦、正切的定义明白余切、正割、余割的定义把握同角 三角函数的基本关系式把握正弦、余弦的诱导公式明白周期函数与最小正周期的意义2把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公

3、式把握二倍角的正弦、余弦、正切公 式3能正确运用三角公式进行简洁三角函数式的化简、求值和恒等式证明4懂得正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin x+ 的简图,懂得A, 的物理意义5把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形6把握向量的加法和减法把握实数与向量的积,懂得两个向量共线的充要条件7明白平面对量的基本定理.懂得平面对量的坐标的概念,把握平面对量的坐标运算8把握平面对量的数量积及其几何意义,明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,把握向量垂直的条件9把握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标

4、公式,并且能娴熟运用把握平移公式【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份 ” ,即可以象数一样满意“运算性质 ”进行代数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换 .而三角函数是以“ 角”为自变量的函数,函数值表达为实数,因此平面对量与三角函数在“角” 之间存在着亲密的联系 .同时在平面对量与三角函数的交汇处设计考题,性.主要考点如下：其形式多样, 解法敏捷, 极富思维性和挑战1考查三角式化简、求值、证明及求角问题. x+的性质和图像及其图像变换. 2考查三角函数的性质与图像,特殊是y=Asin3考查平面对量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主名

5、师归纳总结 要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等. . 第 1 页,共 9 页4考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算5考查平面对量的数量积及运算律包括坐标形式及非坐标形式,两向量平行与垂直的充要条件等问题. 6考查利用正弦定理、余弦定懂得三角形问题. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【典例分析】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面对量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个学问系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要留

6、意两个方面的确定：1平移的方向； 2平移的单位 .这两个方面就是表达为在平移过程中对应的向量坐标 . 山东 2022（17）（本小题满分 12 分）在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 cosA-2cos C= 2c-a . cosB bsin C1 求 sin A 的值；2 如 cosB=1/4,三角形 ABC 周长为 5,求 b 的长. 名师归纳总结 此题考察正弦定理的应用-边角的互化b2,第 2 页,共 9 页解：（）在ABC 中,由cosA2cosC2ca及正弦定理可得cosBbcosA2cosC2sinCsinA,CcosBsinAcosBcos B即

7、sin A sinB2cosCsin sinB B2sin就 sinAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinBsinAB2sinCB ,而 ABC,就sinC2sinA,即sin sinC2；A另解 1：在ABC 中,由cosA2cosC2 ca可得cosBbbcosA2 cosC2 cosBacosB由余弦定理可得b2c2a2a22 bc2a2c2b2a2c22caa2cB整理可得c2a ,由正弦定理可得sin C c2；sin A aABC 中有结论另解 2：利用教材习题结论解题,在abcosCccosB bccosAacosC cacosBbcosA . 由cosA2

8、cosC2ca可得bcosA2 cosC2 cosBacoscosBb即bcosAacosB2 cosB2 cosC ,就c2a ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由正弦定理可得sinCBc12；2可得sinAa（）由c2a 及cos,b44c2a2B2 accosB4 a 2a22a24 a 2,就a1,c2,ac15；1115Ssin1 21cosB,即S22442022 高考山东文17（本小题满分12 分）a,b,c已知cosA-2cos C cosB=2c-a在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为b

9、（I）求sin sinC的值；Ab 的长 .（II ）如 cosB=1 4,ABC的周长为5,求2022 高考山东理17（本小题满分12 分）=2c-a在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c已知cosA-2cos C cosBb（I）求sin sinC的值；（II ）如 cosB=1 4,b=2,ABC 的面积 S；A2022 高考山东文17 本小题 满分 12 分 在 ABC 中,内角A B C 所对的边分别为a b c ,已知 sinB tanAtanCtanAtanC . 求证：a b c 成等比数列；如a1,c2,求ABC 的面积 S. 2022 高考山东理（17）（本

10、小题满分12 分）,函数 f （x） =mn 的最大已知向量m= （sinx,1）值为 6. （）求 A ；名师归纳总结 （）将函数y=f （x）的图象像左平移12个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原先第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的1 2倍,纵坐标不变,得到函数y=g（x）的图象；求g（x）在上的值域；（11 文） 17解：（I）由正弦定理,设aAbBcCk,B ,sinsinsin就2ca2 sinCksinA2sinCsinAbksinBsinB所以cosA2cosC2sinCs

