2022年高三圆锥曲线复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考纲要求（1）圆锥曲线 明白圆锥曲线的实际背景,作用；明白圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的 把握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁性质； 明白双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简洁几何性质； 明白圆锥曲线的简洁应用； 懂得数形结合的思想；（2）曲线与方程 明白方程的曲线与曲线的方程的对应关系；基本学问回忆（1）椭圆 椭圆的定义 设 F1,F2 是定点（称焦点） ,P 为动点,就满意 |PF1|+|PF2|=2a 其中 a 为定值,且 2a |F1F2|的动点 P 的轨迹称为椭圆 ,符号表示： |PF1

2、|+|PF2|=2a（2a| F1F2|； 椭圆的标准方程和几何性质标准方程焦点在 x 轴上的椭圆焦点在 y 轴上的椭圆x2+y2=1（a b0）y2+x2=1（ ab0）范畴2222ababxa a , xb b , yb b , ya a , 图形对称性对称轴： x 轴、 y 轴对称中心：原点名师归纳总结 顶点A 1a ,0,A a ,0F1F2=2c A 10,a,A 20, 第 1 页,共 46 页轴B 1b ,0,B b ,0B 10,b B 20, 长轴 A1A2 的长为： 2a 短轴 B1B2 的长为： 2b 焦距- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

3、 - - 离心率学习必备ea2欢迎下载0,1c e aa,b,c 关系b2c2例题例1 ： 椭 圆x2y21的 焦 点 为F 1,F , 点P 在 椭 圆 上 , 如|PF1| 4, 就92|PF2|；F PF 的大小为2；0的两个焦点,p 为椭圆 C 上的一F、 F 是椭圆C:x2y变式 1：已知221 abab点,且 PF 1 PF 2；如 PF F 的面积为 9,就 b；例 2：如点 P 到点 F4,0的距离比它到定直线 x+5=0 的距离小 1,就 P 点的轨迹方程是（）A y 2= 16 x B y 2= 32 x Cy 2=16x Dy 2=32x变式 2：动圆与定圆 A：x+2

4、2+y 2=1 外切,且与直线x=1 相切,就动圆圆心 P 的轨迹是（）A 直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线变式 3：抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P m , 3 到焦点的距离为 5,就抛物线方程为（）A x 2 8 y Bx 2 4 y Cx 2 4 y Dx 2 8 y变式 4：在抛物线 y2=2x 上有一点 P,如 P 到焦点 F 与到点 A（3,2）的距离之和最小,就点 P 的坐标是；课后作业名师归纳总结 1已知椭圆x2+y2=1, F1、F2分别为它的左右焦点,CD 为过 F 1 的弦,就F2CD 的第 2 页,共 46 页169周长是（）B12 C16 D 不能确

5、定A10 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载22 y2 设 P 为 双 曲 线 x 1 上 的 一 点 ,F 1,F 2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 如12| PF 1 |:| PF 2 | 3: 2,就PF F 2 的面积为（）A 6 3 B 12 C12 3 D 2423已知直线 l 1: 4 x 3 y 6 0 和直线 l 2: x 1,抛物线 y 4 x 上一动点 P 到直线 1l和直线 2l 的距离之和的最小值是（）A2 B3 C11 D375 16答案：例题例 1、2,120 解：a29,b23,ca22

6、b9227,F F 212 7,又PF 14,PF 1PF 22 a6,PF 22,2,又由余弦定理,得cosF PF2224227242F PF2120,故应填 2, 120 ；变式 1、3 解：依题意,有,PF 1PF22aPF 1PF 218可得 4c2364a 2,即 a 2c29,PF 12PF224c2故有 b3；例 2、C 变式 2、D 变式 3、D 变式 4、（ 2,2）课后作业1C 2B 23解：直线 l 2: x 1 为抛物线 y 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 2l 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F ,1 0 的距离,故此题化为在抛物线 y 24 x 上找一个

7、点 P使 得 P 到 点 和 F ,1 0 直 线 2l 的 距 离 之 和 最 小 , 最 小 值 为 F ,1 0 到 直 线4 0 6l 1: 4 x 3 y 6 0 的距离,即 d min 2,故挑选 A ；5（2）双曲线 双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2（称为焦点）的距离的差的肯定值等于常数2a 0 2a|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线,符号表示： |PF1| |PF2|=2a 02a名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载|F1F2|； 双曲线的标准方程和几何性质焦点在 x 轴上的双曲

