2022年高中不等式的基本知识点和练习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载不等式的基本学问（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：1 对称性：abbabc；a2 传递性：ab ,bcacN*且n1 b ,cdacbd 同向可加 3 加法法就：abac4 乘法法就：ab ,c0acbcab ,c0acbc；5 倒数法就：ab0 ,cd0acbd 同向同正可乘 0anbnn11ab ,ab06 乘方法就：abab7 开方法就：ab0nanbnN*且n12、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判定符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元

2、二次不等式的解法一元二次不等式ax2axbxc0 或ax2bxc0a0的解集：x2,b24 ac,就不等式的解的各种情形x 2且x 1设相应的一元二次方程2bxc0a0的两根为x 1、如下表：2、简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （1）分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意 奇穿偶不穿 ；（3）依据曲线显现 f x 的符号变2 3化规律,写出不等式的解集；如： x 1 x 1 x 2 03、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解

3、因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母；f x 0f x g x0;f x 0f x g x 0A第 1 页,共 8 页g x 0g x g x 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxmin如不等式fxB在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D上fxmaxB名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平

4、面区域二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧全部点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的全部点x,y ,把它的坐标（x,y 代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以 只需在此直线的某一侧取一特别点（x0, y0 ,从 Ax0+By0+C的正负即可判定Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域（特别地,当C 0 时,常把 原点 作为此特别点）3、线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中,不等式组是一组变量x、y 的约束条件,这组约束条件

5、都是关于x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件 线性目标函数 ：关于 x、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 线性规划问题 ：x、y 的解析式,叫线性目标函数一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满意线性约束条件的解（x,y）叫可行解由全部可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（ 1）查找线性约束条件,列出线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（ 3）依据线性目标函数作参照直

6、线（四）基本不等式aba2bax+by0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解1如 a,bR,就 a 2+b 22ab,当且仅当 a=b 时取等号 .2假如 a,b 是正数,那么 a b ab 当且仅当 a b 时取 号 .22变形：有:a+b 2 ab；aba b,当且仅当 a=b 时取等号 .23假如 a,bR+,ab=P 定值 ,当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;2假如 a,bR+,且 a+b=S 定值 ,当且仅当 a=b 时,ab 有最大值 S. 4注：（1）当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“ 积定

7、和最小,和定积最大”（2）求最值的重要条件“ 一正,二定,三取等”4. 常用不等式 有：（1）a22b2a2baabc1 a21 b 依据目标不等式左右的运算结构选用 ；（2）a、b、cR,a2b2c2abbcca（当且仅当b时,取等号） ；（3）如ab0,m0,就bbm（糖水的aam名师归纳总结 第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载浓度问题）；不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式）1.设a2,paa12,q2a24a2,试比较p,q的大小（二）解不等

8、式题型三：解不等式2.解不等式x1x220；3 .x252x31x不等式2 axbx120的解集为 x|-1 x 2 ,就 a =_, b=_3.关于 x 的不等式axb0的解集为,1,就关于 x 的不等式axb0的解集为x2题型四：恒成立问题4.关于 x 的不等式 a x 2+ a x+10 恒成立,就a 的取值范畴是 _5.如不等式x22mx2 m10对 0x1的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 . 6.已知x0,y0且1 x91,求使不等式xym恒成立的实数m 的取值范畴；y（三）基本不等式aba2b题型五：求最值7.求以下函数的值域（2）当时,求yx82 x 的最大值；第 3

9、页,共 8 页名师归纳总结 （1）y3x 21 2x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8.（耐克函数型）求yx27x10 x1学习必备欢迎下载的值域；x1留意：在应用基本不等式求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f xa的单调性；x9.（用耐克函数单调性）求函数yax25的值域；2 x4（1）如实数满意ab2,就33b的最小值是 . （2）已知x0,y0,且1 x9 y1,求 xy 的最小值；（3）已知 x,y 为正实数,且 2 x 2y 21,求 x1y2 的最大值 . （4）已知 a,b 为正实数, 2baba30,求函数y1 ab的最小

10、值 . 题型六：利用基本不等式证明不等式10.已知a,b ,c为两两不相等的实数,求证：a21b2c21ab1bc8ca11111.已知 a、b、cR ,且abc1；求证：abc名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（四）线性规划题型八：目标函数求最值12.2xy330x2ky3 x2y的最大值满意不等式组7xy80,求目标函数13.x ,y0x02x 的最小值是已知x y 满意约束条件：x4y4y0,就x2y3014.已知变量x y满意约束条件x3y030.如目标函数zaxy（其中 a0）仅在点 （3