11、inA.cosBsinB即 cosA2cosCsinB2sinCsinAcos化简可得 sinAB2sinBC.又 ABC,所以 sinC2sinA因此sin sinC2.A（II ）由sin sinC2得Ac2 .由余弦定得及cosB1得42 ba22 c2 accosBa24 a24 a2144 a2.所以b2 .又abc5,从而a1,因此 b=2；（11 理） 17解：名师归纳总结 （I）由正弦定理,设aAbBcCk,B ,第 4 页,共 9 页sinsinsin就2ca2 sinCksinA2sinCsinAbksinBsinB所以cosA2cosC2sinCsinA.cosBsinB

12、即 cosA2cosCsinB2sinCsinAcos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思化简可得 sinAB2sinBC.又 ABC2.2,所以 sinC2sinA因此sin sinC AC得c2 .（II ）由sin sinA由余弦定理b2a2c22accosB及cosB1,b2,15.4得4=a24 a24a21.所以sinB4解得 a=1；因此 c=2 又由于cosB1,且GB44因此S1acsinB11 21515 4.224（12 文） 17I 由已知得：sinB sinAcosCcosAsinCsinA

13、sinC ,7. sinBsinACsinAsinC ,sin2BsinAsinC ,再由正弦定理可得：b2ac ,所以a b c 成等比数列 . II 如a1, c2,就b2ac2,cosBa2c2b23,2ac4127 4sinC12 cosC7,4ABC 的面积S1acsinB1224（12 理） 解析：名师归纳总结 （）fx mn3 Acos xsinxAcos 2 x3Asin2 x6A 2cos 2 xA sin2 x6,第 5 页,共 9 页22就A6; 12个单位得到函数ysin2 x126的图象,（）函数y=f （x）的图象像左平移- - - - - - -精选学习资料 -

14、- - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思再 将 所 得 图 象 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的1 2倍 , 纵 坐 标 不 变 , 得 到 函 数gx 6s i n x3. ,36 . 当x0,5时,4x33,7,sin4x311,gx2462故函数 g（x）在上的值域为3 ,6 . x 0,另解：由gx6sin4x3可得gx24cos 4x3,令g就4x3k2kZ,而x,05,就x24,3,24于是g06sin333,g246sin26 ,g56sin7246故3gx6,即函数 g（x）在上的值域为3 ,6 . 命题方向 1：三角函数平移与向量平

15、移的综合【例 1】把函数 ysin2x 的图象按向量 a 6,3平移后,得到函数 yAsin x A 0, 0,| | 2的图象,就 和 B 的值依次为（）A12, 3 B3, 3 C3, 3 D 12,3 【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用才能,同时考查方程的思想及转化的思想 错的地方是确定平移的方向及平移的大小 . .此题解答的关键,也是易出命题方向 2：三角函数与平面对量平行共线的综合此题型的解答一般是从向量平行共线 条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数的相关学问再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质

16、进行求解 .此类试题综合性相对较强,有利于考查同学的基础把握情形,因此在高考中常有考查 . 【例 2】已知 A、B、C 为三个锐角,且 A BC .如向量 p 22sinA ,cosAsinA 与向量 q cosAsinA ,1 sinA 是共线向量 . 名师归纳总结 （）求角A；第 6 页,共 9 页（）求函数y2sin2Bcos C3B2的最大值 . 【分析】第一利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A 角的正弦值,再依据角的范畴即可解决第小题；而第 小题依据第 小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式,再依据B 的范- - -

17、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思围求最值 . 【点评】此题主要考查向量共线平行 的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .此题解答有两个关键： （1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）依据条件确定 B 角的范畴 .一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范畴就显得至关重要了 . 命题方向 3：三角函数与平面对量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是第一利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关学问进行求解 .此

18、类题型解答主要表达函数与方程的思想、转化的思想等 . 【例 3】已知向量 a 3sin ,cos ,b 2sin ,5sin 4cos , 32,2 ,且a b （）求 tan 的值；（）求 cos 23的值【分析】第小题从向量垂直条件入手,建立关于 的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得 tan 的值；第 小题依据所求得的 tan 的结果,利用二倍角公式求得 tan 2的值,再利用两角和与差的三角公式求得最终的结果【点评】此题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数 .同时此题两个小题的解答都涉及到角的范畴的确定,再一次说明了在解答三角函数