8、线焦点在 y 轴上的双曲线标准方程x 2y2=1（ a0,b0）y2x2=1（a0,b0）范畴a2b2a2b2xa a , xb b , yb b , ya a , 图形对称性对称轴： x 轴、 y 轴对称中心：原点顶点A 1a ,0,A a ,0A 10,a,A 20,a轴实轴 A1A2 的长为： 2a 虚轴 B1B2 的长为： 2b 焦距F1F2=2c ec e a1,+离心率a,b,c 关系2 ca22 b例题名师归纳总结 例 3：假如方程x2ky22表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范畴是第 4 页,共 46 页（）A 0, B 0, 2C 1,D 0,1变式 5：双曲线8k

9、x2ky28的一个焦点为 0,3 ,那么 k 的值是（）A 1B 1C65D6533变式 6：曲线x2y21的离心率 e1, 2,就 k 的取值范畴是（）4kA, 0 B3, 0 C12, 0 D60, 12 例 4：设F 和F 为双曲线x2y21a0,b0的两个焦点 , 如F 1,F2, 0,2 a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载是正三角形的三个顶点 ,就双曲线的离心率为（）A3 B 2 C5 D3 2 22 2变式 7：过椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左焦点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F 2a b为右焦点

10、,如 F PF 2 60,就椭圆的离心率为（）A2 B3 C1 D12 3 2 32 2变式 8：设 F 1,F 2 分别是双曲线 x2 y2 1 的左、右焦点,如双曲线上存在点 A,a b使 F AF 2 90 且 AF 1 3 AF,就双曲线的离心率为（）A5 B10 C152 2 22 2变式 9：双曲线 x2 y2 1（a0,b0）的两个焦点为a b|PF1|=2|PF2|,就双曲线离心率的取值范畴为（）D5F1、F2,如 P 为其上一点,且A 1,3 B 1,3 C 3,+ D 3,2 2例 5：设双曲线 x2 y2 1 a 0 , b 0 的虚轴长为 2,焦距为 2 3,就双曲线的

11、a b渐近线方程为（）Ay 2 x By 2 x Cy 2x Dy 1x2 22 2变式 10：已知双曲线 x y2 1 b 0 的左、右焦点分别是 F 、F ,其一条渐近2 b线方程为 y x,点 P 3 , y 0 在双曲线上 .就 PF PF 2（）A12 B 2 C0 D4 2 2变式 11：双曲线 x-y=1 的焦点到渐近线的距离为（）4 12A 2 3 B2 C3 D 1 答案：例题例 3、C 变式 5、B 变式 6、C 名师归纳总结 例 4、B 解：由tan6c3有3 c24b224c2a2,就eac2,应选 B；第 5 页,共 46 页2b3a变式 7、B,解：由于Pc ,b2

12、,再由F1PF60有3 b22,从而可得aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ec3,应选 B；学习必备欢迎下载a3变式 8、B 变式 9、B 例 5、C 解：由已知得到 b ,1 c ,3 a c 2b 2 2,由于双曲线的焦点在 x轴上,故渐近线方程为 y b x 2 xa 2变式 10、C 解：由渐近线方程为 y x 知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是x 2y 22,于是两焦点坐标分别是（ 2,0）和（2,0）,且 P 3 1, 或 P 3 , 1 .不妨去 P 3 1,就 PF 1 2 3 , 1,PF 2 2 3 , 1 . PF 1 PF

13、2 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 2 3 1 02 2变 式 11、 解 ： 双 曲 线 x-y=1 的 焦 点 4,0 到 渐 近 线 y 3 x 的 距 离 为4 123 4 0d 2 3 ,选 A 2（3）抛物线 抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线（定点 F 不在定直线 l 上）； 抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22pxp0y22pxp0x22pyp0 x22pyp0 图形y y y y x F o x F o x o o F x F 顶点关于 x 轴对称坐标原点 O（0

14、,0）关于 y 轴对称对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称焦点（p,0 ）（-p,0 ）（ 0,p）（0,-p）2222离心率xp 2e=1 yp 2xpyp准线方程22 学问拓展名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载抛物线焦点弦的性质设 AB 是过抛物线y222pxp0焦点 F 的弦,如A x 1,y 1,B x2,y2就1.x x 2p2,y y 2x2 p ；2p 为弦 AB 的倾斜角 ；4p =2.弦长丨 AB 丨=x 1sin23.1 FA12；FBp4.以弦 AB 为直径的圆与准线相切；

15、5.A,O 与 B 在准线上的射影B 三点共线, B,O 与 A 在准线上的射影A 三点共线；例题例 6：斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2=4x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B,就线段 AB 的长是；变式 12：抛物线 y 2=2x 上的两点 A、B 到焦点 F 的距离之和是 5,就线段 AB 的中点M 的横坐标是变式 13：设过抛物线的焦点 位置关系是（）F 的弦为 PQ,就以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的A相交B相切C相离D以上答案均有可能A、变式 14：过抛物线y22px p0的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于B 两点,如线段AB 的长为 8,就 p_ 课后作业名

