2022年高中数学选修-知识点3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学选修 4-5 学问点 1不等式的基本性质1实数大小的比较 1数轴上的点与实数之间具有一一对应关系2设 a、b 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A、B.当点 A 在点B 的左边时, ab3两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系 ab. ab0 ab. ab 0 ab. ab,b. bb,bc. ac；3可加性： ab,cR. acbc；4加法法就： ab,cd. acbd；5可乘性： ab,c0. acbc；ab,c0. acb0,cd0. acbd；7乘方法就： ab0,nN 且 n2. anbn；8开方法就： ab0,nN

2、 且 n2. n an b. 9倒数法就,即 ab0. 1 a0,那么ab2ab abab,当且仅当 ab2时,等号成立2定理 2 的应用：对两个正实数 x,y,假如它们的和 S 是定值,就当且仅当xy 时,它们的积 P 取得最大值,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最大值为S2 4 . 假如它们的积P 是定值,就当且仅当xy 时,它们的和S 取得最小值,最小值为 2 P. 3基本不等式 abab 2的几何说明如图,AB 是 O 的直径,C 是 AB 上任意一点,DE 是过 C 点垂直 AB 的弦假设 ACa,BC

3、 b,就 ABab,O 的半径 Rab 2,Rt ACDRt DCB,CD2ACBCab,CDab,CDR. abab 2,当且仅当 C 点与 O 点重合时, CDRAB 2,即 abab 2 . 4几个常用的重要不等式1假如 aR,那么 a20,当且仅当 a 0 时取等号； ab22假如 a,b0,那么 ab4,当且仅当 ab 时等号成立3假如 a0,那么 a1 a 2,当且仅当 a1 时等号成立4假如 ab0,那么a bb a2,当且仅当 ab 时等号成立3三个正数的算术 -几何平均不等式1假如 a、b、cR,那么 a3b3c33abc,当且仅当 ab c 时,等号成立2定理 3假如 a、

4、b、cR,那么abc33abc ab c 33 abc,当且仅当 ab c 时,等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均3假如 a1,a2, , anR,那么a1a2 an nn a1a2 an,当且仅当a1a2 an 时,等号成立即对于 均不小于它们的几何平均二n 个正数 a1,a2, , an,它们的算术平 确定值不等式1确定值三角不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1确定值及其几何意义1确定值定义： |a|aa0aa0a 的点 A 到原点2确定值几何意义：实数a 的确定值 |a|表示数轴上坐标为O

5、 的距离 |OA|. 3数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A,B 分别对应实数x1,x2,就 |AB|x1x2|2确定值三角不等式 1定理 1：假如 a,b 是实数,就 |ab|a|b|,当且仅当 ab0 时,等号 成立推论 1：假如 a,b 是实数,那么 |a|b|ab|a|b|. 推论 2：假如 a,b 是实数,那么 |a|b|ab|a|b|. 2定理 2：假如 a,b,c 是实数,那么 |ac|ab|bc|,当且仅当 abbc0 时,等号成立2确定值不等式的解法1|x|a 型不等式的解法 设 a0,就1|x|a. axa. xa；4|x|a. xa 或 xa2|axb|cc0与|a

6、xb|cc0型不等式的解法 1|axb|c. caxbc；2|axb|c. axbc 或 axbc3|xa|xb|c 与|xa| |xb|c 型不等式的解法 1利用确定值不等式的几何意义求解,表达数形结合思想,懂得确定值的 几何意义,给确定值不等式以精确的几何说明2以确定值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“ 零点分段法”求解,表达分类争论的思想确定各个确定值号内多项式的正、负号,进而去掉确定值号3通过构造函数,利用函数的图象求解,表达了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象有时需要考察函数的增减性是关键注：确定值的几何意义x 与原点 O 的距离；1|x|的几何意义是数轴上点2

7、|xa|xb|的几何意义是数轴上点 3|xa|xb|的几何意义是数轴上点 2确定值不等式的几何意义x 到点 a 和点 b 的距离之和；x 到点 a 和点 b 的距离之差1|x|aa0的几何意义是以点 a 和 a 为端点的线段, |x| a 的解集是 a,a名师归纳总结 2|x|aa0的几何意义是数轴除去以点a 和 a 为端点的线段后剩下的两第 3 页,共 11 页条射线, |x|a 的解集是 , aa, 3解含确定值不等式的关键是去掉确定值变形为不含确定值的不等式组- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求解例题：例如：分类争论法：即通过合理分类去确定值后再