19、问题中确定角的范畴的重要性.同时仍可以看到第（）小题的解答中用到“ 弦化切 ” 的思想方法, 这是解决在一道试题中同时显现“切函数与弦函数” 关系问题常用方法. 命题方向 4：三角函数与平面对量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质 |a | 2a 2,假如涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解；标,再利用向量的坐标运算进行求解 .（2）先将向量的坐标代入向量的坐【例 3】已知向量 a cos ,sin,b cos ,sin,|a b |2 5 5.求 cos 的值； 如 202,且 sin 5 13,求 sin 的值 . 【分析】利用向量的模的

20、运算与数量积的坐标运算可解决第 小题；而第 小题就可变角 ,然后就须求 sin与 cos 即可 . 【解】|a b |2 5 5, a 22a b b 24 5,将向量 a cos ,sin, b cos ,sin 代入上式得名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 22coscossinsin 12 4 5, cos 3 5. 2 02, 0,由 cos3 5,得 sin 4 5,又 sin5 13, cos12 13,sinsin sincoscossin33 65. 点评： 此

21、题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.此题解答中要留意两点：1 化|a b |为向量运算 |a b | 2a b 2；2留意解 的范畴 .整个解答过程表达方程的思想及转化的思想 . 命题方向 5：三角函数与平面对量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：1三角函数与向量的积直接联系；2利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合 用三角函数学问求解 . .解答时也主要是利用向量第一进行转化,再利【例 5】设函数 fx a b .其中向量 a m ,cosx,b 1sinx,1,xR,且 f22.（）求实数 m 的值；（）求函数 fx 的最小值 . 分析

22、：利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的 “数量关系 ”,从而,建立函数 fx 关系式,第（）小题直接利用条件 f 22 可以求得,而第 小题利用三角函数函数的有界性就可以求解 . 解：（） fx a b m1sinx cosx,由 f 22,得 m1sin2cos22,解得 m1. 由（）得 fx sinxcosx12sinx 41,当 sinx4 1 时, fx 的最小值为 12. 点评： 平面对量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等学问都可以与三角函数进行交汇 .不论是哪类向量学问与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先都是利用向量

23、的学问将条件转化为三角函数中的 进行求解“数量关系 ”,再利用三角函数的相关学问命题方向 6：、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量学问来推导的,说明正弦定理、 余弦定理与向量有着亲密的联系.解斜三角形与向量的综合主要表达为以三角形的角对应的三名师归纳总结 角函数值为向量的坐标,要求依据向量的关系解答相关的问题. a、b、c,如 m 第 8 页,共 9 页【例 6】已知角 A 、B、C 为 ABC 的三个内角,其对边分别为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos A 2,sinA

24、2,n cos A 2,sinA 2 ,a2 3,且 m n 12（）如ABC 的面积 S3,求 bc 的值（）求 bc 的取值范畴【分析】第小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程,再利用二倍角公式求得 A 角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、c 的方程组求取 b c 的值；第 小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式,进而求得 b c 的范畴 . 【解】（） m cos 2,sinA 2,n cos 2,sinA 2,且 m n 12, cos 2Asin 2A1,即 cosA1,2 2 2 2又 A0, , A 2 3 . 又由 S ABC1 2b

25、csinA3,所以 bc4,由余弦定理得：a 2b 2c 22bccos2 3b 2c 2bc, 16 bc 2,故 bc4. （）由正弦定理得：sinBbsinCc sinA 2 2 3 4,又 BC A 3,sin 3bc4sinB 4sinC4sinB 4sin3B4sinB 3,0B3,就 3B32 3,就 2sinB3 1,即 bc 的取值范畴是 2 3,4 . 3点评 此题解答主要考查平面对量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等 .解答此题主要有两处要留意：第 小题中求 bc 没有利用分别求出 b、c 的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答；2第小题的求解中特殊要留意确定角 B 的范畴 .其次部分 导函数的应用 这一部分设计内容相对单一,特殊是文科只涉及多项式函数的讨论,考察导数的几何意义,函数的单调性、极值和最值；求导之后导函数为二次函数类型,因此函数落脚点的重点在二次函数；定义域是重点；题,和立体几何联系）（ 2022 全国 21 题）（2022 山东 21名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页