16、师归纳总结 1如双曲线x2y21ao的离心率为2,就 a 等于（）第 7 页,共 46 页a232A2 B3C3 2 D1 2双曲线x2y21（a0,b0）的左、右焦点分别是F 1,F 2,过F 作倾斜a2b2角为 30 的直线交双曲线右支于M 点,如MF 垂直于 x 轴,就双曲线的离心率为（）A6B3C2D333已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,就该双曲线的离心率为；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4已知双曲线的离心率为学习必备欢迎下载）2 ,焦点是 4 0, , 4 0, ,就双曲线方程为（2 2 2 2 2 2 2 2

17、x y x y x y x yA1 B1 C1 D14 12 12 4 10 6 6 105抛物线 y 28 x 的焦点坐标是（）A（2, 0）B（2 ,0）C（4,0）D（4 ,0）26设 F 1,F 2 分别是双曲线 x 2 y1 的左、右焦点；如点 P 在双曲线上,且9PF 1PF 2 0,就 PF 1 PF 2（）A10 B 2 10 C5 D 2 52 27已知椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,a b且 BF x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P ；如 AP 2 PB ,就椭圆的离心率是 （）A3 B2 C1 D12 2 3 22

18、8已知抛物线 y 2 px p 0 的焦点为 F ,点 P x 1,y 1 ,P x 2,y 2 ,P x 3,y 3 在抛物线上,且 2x 2 x 1 x ,就有（）2 2 2AFP 1 FP 2 FP 3 BFP 1 FP 2 FP 32C2 FP 2 FP 1 FP 3 DFP 2 FP 1 FP 3答案：例题例 6、8 变式 12、2 变式 13、B 变式 14、2,解：由题意可知过焦点的直线方程为；yxp,2联立有y22pxx23pxp20,yxp42又AB2 1 1 3 24p28p24课后作业名师归纳总结 1解：由x2y21 可知虚轴 b= 3,而离心率 e=ca232,解得 a

19、=1 或第 8 页,共 46 页2aaa3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a=3,参照选项知而应选D；学习必备欢迎下载2B 33 4A 名师归纳总结 5解：由y28 x ,易知焦点坐标是p 2,0 2,0,应选 B；1第 9 页,共 46 页6B 2 OF,a2 ,eOA7D,对于椭圆,由于AP2PB ,就28C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解圆锥曲线常用方法（1）韦达定理的应用例题例 1：在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x2y21 ab0的左焦点为a2b2F 1 1,0,

20、且点P0,1在C 上x 相切,求直线 l 的方程（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线 l 与椭圆C 和抛物线C2:y24课后作业2 21、双曲线 x y1 的渐近线与圆 x 3 2y 2r 2 r 0 相切,就 r=（）6 3A3 B2 C3 D6 2 22、设双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 有且只有一个公共点,就a b双曲线的离心率为（）A5 B5 C5 D54 23、已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B两点,如ABF2 是正三角形,就这个椭圆的离心率是（）A3 B3 C2 D23 2 3 2答案：名师归纳总结

21、例 1、解： 1:依题意： c=1, 1 分第 10 页,共 46 页就：a2b21, 2 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 分设椭圆方程为：bx21y21 3 分22 b将P 01,点坐标代入,解得：b21 所以a2b21112故椭圆方程为：x2y21 5 分2（2）设所求切线的方程为：ykxm 6 分ykxmx2y212排除 y 2 k21 x24kmx 2m22 014km242k212m22 7 分化简得：m22k218 分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得：y2kxxmy4排除 y 得：k2x22km4x4m2200

22、9 分22km4 2k2m化简得：km1 10 分14 分2 k4k2102将代入解得：解得：k21,k21 舍去）,故k2,或者k222当k1 时,m2 ,当k1 时,m2 12 分 2x2 或者y2x2故切线方程为：y22课后作业 1、A 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、D 解：双曲线学习必备欢迎下载2ybx, x2y21的一条渐近线为ybx,由方程组aa2b2ayx21消去 y,得x2bx10有唯独解 ,所以b40, aa所以b2,eca2ab21b25,应选 D；3、解：设aaa3,所以椭圆的离心A

23、F 11,由 ABF 2是正三角形知AF 22,F F 2率ec2cF F 1 23,应选 A；a2aAF 1AF 23（2）圆锥曲线弦长问题例题例 2：已知椭圆 C:x2y2=1ab0的离心率为6 ,短轴一个端点到右焦点的距 3a2b2离为3 ；（1）求椭圆 C 的方程 ; （2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点O 到直线 l 的距离为3 ,2求 AOB 面积的最大值；课后作业1、设 P 是椭圆x2y21a1短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求PQa2的最大值；2、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的名师归纳总结 - - - -