8、求解；例 1： 解不等式x1x25；x1和x2；2和1把实数集合分分析 : 由x10,x20,得成三个区间,即x2,2x1,x1,按这三个区间可去确定值,故可按这三个区间争论；25,解得：3x2解: 当 x-2 时,得xxx21当-2 x 1 时,得2x1,5,解得：2x1x1x2当x1时,得x1,x25.,解得：1x2x1综上,原不等式的解集为x3x2；例 2：解不等式 |2x4|3x9|2 时,原不等式可化为 x2,2x4 3x92.当 3x2 时,原不等式可化为3 x2,2x4 3x91,解得6 5x2.当 x3 时,原不等式可化为 x3,2x4 3x91,解得 x12.名师归纳总结 -

9、 - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上所述,原不等式的解集为x|x6 5其次讲 证明不等式的基本方法 一 比较法 比较法主要有 1.作差比较法 2.作商比较法 1作差比较法 简称比差法 1作差比较法的证明依据是： ab. ab0；ab. ab0；ab. ab0 时,a b1. ab；a b1. ab；a b1. ab 时,肯定要留意 b0 这个前提条件假设 b0,bb,a b1. ab,a b1. a a1 2；1 n2 nn11nN*；1 n n2n1；当 ab0,m0 时,baambm等第三讲 柯西不等式与排序不等式1二维形式

10、的柯西不等式假设 a,b,c,d 都是实数,就 a2b2c2d2acbd2,当且仅当 adbc 时,等号成立2柯西不等式的向量形式设 , 是两个向量, 就|,当且仅当 是零向量, 或存在实数 k,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 使 k 时,等号成立3二维形式的三角不等式设 x1,y1,x2,y2R,那么x21y21x22y22x1x22y1y22. 留意：1二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理 1 是柯西不等式的代数形式, 定理 2 是柯西不等式的向量形式, 定理 3 是柯西不等式的三角形式依据向量的意义及其坐

11、标表示不难发觉二维形式的柯西不等式及二维形式 的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示2懂得并记忆三种形式取 “ ” 的条件 adbc 时取等号1代数形式中当且仅当2向量形式中当存在实数k,k 或 0 时取等号3三角形式中当 P1,P2,O 三点共线且 P1, P2在原点 O 两旁时取等号3把握二维柯西不等式的常用变式1 a2b2c2d2 |ac bd|. 2 a2b2c2d2|ac| |bd|. 3 a2b2c2d2 acbd. 4abcd acbd2. 4基本不等式与二维柯西不等式的比照1基本不等式是两个正数之间形成的不等关系二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系,从这个意

12、义上讲,二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式2基本不等式具有放缩功能,利用它可以比较大小,证明不等式,当和 积为定值时,可求积 或和 的最值,同样二维形式的柯西不等式也有这些功能,或利用二维形式的柯西不等式求某些特别函数的最值特别有效二 一般形式的柯西不等式1三维形式的柯西不等式设 a1,a2,a3,b1,b2, b3 是实数,就 a21a22a23b21b22b23a1b1a2b2a3b32,当且仅当 bi0i1,2,3或存在一个数 k,使得 aikbii1,2,3时,等号成立2一般形式的柯西不等式设 a1,a2,a3, , an,b1,b2,b3, , bn 是实数,就 a21a22

13、 a2nb21b22 b 2n a1b1a2b2 anbn 2,当且仅当 bi0i1,2, , n或存在一个数 k,使得 aikbii1,2, , n时,等号成立留意：1对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广, 其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2关于柯西不等式的证明：fx0 时对于函数fxa1xb12a2x b22 anxbn2,明

14、显xR 恒成立,即 fxa21a22 a2nx22a1b1a2b2 anbnxb21b22 b2n0 对 x R 恒成立, 4a1b1a2b2 anbn24a21a22 a2nb21 b22 b2n 0,除以 4 得a21a22 a2n b21b22 b2n a1b1a2b2 anbn2. 3一般形式柯西不等式成立的条件：由柯西不等式的证明过程可知 0. fxmin0. a1xb1a2x b2 anxbn0. b1b2 bn0,或a1 b1a2 b2 an bn. 4柯西不等式的几种常见变形：1设 a21a22 a2nb21b22 b2n1,就 1a1b1a2b2 anbn1；2设 aiRi1

15、,2,3, , n,就a1a2 an na21 a22 a2n n；3设 aiR,bi0i1,2,3, ,n,就a21 b1a22 b2 a2n bn a1a2 an 2；4设 aibi0i1,2,3, , n,就a1 b1a2 b2 an bna1b1a2b2 anbn. a1a2 an2三 排序不等式1乱序和、反序和、次序和 设 a1a2 an,b1b2 bn 为两组实数,c1,c2, ,cn为 b1,b2, ,bn 的任一排列,称 a1c1a2c2a3c3 ancn 为乱序和, a1bna2bn1a3bn2 anb1 为反序和, a1b1a2b2a3b3 anbn 为次序和2排序不等式

16、又称排序原理 设 a1a2 an,b1b2 bn 为两组实数,c1,c2, ,cn是 b1,b2, ,a1bna2bn1 anb1a1c1a2c2 ancna1b1a2b2 bn 的任一排列,那么 anbn,当且仅当 a1a2 an 或 b1b2 bn 时,反序和等于次序和3排序原理的简记 反序和乱序和次序和第四讲 用数学归纳法证明不等式一 数学归纳法1数学归纳法的定义 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的全部正整数 n 都成立 时,可以用以下两个步骤：1证明当 nn0时命题成立2假设当 n kk N且 kn0时命题成立,证明当 nk1 时命题也成立在完成了这两个步骤后,就可以确

17、定命题对于不小于n0的全部正整数都成名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立,这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的适用范畴 适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题3数学归纳法的步骤 1归纳奠基 验证当 nn0n0 为命题成立的起始自然数 时命题成立；2归纳递推 假设当 nkkN,且 kn0时命题成立,推导 nk1 时命题也成立3结论：由 12可知,命题对一切 nn0 的自然数都成立留意：用数学归纳法证明,关键在于两个步骤要做到“ 递推基础不行少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉” ,因此必需留意以下三点：1验证是基

18、础数学归纳法的原理说明：第一个步骤是要找一个数 个 n0 就是我们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不肯定就是n0,这“ 1”,因此“ 找准起点,奠基要稳” 是正确运用数学归纳法要留意的第一个问题2递推是关键数学归纳法的实质在于递推, 所以从 “ k”到“k1” 的过程,必需把归纳假设“nk” 时命题成立作为条件来导出“nk1” 时命题成立,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次,没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法3正确寻求递推关系数学归纳法的其次步递推是至关重要的,那么如何 查找递推关系呢？在第一步验证时,不妨多运算几项,并正确写出来,这样对发觉递推关系是有帮忙的；探求数列的通项

19、公式时,要善于观看式子或命题的变化规律,观看n 处在哪个位置；在书写fk1时,肯定要把包含fk的式子写出来,特别是 都要分析清晰fk中的最终一项除此之外,多了哪些项,少了哪些项 二 用数学归纳法证明不等式举例1数学归纳法证明不等式 1用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤证明：当 n 取第一个值 n0时结论成立；假设当 nkkN,且 kn0时结论成立,证明当 nk1 时结论也成 立由可知命题对从n0开头的全部正整数n 都成立,即假设2用数学归纳法证明不等式的重点同时也是难点所在用数学归纳法证明不等式的重点在其次步fkgk成立,证明 fk1gk1成立2贝努利不等式 1定义：假如 x 是实

20、数,且 x1,x 0,n 为大于 1 的自然数,那么有 1xn1nx2作用：在数学争论中常常用贝努利不等式把二项式的乘方 1xn缩小为 简洁的 1nx 的形式,这在数值估量和放缩法证明不等式中有重要应用例如：x n 当 x 是实数,且 x1,x 0 时,由贝努利不等式不难得到不等式 11x 1nx 1x对一切不小于 2 的正整数 n 成立3贝努利不等式的一般形式名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1当 是实数,并且满意 2当 是实数,并且满意1 或 1；013归纳 猜想证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方

21、法,常常表达在“ 归纳猜想 证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是,要用不完全归纳法去发觉某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性,形成“ 观看 归纳 猜想 证明” 的思想方法1关于用数学归纳法证明不等式的四点留意 1在从 nk 到 nk1 的过程中,应分析清晰不等式两端 一般是左端 项 数的变化,也就是要认清不等式的结构特点2瞄准当 nk1 时的递推目标, 从中别离出 nk 时的相应式子, 借助不 等式性质用上归纳假设3明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的,分析法、比较法、综合法等方法进行证明然后通过运用放缩法、4有些不等式先用分析法转化为另一个较为简洁的不等式然后再用数学归 纳法证明2关于贝努利不等式 11xn1nx 成立的两个条件： nN且 n2；x 的取值范畴是 x1 且 x 0. 于是有命题：当 nN且 n2 时不等式 1xn1nx 对一切 x1,0 0, 恒成立2常用特例：当 x1 且 x 0 时, 1x212x；当 x1 且 x 0 时, 1x313x. 3重要结论 1当 n5 时, n22n. 2当 nN时, |sin n|n|sin |. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页