2022年对数函数图象及其性质知识点及例题解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 对数函数的图象及性质例题解析题型一 判定对数函数【例 1】 函数 fxa 2a1log a 1x 是对数函数,就实数 a _解析： 由 a 2a11,解得 a0,1又 a 10,且 a1 1,a1【例 1 1】以下函数中是对数函数的为 _（1）yloga x a0,且 a 1；2ylog2x2；3y8log 2x1；4ylog x6x0,且 x 1； 5y log6x解析：序号是否理由中取值,1真数是x ,不是自变量x2对数式后加 2 3真数为 x1,不是 x,且系数为8,不是 1 4底数是自变量x,不是常数5底数是 6,真数是 x题型二底数对

2、图象的影响【例 2】如下列图的曲线是对数函数ylog ax 的图象已知a 从3 ,4 3,3 5,1 10就相应曲线C1, C2,C3,C4 的 a 值依次为 A3 ,4,3,1 B3 ,4,13 5 10 3 10C4,3 ,3,1 D4,3,13 5 10 3 10解析： 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,3 5,35C4 的底数 C3 的底数 C2 的底数 C1的底数故相应于曲线 C1,C2, C3,C4 的底数依次是 3 ,4,3,1答案： A 3 5 10点技巧 作直线 y1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判定各底数的大小题型三 对数型函数的定义域的求解1对数函

3、数的定义域为 0, 2在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于 如底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、方面都有意义3求函数的定义域应满意以下原就：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于 1；0,底数大于 0,且不等于 1根式等, 在解答问题时需要保证各个对数的真数大于零,假如在一个函数中数条并存,求交集名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】求以下函数的定义域1y log51 x；2ylog2x15x4；3 y log 0.5 4 x 3分

4、析： 利用对数函数 ylogaxa0,且 a 1的定义求解解： 1要使函数有意义,就 1 x0,解得 x1,故函数 ylog 51x的定义域是 x|x1 5 x 40,2 要使函数有意义,就 2 x 10, 解得 x4 且 x 1,52 x 1 1,故函数 ylog2x15x4的定义域是 4,1 1, 53要使函数有意义,就 4 x 3 0, 解得3x1,log 0.5 4 x 3 0, 4故函数 y log 0.5 4 x 3 的定义域是 x 3 0或向右 b0或向下 b0时,两函数图象相同 函数 y log axa0,且 a 1 当x0时的图象关于 y轴对称函数 yloga|x|a0,且a

5、 1 保留 x轴上方的图象 函数 ylogaxa0,且 a 1-函数 y|logax|a0,且 a 1【例 5】如函数 ylog axbca0,且 a 1的图象恒过定点3,2,就实数b,c 的值分别为 _解析： 函数的图象恒过定点3,2,将3,2代入 ylog axbca0,且 a 1,得 2loga3bc又当 a0,且 a 1 时, log a10 恒成立,c2log a3b0b 2答案： 2,2 【例 51】 作出函数 y|log2x1| 2 的图象解： 第一步 作函数 y log2x 的图象,如图 ；其次步 将函数 ylog 2x 的图象沿 x 轴向左平移1 个单位长度,得函数ylog2

6、x 1的图象,如图 ；第三步 将函数 ylog 2x1在 x 轴下方的图象作关于1|的图象,如图 ；x 轴的对称变换, 得函数 y|log2x名师归纳总结 第四步 将函数 y|log2x1|的图象, 沿 y 轴方向向上平移2 个单位长度, 便得到所求第 3 页,共 8 页函数的图象,如图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型六 利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情形：1底数相同,真数不同2底数不同,真数相同3底数不同,真数也不同4对于多个对数式的大小比较1留意：对于含有参数的两个对数值的大小比较,要留意对底数是否大于进行分类争论

7、【例 6】比较以下各组中两个值的大小1log 31.9,log32；2log23,log0.32；3loga,loga3.141分析：1构造函数 ylog3x,利用其单调性比较； 2分别比较与0 的大小； 3分类争论底数的取值范畴解：1由于函数 ylog3x 在0,上是增函数,所以f1.9f2所以 log31.9log322由于 log23log210,log0.32log0.310,所以 log23log0.323当 a1 时,函数 ylogax 在定义域上是增函数,就有 logaloga3.141；当 0a1 时,函数 ylogax 在定义域上是减函数,就有 logaloga3.141综上

8、所得,当 a1 时,logaloga3.141；当 0a1 时, logaloga3.141【例 61】如 a 2ba1,试比较 loga b, logb a b a,logba,logab 的大小分析： 利用对数函数的单调性或图象进行判定解：ba1,0a b1 log alogbalogbb,即 0logba1a b0,logablogaa1,logb1名师归纳总结 2由于 1bb,0 log b b1由 logba log b blogb aa a a b2 2a 2b1,ab1logb ab0,即 logba log b ba,第 4 页,共 8 页logablogba logbb lo

9、gaaab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型七 利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：形如 log afxlogagx的不等式,借助函数 ylogax 的单调性求解,假如 a 的取值不确定,需分 a1 与 0a1 两种情形争论形如 log afxb 的不等式,应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式,再借助函数 ylog ax 的单调性求解形如 log afxlogbgx的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集形如 flogax0 的不

10、等式,可用换元法 令 tlogax,先解 ft0,得到 t 的取值范畴 然后再解 x 的范畴【例 7】解以下不等式：1log1xlog 4x ；2log x2x1log x3x77x 0,解： 1由已知,得4x 0,解得 0 x2故原不等式的解集是 x|0x2 x 3x ,2当 x1 时,有2x10,解得 1x3；3x 0,当 0x1 时,有2 x10,logaa3x 0,所以原不等式的解集是x0 2或 1 2a3a2 3,结合 0a1,知 0a2 3a 的取值范畴是a0 32题型八对数型函数单调性的争论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时

