2022年高中数学不等式知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式学问点归纳 : 一、不等式的概念与性质1、实数的大小次序与运算性质之间的关系：abab0abab0abab02、不等式的性质：,abba反对称性1abba2ab ,bcac,ab ,bcac传递性3abacbc,故abcacb移项法就推论：ab ,cdacbd同向不等式相加4ab ,c0acbc,ab,c0acbcd0acbd推论 1：ab0 ,c推论 2：ab0anbn推论 3：ab0nanb不等式的性质是解、 证不等式的基础, 对于这些性质, 关键是正确懂得和熟练运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强；3、常用

2、的基本不等式和重要的不等式1aR ,a2,0a0当且仅当a0 ,取“”PS）222a ,bR ,就a2b22ab3a,bR,就ab2ab4a22b2a2b24、最值定理 : 设 , x y0, 由xy2xy1如积xyP 定值）,就积xy 有最小值22如积xyS 定值）,就积xy 有最大值（即: 积定和最小,和定积最大；运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等5、均值不等式 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两个正数的均值不等式：a2bab三个正数的均值不等是：ab2c3abcna 1a 2an3n 个正数的均

3、值不等式：a 1anan6、 四种均值的关系：两个正数 均方根之间的关系是a、 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、2 22 ab a b a b1 1 2 2a b小结 : 在不等式的性质中,要特殊留意下面 4 点： 1、不等式的传递性：假设 ab,bc, 就 ac, 这是放缩法的依据,在运用传递性时,要留意不等式的方向,否就易产生这样的错误：为证明 ac, 挑选中间量 b, 在证出 ab,cb, 后,就误认为能得到 2、同向不等式可相加但不能相减,即由但不能得 acbd；ac；ab,cd ,可以得出 a+cb+d, 3、不等式两边同时乘以一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到同向的

4、不等式, 否就不能保证所乘之数或式为正,就不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向； 不等式两边同偶次乘方时, 也要特殊留意不等式的 两边必需是正；不等式的应用范畴特别广泛, 在数学中, 诸如集合问题, 方程 组 的解的讨 论,函数单调性的争论,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解 析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着亲密的联系,很多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明；二、不等式的证明方法1比较法： 作差比较：AB0AB作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数或式作差；变形：对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和；判定差的符号：结合变形的结果及题设

5、条件判定差的符号；留意：假设两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；2综合法： 由因导果 由已知的不等式动身 , 不断地用必要条件代替前面的不等式 , 直到推导出前面的不等式；常用的基本不等式有|a|均值不等式；|假设a,b ,m0,ab,就aam；假设a,bR,就|b|ab|a|b|；bbm柯西不等式naib i2n2 a in2 b ii1i1i13分析法： 执果索因 基本步骤：要证 只需证 ,只需证 “ 分析法” 证题的理论依据：查找结论成立的充分条件或者是充要条件；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - -

6、- - “ 分析法” 证题是一个特别好的方法,但是书写不是太便利,所以我们可以 利用分析法查找证题的途径,然后用“ 综合法” 进行表达；4反证法： 正难就反 直接证明难,就用反证；5放缩法： 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：a21a；n n1 n；将分子或分母放大或缩小利用基本不等式,如：log3lg5lg32lg52lg15lg16lg4；nn1 nn1 2利用常用结论：、k11kk1k1k21；11 1k11程度大1k、k111k1 ；kk2k1kk2kk、1k11k11 1k1k1； 程度小k221 2116换元法： 换元的目的就是削减不等

7、式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元；如：r1 ；已知x2y2a2,可设xacos,yasin；已知x2y21,可设xrcos,yrsin0已知x2y21,可设xacos,ybsin；a2b2已知x2y21,可设xasec,ybtan；a2b27构造法： 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法敏捷多样, 但比较法、 综合法、 分析法和数学归纳法 仍是 证明不等式的最基本方法；要依据题设、题断的结构特点、内在联系,挑选适当的证明方法, 要熟识各种证法中的推理思维,点；并把握相应的步骤, 技巧和语言特数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法

8、中特地争论；例 1 已知 a,bR,且 a+b=1；名师归纳总结 求证：a22b2225；第 3 页,共 10 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证法一：比较法a,b2R ,ab21 ,b1ab91 220a2b225a2b24a22即a21a249 22 a22 a12a22225 2当且仅当122abab时,取等号；2证法二：分析法a2221B22425a2b24ab82522baa 2825a120a122由于明显成立,所以原不等式成立；点评：分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“ 后一步” 是“ 前一步” 的 充分条件；证法三：综合法由上