11、,0）处取得最大值,就 a 的取值范畴为y1；y1,15.已知实数 x,y满意y2x1,假如目标函数zxy 的最小值为1,就实数 m 等于（）xym题型九：实际问题某饼店制作的豆沙月饼每个成本35 元,售10 个,售价不超过价 50 元；凤梨月饼每个成本20 元,售价 30 元；现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过350 元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本学问参考答案高中数学必修内容练习x-不等式log x3 2logx2；当1x4时,1+log x3 2logx2；当x4时,1+log x3 2logx21. 2.；p q ；4 3时,1+3

12、.当 0x1或33名师归纳总结 第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4.a b 1lg a 0 , lg b 0 Q 1（lg a lg b lg a lg b p2R lg a b lg ab 1lg ab Q RQP；2 25.6. x x 1 或 x 2；7. 1,1 2,3）；28. 不等式 ax bx 12 0 的解集为 x|-1 x2 ,就 a =_-6_, b=_6_ 9. , 1 ,2 ） . 10. 解：当 a 0 时,不等式的解集为 x x 1； 2 分当 a 0时, ax1 x10；当 a 0

13、时,原不等式等价于 x1 x10 a a不等式的解集为 x x 1 或 x 1； . 6 分a当 0a 1时, 11 ,不等式的解集为 x 1 x 1； . 8分a a当 a 1时,1 1,不等式的解集为 x 1x 1； . 10分a a当 a 1时,不等式的解为 . 12 分11. _0x 4_ 12. m 1）213. m ,1614. 解：（ 1） y3x 2 12x 2 2 3x 2 1 2x 26 值域为 6 , +）（ 2）当 x 0 时, yx1 x 2 x1x2；当 x0 时, y x1 x = （x1 x） 2 x1x =2 值域为（,2 2, +）15.（1）解 x 5 ,

14、 5 4 x 0,y 4 x 2 15 4 x 13 2 3 14 4 x 5 5 4 x当且仅当 5 4 x 1,即 x 1 时,上式等号成立,故当 x 1 时,y max 1；5 4 x（2）当,即 x2 时取等号当 x2 时,yx82 x 的最大值为8；16.解析一：59（当且仅当x1 时取“ ” 号）；当, 即时 ,y2（x1x41解析二：此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分别求最值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6yt2 17t1 +10=t25 t4t45t

15、tt当, 即 t=时 ,y2t459（当 t=2 即 x1 时取“ ” 号）；t17.解：令x24t t2,就yx252 x4x14t1 t22t2 x4因t0,t11,但t1解得t1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性；tt由于yt1在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y5；t2所以,所求函数的值域为5 , 2；18.（条件不等式）（ 1）解：a 3 和3b都是正数,3ab 32a 3b 323ab6当3a3b时等号成立,由ab2及3a3b得ab1即当ab1时,3a3 b的最小值是（ 2）解 ：x0,y0,191,xyxy19y9x1061016xyxyxy当且仅当y9

16、x时,上式等号成立,又191,可得x4,y12时,xymin16xyxy（ 3）解： x1 y2 x21y 22 x1 2y 222下面将 x, 2 2y 2分别看成两个因式：x 2 2 y 2x 2 2 2y 2 2x 2 2y 213 4即 x1 y2 2 x 2 2 y 23 42 22（ 4）解：法一： a302b b1,ab30 2bb2 b2 30bb 1b 1由 a 0 得, 0b15 令 t b+1,1 t 16, ab 2t 234t 31 t 2（t16 t） 34 t16 t 2t16 t8 第 7 页,共 8 页 ab 18 y1 18当且仅当 t 4,即 b3, a

17、6 时,等号成立；ca法二：由已知得：30 ab a 2b a 2b 22 ab 30 ab22 ab令 uab就 u 2 22 u300, 52 u 32 ab32 ,ab18, y1 1819.已知a ,b,c为两两不相等的实数,求证：a2b2c2abbc820.正数 a, b,c 满意 a bc 1,求证： 1a1b1c8abc21.已知 a、 b、cR,且abc1；求证：111111abc名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：a、b、 cR ,abc1；111a学习必备ac欢迎下载；同理1 b12ac,1 c12ab；上述三个不等ab2bcaabc式两边均为正,分别相乘,得1111112bc2ac2ab8；当且仅当abc1时取等号；水池外圈周壁长：3abcabc22.解：如设污水池长为x 米,就宽为（米）（米）中间隔墙长：（米）池底面积： 200（米2）目标函数：23.4 z 元24.3 ,1225.1 26.1,；227.5 解： 设一盒內放入x 个豆沙月饼, y 个凤梨月饼,利润为就 x,y 必需满意,名师归纳总结 目标函数为z 15x10y 第 8 页,共 8 页- - - - - - -