11、,就应对底数a 是否大于 1 进行争论；二是运用复合法来判定其单调性；三是留意其定义域名师归纳总结 2关于形如 ylog afx一类函数的单调性,有以下结论：a1 时相同,当0a 1 时相反第 5 页,共 8 页函数 y logafx的单调性与ufxfx0的单调性,当- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 8】求函数 ylog232x的单调区间ylog2u分析： 第一确定函数的定义域,函数ylog232x是由对数函数和一次函数 u32x 复合而成, 求其单调区间或值域时, 应从函数 u32x 的单调性、值域入手,并结合函数 ylog2u 的单调性考虑解

12、： 由 32x 0,解得函数 ylog232x的定义域是 ,3 2设 u32x,x,3 2,u32x 在 ,3 2上是减函数,且 ylog2u 在0,上单调递增,函数 ylog232x在 ,3 2上是减函数函数 ylog232x的单调减区间是,3 2【例 8-1】求函数 ylogaaa x的单调区间解： 1如 a1,就函数 ylogat 递增,且函数 taa x 递减又aa x0,即 a xa,x1函数 ylogaaa x在,1上递减2如 0a1,就函数 ylogat 递减,且函数 taa x 递增又aa x0,即 a xa,x1函数 ylogaaa x在1, 上递减综上所述,函数 yloga

13、aa x在其定义域上递减析规律 判定函数 ylogafx的单调性的方法函数 ylogafx可看成是 ylogau 与 ufx两个简洁函数复合而成的, 由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判定需特殊留意的是, 在求复合函数的单调性时, 第一要考虑函数的定义域, 即“ 定义域优先 ” 名师归纳总结 【例 82】 已知 fxlog1x 2axa在,1上是增函数,求a 的取值范畴第 6 页,共 8 页22解：,1是函数 fx的递增区间,说明,1 2是函数 ux 2axa 的递减区2间,由于是对数函数,仍需保证真数大于0,1 2上恒成立令 uxx2axa,fxlog1u x 在,1上是增函数,

14、22ux在,1上是减函数,且ux 0 在2a11 , 20,即a1,a0. 1a1 221au422满意条件的a 的取值范畴是a1a12题型九对数型函数的奇偶性问题- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 判定与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：1求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,就此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判定fx与 fx或fx是否相等；数；2当 fxfx时,此函数是偶函数；当fxfx时,此函数是奇函3当 fxfx且 fx fx时,此函数既是奇函数又是偶函数；4当 fx fx且 fx fx时,此函数既不是奇函数也不是偶函

15、数【例 9】判定函数 fxlog ax21xxR,a0,且 a 1的奇偶性解： f xfxlog x21x log x21x logax 2 1 x 2loga10,fx fxfx为奇函数【例 9-1】已知函数 fxloga1xa0,且 a 11x（1）求函数 fx的定义域；（2）判定函数 fx的奇偶性；（3）求使 fx0 的 x 的取值范畴分析：对于第 2问,依据函数奇偶性的定义证明即可对于第 3问,利用函数的单调性去掉对数符号,解出不等式解：1由1 1 x x0,得 1x1,故函数 fx的定义域为 1,12fxlog a 11 x xlog a 11 xfx,x又由 1知函数 fx的定义域

16、关于原点对称,函数 fx是奇函数3当 a1 时,由 log a 11 x0loga1,得 1 x x1,解得 0x1；当 0a1 时,由 log a 11 x0loga1,得 0 1 x1,解得 1x0x 故当 a1 时,x 的取值范畴是 x|0x1 ；当 0a1 时, x 的取值范畴是 x|1x0 题型十反函数 【例 10】如函数 y fx是函数 ya xa 0,且 a 1的反函数,且f21,就 fxAlog 2x B1 x Clog 1 x2 2解析： 由于函数 y a xa 0,且 a 1的反函数是D2x2fxlog ax,又 f2 1,即 loga2 1,所以 a2故 fxlog 2x

17、名师归纳总结 【例 10-1】函数 fx3x0x2的反函数的定义域为 第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A0, B1,9 C0,1 D9, 解析： 0x2,13 即函数 fx的值域为 1,9x9,故函数 fx的反函数的定义域为 1,9【例 10-2】如函数 yfx的反函数图象过点 1,5,就函数 yfx的图 象必过点 A5,1 B1,5 C1,1 解析：由于原函数与反函数的图象关于直线D5,5 yx 对称,而点1,5关于直线yx 的对称点为 5,1,所以函数yfx的图象必经过点5,1【例 10-3】已知 fexx,就 f5 Ae

18、5 B5 e Cln 5 Dlog5e 解析：方法一 令 te x,就 xln t,所以 ftln t,即 fxln x所以 f5ln 5方法二 令 e x5,就 xln 5,所以 f5ln 5【例 10-5】已知对数函数 fx的图象经过点 1 ,2,试求 f3的值9分析： 设出函数 fx的解析式,利用待定系数法即可求出解：设 fxlogaxa0,且 a 1,名师归纳总结 对数函数 fx的图象经过点1 ,2 9,f1loga12a2第 8 页,共 8 页991 9a111211 3fxlog x 22933f3log 3 1log111 1333【例 10-6】已知对数函数 fx的反函数的图象过点 2,9,且 fb1 2,试求 b 的值解：设 fxlogaxa0,且 a 1,就它的反函数为 ya xa0,且 a 1,由条件知 a2932,从而 a3于是 fxlog3x,就 fblog3b1 2,解得 b313 2- - - - - - -