9、分析法逆推获证略 ；证法四：反证法假设a2 2b22225 2,25就a2b24 ab825； 1a122由 a+b=1,得b1a,于是有a22所以a120,22b222这与a120冲突；2所以a22b2225；2证法五：放缩法ab1左边a22b222aa22ab2；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证法六：均值换元法ab1,所以可设a12t,b1t,t2221t2222左边a2b22122t52t522 t2525右边2222当且仅当 t=0 时,等号成立；点评：形如 a+b=1 结构式的条件,一般可以采纳均值换

10、元名师归纳总结 证法七：利用一元二次方程根的判别式法的最大值；第 5 页,共 10 页设 y=a+22+b+22,由 a+b=1,有ya2 2 3a22a 22 a13,所以2a22a13y0,由于aR,所以442 13y0,即y25；2故a22b2225；2例 2 a,b ,c0,求证：bcacababc；abc证：bcac2 ,同样地,利用均值不等式,我们可以得到ab2bcacab2abc,即bcacababc；abcabc例 3 已知x,y0,xy1, 求证 11 119；xy证： 1111 1xxy1xyy42y2x19xyxy例 4 已知a,b,c0,abc1,求3 a13 b13

11、c1解：由题可得3a123 a12当且仅当3a12即a1 3时等式成立；2同理,可得23a13 b13 c13abc96；2故而可知其最大值为6. 例 5 已知xyz1,求证x2y2z213证：令0,且x1,y1,z1,于是333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2y2z21222212221；3333例 6 已知 n 是正整数,求证：n1n13n1121332 1113 123 3n证：当n2时,有122n3nnnnnn11 nnn1nn于是11131312112 112 11132133 13 23n1223nnn小结： 1 、把握好不等式的证明

12、,不等式的证明内容甚广,证明不但用到不等式的 性质,不等式证明的技能、技巧,仍要留意到横向结合内容的方方面面；如与数 列的结合,与“ 二次曲线” 的结合,与“ 三角函数” 的结合,与“ 一元二次方程,一元二次不等式、二次函数” 这“ 三个二次” 间的相互联系、相互渗透和相互制 约,这些也是近年命题的重点；2、在不等式证明中仍要留意数学方法,如比较法包括比差和比商、分析 法、综合法、反证法、数学归纳法等,仍要留意一些数学技巧,如数形结合、放 缩、分类争论等；3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时,常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商

13、值比较法,即欲证ab,a,0b0 可证a1b4、基本思想、基本方法 ：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本 方法；用分析法探究证明的途径, 然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决 数学问题的一种重要的数学思想方法； “ 分析法” 证明不等式就是“ 执果索因”用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,从所证的不等式动身,不断利 直至找到明显成立的不等式, 书写方法习惯上用“” 来表达分析法是数学解题的两个重要策略原就的详细运用,两个重要策略原就是：正难就反原就： 假设从正面考虑问题比较难入手时,就可考虑从相反方向去 探究解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件

14、追溯；简洁化原就： 寻求解题思路与途径, 常把较复杂的问题转化为较简洁的问题,在证明较复杂的不等式时, 可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化,得到一 个较易证明的不等式；但凡“ 至少” 、“ 唯独” 或含有否认词的命题相宜用反证法；换元法主要指三角代换法多用于条件不等式的证明,此法假设运用恰 当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简洁的三角问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 含有两上字母的不等式,假设可化成一边为零,而另一边是关于某字母的 二次式时,这时可考虑判别式法,并留意根的取值范畴和题目的限

15、制条件；有些不等式假设恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做 到有的放矢,留意放缩适度；三、解不等式 1、解不等式问题的分类 1 解一元一次不等式 2 解一元二次不等式 3 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带肯定值的不等式；解不等式组 2、解不等式时应特殊留意以下几点：1 正确应用不等式的基本性质 2 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性 3 留意代数式中未知数的取值范畴 3、不等式的同解性1fxgx 与 0fx0或fx0同解 gx0 gx02fxgx 与 0fx0或fx0同解gx0gx0

16、3 fx gx 与fx0或fx0同解gx0gx0gx04fx gx 与fx0或fx0同解gx0gx0gx05|fx| 6|fx|gx 与 gx fx gx 同解 gx 0 gx 与fx gx 或 fx gx 其中 gx 0 ；gx 0 同解名师归纳总结 7fxgx与fxgx2或fx0 同解0第 7 页,共 10 页fx0gx与gx08fxgxfxgx2同解fx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9 当 a1 时, a fx a gx 与 fx gx 同解,当 0a1 时, a fx a gx 与 fx gx 同解10当 时,a 1log fxlog g

17、x与fxgx同解fx0当 时,log fxlog gx与fxgx fx0同解gx04、零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形式：P x 0移项,通分（不轻易去分母）Qx首项系数符号 0标准式, 假设系数含参数时, 须判定或争论系数的符号,化负为正判定或比较根的大小小结：1、 带 等 号 的 分 式 不 等 式 求 解 时 , 要 注 意 分 母 不 等 于 0 , 二 次 函 数y2 axbxc的值恒大于 0 的条件是a0且0 ；假设恒大于或等于0,就a0且0 ；假设二次项系数中含参数且未指明该函；是二次函数时, 必需考虑二次项系数为 0 这一特殊情形； 2 、忽视对定义域的考虑

18、以及变形过程的不等价,因此要强化对转化的依据的摸索；是解无理不等式的常见错误,3、数形结合起来考虑,可以简化解题过程,特殊是填空、挑选题,仍可利用 图形验证,解题的结果；4、解指数、对数不等式的过程中常用到换元法；底数是参数时,须不重不漏地分类争论；化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一, 在取对数过程中, 特殊要留意必需考虑变量的取值范畴；当所取对数 的底数是字母时,随时要把“ 不等号是否变向” 这一问题斟酌一再；5、解含参数的不等式时, 必需要留意参数的取值范畴,并在此范畴内对参数 进行分类争论； 分类的标准要通过懂得题意 例如能依据题意挖掘出题目的隐含条件,依据

19、方法例如利用单调性解题时,抓住使单调性发生变化的参数值,依据解答的需要例如进行不等式变形时必需具备的变形条件等方面来打算,要求做到不重复、不遗漏；四、含肯定值的不等式1、解肯定值不等式的基本思想: 解肯定值不等式的基本思想是去肯定值,常采纳的方法是争论符号和平方；2、留意利用三角不等式证明含有肯定值的问题|a| |b|a+b|a|+|b|;|a| |b|a b| |a|+|b|;并指出等号条件；名师归纳总结 3、1|fx|gx gxfxgxfxgx或 fx gx 无论 gx 是否为正；3含肯定值的不等式性质双向不等式a b a b a b左边在 ab 0 0 时取得等号,右边在 ab 0 0

20、时取得等号；五、简洁的线性规划问题1、二元一次不等式表示平面区域 : 在平面直角坐标系中,已知直线 Ax+By+C=0,坐标平面内的点 Px0,y0；B0 时, Ax0+By0+C0,就点 Px0,y0在直线的上方； Ax0+By0+C0,就点Px0,y0在直线的下方；对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0或 0,无论 B 为正值仍是负值,我们都可以把 y 项的系数变形为正数；当 B 0 时, Ax+By+C0 表示直线Ax+By+C=0 上方的区域； Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域；2线性规划 : 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线

21、性规划问题；满意线性约束条件的解 x,y叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域类似函数的定义域 ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；生产实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题；线性规划问题一般用图解法,其步骤如下：1依据题意,设出变量 x、y；2找出线性约束条件；3确定线性目标函数 z=f x,y；4画出可行域即各约束条件所示区域的公共区域；5利用线性目标函数作平行直线系 f x,y=t t 为参数；6观看图形,找到直线f x,y=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案；例 1 求不等式 x1+y1 2 表示的平面区域的面积；分析：依据条件画出所

22、表达的区域,再依据区域的特点求其面积；解： x1+y1 2 可化为x14或x12或xx1y2或x10y1y1y1y1xyxyxy其平面区域如图；面积 S=1 4 4=8；2点评：画平面区域时作图要尽量精确,要留意边界；小结：简洁的线性规划在实际生产生活中应用特别广泛,资源的限制下, 如何使用资源来完成最多的生产任务；主要解决的问题是： 在 或是给定一项任务, 如何合理支配和规划,能以最少的资源来完成；如常见的任务支配问题、配料问题、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 下料问题、布局问题、库存问题,通常解法是将实际问题转化为数学模型,归结为线性规划,使用图解法解决；通常最优解在可行域的顶点即边界线的交点处取得,但最优整数解不肯定是顶点坐标的近似值；它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最终经过的那一整点的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页