2022年高中数学不等式典型例题解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质 ：（如1同向不等式可以相加； 异向不等式可以相减 ：如a bc d,就 a c b dab cd ,就 acbd ）,但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式可以相除 ,但不能相乘：如 a b 0, c d 0,就 ac bd （如 a b 0,0 c d ,就a b）；c dn n3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如 a b 0,就 a b 或n a n b ；4如 ab 0, a b ,

2、就1 1；如 ab 0, a b ,就1 1；如a b a b（1）对于实数 a , b , c 中,给出以下命题：2 2 2 2 如 a b , 就 ac bc； 如 ac bc , 就 a b； 如 a b ,0 就 a 2ab b 2； 如 a b 0 就 1 1；a bb a 如 a b 0 , 就； 如 a b 0 , 就 a b；a b 如 c a b ,0 就 a b； 如 a b , 1 1,就 a 0, b 0；c a c b a b其中正确的命题是 _ （答：）；（2）已知 1 x y 1,1 x y 3,就 3x y 的取值范畴是 _ （答： 1 3 x y 7）；（3）

3、已知 a b c,且 a b c ,0 就 c 的取值范畴是 _ a（答：2, 1）2二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；名师归纳总结 7查找中间量或放缩法；如第 1 页,共 5 页8图象法；其中比较法（作差、作商）是最基本的方法；（1）设a0 且a,1t0,比较1loga和logat21的大小2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1（答：当学习必备t2欢迎下载1时取等号） ；当 0a1时,a1时,1

4、2logatloga1（tlogatlogat21（t1 时取等号）；a24a2,试比较p,q的大小22（2）设a2,paa12,q（答： pq ）；（3）比较 1+ log x 3 与 2 log x 2 x 0 且 x 1 的大小（答：当 0 x 1 或 x 4时,1+ log x 3 2log x 2；当 1 x 4时,1+ log x 33 32log x 2；当 x 4 时, 1+ log x 3 2log x 2）3三利用重要不等式求函数最值 时,你是否留意到：“ 一正二定三相等,和定积最大,积定和最小 ” 这 17 字方针； 如（1）以下命题中正确选项A、yx1的最小值是 2 （

5、答： C）；xB、yx23的最小值是 2 x22C、y23x4x0的最大值是 24 3xD、y23 x4x0的最小值是 24 3x（2）如x2y1,就 2x4y 的最小值是 _ （答： 2 2 ）；（3）正数 x y满意 x 2 y 1,就 1 1 的最小值为 _ x y（答： 3 2 2 ）；2 24. 常用不等式 有：（1）a b a b ab 2 依据目标不等式左右2 2 1 1a b2 2 2的运算结构选用 ；（2）a、b、c R,a b c ab bc ca（当且仅当 a b c时,取等号）；（3）如 a b 0, m 0,就b b m（糖水的浓度问题） ；如a a m假如正数 a

6、、 b 满意 ab a b 3,就 ab 的取值范畴是 _ （答： 9,）五证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法 比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、 配方、通分等手段变形判定符号或与 1 的大小,然后作出结论； . 名师归纳总结 常用的放缩技巧有：1n1111111n111第 2 页,共 5 页nn nn2n nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k1kk1k学习必备欢迎下载kkk11112kk1la g如（ 1）已知abc,求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2；证：2 已知a,b ,cR,求证：a2b2b2c2c2a2abc

7、abc；（3）已知a b x yR ,且1 a1 , x by,求证：xxayyb；4如a、b 、c是不全相等的正数,求2blb g2cl2c gaablc ；lglg（5）已知a,b,cR,求证：2 a b22 b c22 c a2abc abc ；6 如n* N ,求证：n2 11 n1n21n ；7 已知 |a| |b ,求证：|a|b|a|b|；|ab|ab|（8）求证：1 1 2 1 2 2 3 六简洁的一元高次不等式的解法1 2 2；n：标根法：其步骤是：（1）分解成如干个一次因式的积, 并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上, 从最大根的右上方依

8、次通过每一点画曲线；并留意 奇穿过偶弹回 ；（3）依据曲线显现 f x 的符号变化规律,写出不等式的解集；如2（1）解不等式 x 1 x 2 0；（答： x x 1 或 x 2）；（2）不等式 x 2 x 22 x 3 0 的解集是 _ （答： x x 3 或 x 1）；（3）设函数 f x 、 g x 的定义域都是 R,且 f 0 的解集为 x |1 x 2,g x 0 的解集为,就不等式 f x g x 0 的解集为 _ （答： ,1 2, ）；2（4）要使满意关于 x 的不等式 2 x 9 x a 0（解集非空） 的每一个 x 的值至少满意不等式 x 2 4 x 3 0 和 x 2 6

9、x 8 0 中的一个,就实数 a 的取值范畴是_. （答：七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正7, 81）80,再通,最终用标根法求解； 解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母； 如名师归纳总结 （1）解不等式x252x31的 解 集 为 ,1（答： 1,12,3 ）；第 3 页,共 5 页x（ 2） 关 于 x 的 不 等 式axb0, 就 关 于 x 的 不 等 式axb0的解集为 _ x2（答：,1 2 ,）.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

10、- - 八肯定值不等式的解法：学习必备欢迎下载1分段争论法（ 最终结果应取各段的并集）： 如解不等式 | 2 3x | 2 | x 1 |4 2（答： x R）；（2）利用肯定值的定义；（3）数形结合； 如解不等式 | x | | x 1| 3（答： , 1 2, ）（4）两边平方： 如如不等式 | 3 x 2 | | 2 x a 对 x R恒成立,就实数 a 的取值范畴为 _；（答： 4）3九含参不等式的解法 ：求解的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键” 留意解完之后要写上： “ 综上,原不等式的解集是 ”；留意 ：按参数争论, 最终应按参数取值分别说明其解集；并集 .

11、 如但如按未知数争论, 最终应求或x（1）如loga21,就 a 的取值范畴是 _ x03（答：a1或0a12）；R 3（2）解不等式x aax2ax（答：a0时,x|x0；a0时,x x1或x0；a0时,x|1aa0）（2）提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如 关于 x 的不等式axb0的解集为1,就不等式x2 b0的解集为ax_（答：（ 1,2）|a|b| |ab ；2|a| 1十一含肯定值不等式的性质：a、 同号或有 0|ab| |a|b| f a |a、 异号或有 0|ab| |a|b|

12、a|b| |ab . 如设f x x2x13,实数 a 满意 |xa| 1,求证：|f十二不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特点,利用数形结合法）1. 恒成立问题如不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 f x min A如不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 f x max B如（ 1） 设实数 ,x y 满意 x 2 y 1 21,当 x y c 0 时, c 的取值范畴是_ 名师归纳总结 （答：21,）

13、；第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）不等式x4x3a学习必备欢迎下载对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范畴 _ （3）如不等式2x1m x21对满意m2（答：a1）；的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 _ （答：（7 1, 3 1）；2 2n 1（4）如不等式 1 na 2 1 对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取n值范畴是 _ （答： 2, 3）；2（5）如不等式 x 22 mx 2 m 1 0 对 0 x 1 的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 . （答：m 1）22. 能成立问题如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A 成立 , 就等价于在区间 D 上f x max A ；如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x B 成立 , 就等价于在区间 D 上的f x min B . 如已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴 _ 3.恰成立问题A在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fx（答：a1）如不等式fxA的解集为D ；BfxB的解集为在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式如不等式fxD . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页