24、 - - -第 12 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四边形为正方形,两准线间的距离为 4；（1）求椭圆的方程；（2）直线 l 过点 P0,2且与椭圆相交于 求直线 l 的方程；答案：例题A、B 两点,当 AOB 面积取得最大值时,名师归纳总结 例 2、解：（1）设椭圆的半焦距为c ,依题意c6b1,第 13 页,共 46 页a3a3所求椭圆方程为x22 y1；3（2）设A x 1,y 1,B x 2,y 2；当 ABx轴时,AB3；当 AB 与 x轴不垂直时,设直线AB的方程为ykxm ；由已知1mk23,得2 m3 k4212把 ykxm

25、 代入椭圆方程,整理得3k21 x26kmx32 m30,x 1x 236km,x x 23 m21；k213k21AB21k2x2x 121k236k2m212m213k2123 k2112k213 k21m23k219k213 k22 13 k22 139k412k22139k2126k0321264；6k13k2当且仅当9k21,即k3时等号成立当k0时,AB3,k23综 上 所 述ABm a x2； 当AB 最 大 时 ,A O B 面 积 取 最 大 值S1ABmax33222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课后作业名师归

26、纳总结 1、解 : 依题意可设P0,1,Qx,y,就 |PQ|=x2y12,又由于 Q 在椭圆上 , 第 14 页,共 46 页所以x2a21y2,PQ2a21y2y22y11a2y22y1a21a2y11221121a2aa由于y1,a1, 如 a 2, 就112 1,当y112时, |PQ|取最大值aaa2aa211；2如 1a 2,就当 y=1 时, |PQ|取最大值 2；2、解：设椭圆方程为2 xy21 abc a2b2（1）由已知得ba2c42 ca222b21cab2c212所求椭圆方程为x2y21；2（2）解：由题意知直线 l 的斜率存在,设直线l 的方程为ykx2,A x y

27、1,B x 2,y 2ykx2由x2y21,消去 y 得关于 x 的方程：12k2x28kx602由直线 l 与椭圆相交于A、B 两点,064 k22412k20解得k232又由韦达定理得x 1x 2118k22kx 1x26k22|AB|1k2|x 1x 2|1k2x 1x224x x 2112k216k224k2原点 O 到直线 l 的距离d12k2SAOB1|AB|d16k2k242 22k23；212212k2令m2k23m0,就2k2m23S22 m2222 m4m42m当且仅当m4即m2时,S max2m2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

28、此时k14；学习必备欢迎下载142y40所以,所求直线方程为2（3）圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法” 求解；1在椭圆 xa 22 b y2 21 中,以 P x 0 , y 0 为中点的弦所在直线的斜率 k=a b 22 xy 00；2在双曲线a x 22b y2 21 中,以 P x 0 , y 0 为中点的弦所在直线的斜率 k=a b2 2 xy 00；3在抛物线 y 2 2 px p 0 中,以 P x 0 , y 0 为中点的弦所在直线的斜率 k= p；y 02例3、对于双曲线 x 2 y 1,过点 B 1,1 能否作直线 m ,使 m 与双曲线交于

29、 P, Q2两点,且点 B 是 PQ 的中点；例 4、椭圆的一个焦点是 0 , 5 2 ,且截直线 3 x y 2 0,所得弦 的中点的横坐标为1 ,求椭圆的标准方程；2课后作业名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 21、假如椭圆 x y1 弦被点 A（4,2）平分,那么这条弦所在的直线方程是36 92 22、已知直线 y=x+1 与椭圆 x2 y2 1 a b 0 相交于 A、B两点,且线段 AB的中a b点在直线 L： x 2y=0 上,就此椭圆的离心率为3、已知抛物线 C的顶点坐标为原点,

30、焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C交于 A,B两点,如 P 2,2 为 AB 的中点,就抛物线 C的方程为24、已知椭圆 xy 21 的左焦点为 F,O为坐标原点；2（1）求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程；（2）设过点 F 的直线交椭圆于 A、B两点,并且线段 AB的中点在直线 x y 0 上,求直线 AB的方程；答案：名师归纳总结 例3、解：假设存在直线 m,设Px 1,y 1,Qx 2,y2,就2y 1y2080第 16 页,共 46 页2x 12y 12212x22y2222x 1x223 y 1y224（1）（ 2）得：2x 1x 2x 1x2y 1y4x 1x 22y 1y 20ky1y22x 1x24m的方程为：y12x1即y2x12423由yx22xy12得2x24x3022m与已知双曲线无交点,即假设不成立,m不存在；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -