2022年高中数学重要知识点详细总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高 考 复 习 科 目 ： 数 学 复习内容：高中数学第一章-集合复习范畴：第一章高 中 数 学 总 复 习 一 I. 基础学问要点1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 . 2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集,记为AA；空集是任何集合的子集,记为A ；空集是任何非空集合的真子集；假如 A B,同时 B A,那么 A = B.假如 A B,B C,那么 A C . 注 ： Z= 整数 （）Z =全体整数 （ ）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,就集合 A 也是有限集 .（ ）（例： S=N； A=N,就 CsA= 0）空集

2、的补集是全集 . 如集合 A=集合 B,就 CBA=,CAB = CS（CAB）=D（注：CAB =）. 3. （x,y）| xy =0,x R,y R坐标轴上的点集 . （x,y） | xy 0, xR,y R二、四象限的点集. 2 n2 个. （x,y） | xy 0, xR,y R 一、三象限的点集. 注 ：对方程组解的集合应是点集. 例：xxyy31解的集合 2, 1. 23点集与数集的交集是. （例： A =x, y| y =x+1 B=y| y =x2+1 就 A B =）4. n 个元素的子集有2 n 个 . n 个元素的真子集有2n 1 个. n 个元素的非空真子集有5. 一个

3、命题的否命题为真,它的逆命题肯定为真. 否命题逆命题 . 一个命题为真,就它的逆否命题肯定为真. 原命题逆否命题 . 例：如ab5,就a2或b3应是真命题 . 解：逆否： a = 2 且 b = 3,就 a+b = 5,成立,所以此命题为真. x1 且y2,xy3. 解：逆否： x + y =3x = 1 或 y = 2. x1 且y2xy3,故xy3是x1 且y2的既不是充分,又不是必要条件. 小范畴推出大范畴；大范畴推不出小范畴. 例：如x5,x5或x2. II. 竞赛学问要点1. 集合的运算 . 名师归纳总结 A（BC）（AB）（ABC）A（AB）CA（BC）第 1 页,共 43 页（）

4、（ABC）（ABAC）AB）CA（BC）A（AB）A,A（A）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - De Morgan 公式CuA CuB = Cu（A B）CuA CuB =Cu（A B）2. 容斥原理：对任意集合AB 有ABABAAB. C. ABCABCABACBCB高 考 复 习 科 目 ： 数 学 复习内容：高中数学其次章-函数复习范畴：其次章高 中 数 学 总 复 习 二 I. 基础学问要点1. 函数的三要素：定义域,值域,对应法就 . 2. 函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分 . 对于详细的函数来说可能有单调区间,也可能没

5、有单调区间,假如函数在区间（0,1）上为减函数,在区间（1, 2）上为减函数,就不能说函数在（0,）（1,）上为减函数 . 3. 反函数定义：只有满意 x 唯独 y,函数 y f x 才有反函数 . 例：y x 2 无反函数 . 函数 y f x 的反函数记为 x f 1 y ,习惯上记为 y f 1 x . 在同一坐标系,函数 y f x 与它的反函数y f 1 x 的图象关于 y x 对称 . 注 ：一般地,f 1x 3 fx 3 的反函数 . f 1x 3 是先 fx 的反函数,在左移三个单位 . fx 3 是先左移三个单位,在 fx 的反函数 . 4. 单调函数必有反函数,但并非反函数

6、存在时肯定是单调的 .因此,全部偶函数不存在反函数 . 假如一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数 . 设函数 y = f（ x）定义域,值域分别为 X、 Y. 假如 y = f（ x）在 X上是增（减）函数,那么反函数 y f 1 x 在 Y上肯定是增（减）函数,即互为反函数的两个函数增减性相同 . 一般地,假如函数 y f x 有反函数,且 f a b,那么 f 1 b a . 这就是说点（a, b）在函数 y f x 图象上,那么点（b, a）在函数 y f 1 x 的图象上 . 5. 指数函数：y a x（a 0 a 1）,定义域 R,值域为（,0） . y=ax 0a1

7、 yy=ax a 1当 a 1,指数函数：y a x在定义域上为增函数；1xOlogaNb当0a1,指数函数：yax在定义域上为减函数. 当a1时,yax的 a 值越大,越靠近y 轴；当0a1时,就相反 . 6. 对数函数： 假如 a （a0 a1）的 b次幂等于 N ,就是abN,数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对数, 记作（a,0 a1,负数和零没有对数） ；其中 a 叫底数, N 叫真数 . 对数运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - logaMNlogaMlogaN1 logaMlogaMlogaN,故

8、取“ ”. NlogaMnnlogaM12loganM1logaMnalogaNN换底公式：logaNlogbNlogba推论：logablogbclogca1loga 1a2loga 2a 3.logan1a nloga1an（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a 1,a2.an0且1）注：当a, b0时,logab logalogb. ：当M0时,取“+” ,当 n 是偶数时且M0时,Mn0,而M0例如：logax22logax2logax中 x0 而log x a2中 x R） . yax（a0 a1）与ylogax互为反函数 . 当a1时,ylogax的 a 值越大,

9、越靠近x 轴；当0a1时,就相反 . 7. 奇函数,偶函数：偶函数：fxfx a,b）也是图象上一点. 设（a,b）为偶函数上一点,就（偶函数的判定：两个条件同时满意定义域肯定要关于y轴对称,例如：yx21在,11上不是偶函数 . . 满意fxfx ,或fxfx 0,如f x 0时,ffx1x 奇函数：fxfxb）也是图象上一点. 设（a,b）为奇函数上一点,就（a,奇函数的判定：两个条件同时满意定义域肯定要关于原点对称,例如：yx3在,11上不是奇函数 . 1. 满意fxfx,或fxfx0,如fx0时,ffx x8. 对称变换： y = f（x）y 轴对称yf（x）y =f（ x）x 轴对称

10、yf（x）y =f（ x）原点对称yf（x）9. 判定函数单调性（定义）作差法：对带根号的肯定要分子有理化,例如：名师归纳总结 fx 1fx2x2 1b2x2 2b2（x 1x2）x 12 x 1x22B,就集合 A 与集合 B 之间的关系是. x2 xb2b在进行争论 . 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数 f（ x）= 1+x 的定义域为1 xx 的定义域 B ,A,函数 ff（ x）的定义域是解：f x B 的值域是 Afffx的值域R ,故BR,而 Ax| x1,故BA. 第 3 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

11、 - - 11. 常用变换：fxyyfxfy ffxyyxfx. yfxyfyfyfy 证：fxfxfy yfx fx yfxxfyfxfxfx y证：fx fyfy y12. 熟识常用函数图象：例：yy|2 x | x 关于 y 轴对称 .yy1|x|2y1|x|y1|x|2222y|2xxx-2,1yx0,12x21| y 关于 x 轴对称 . yx熟识分式图象：y名师归纳总结 例：y2x12x73定义域x|x,3xR ,2xm0 （n,kN*,nk0）第 4 页,共 43 页x33值域y|y,2yR 值域x前的系数之比 .定义mqn 3. 数 列学问要点等差数列等比数列an 1andan

12、n1qq0a递推公式anan1d；anamnmdanan1q；a na通项公式ana1n1 dana 1qn1（a1q0）k中项Aa nk2ankGankankankan（n ,kN*,nk0）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 前 n 项和S nna 1na n1dSnna1qq1a1anqq2 2a11n nSnna 11q1q2重要性质amnanpapaqm,n,p,qN*,amanapaqm ,n ,p,qN*,mnpq mq1. 等差、等比数列：看数列是不是等差数列有以下三种方法：anan11dn2,d为常数2ananan1n2 anknbn,

13、k为常数 . 看数列是不是等比数列有以下四种方法：名师归纳总结 anan1qn,2q 为常数,且0 如 da2 na n1an1n2,anan1an10注： i. bac,是 a、b、c 成等比的双非条件,即baca、b、c 等比数列 . ii. bac（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. bac为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. bac且ac0为 a、b、c 等比数列的充要. 留意：任意两数a、c 不肯定有等比中项,除非有ac 0,就等比中项肯定有两个. ancqnc,q为非零常数 . 正数列 a 成等比的充要条件是数列logxan（x1）成等比数列 . 数

14、列 a 的前 n 项和S n与通项a 的关系：nans 1a1nn12 snsn1注 ： a na1n1dnda1d（ d 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）不为 0,就是等差数列充分条件）. d 为零,等差 an前 n 项和S nAn2Bndn2a1dnd 可以为零也可不为零为等差的充要条件如 222就是等差数列的充分条件；如d 不为零,就是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.（不是非零,即不行能有等比数列）2. 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2 倍S k,S2kS k,S3 kS2k.；如等差数列的项数为2nnN

15、,就S偶S奇nd,SS奇an1；偶an第 5 页,共 43 页如等差数列的项数为2 n1nN,就S2n12n1an,且S奇S偶an,S 奇nn1S偶- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入n到2n1 得到所求项数. n n 13. 常用公式： 1+2+3 +n =2 1 22 23 2n 2 n n 1 2 n 162 1 32 33 3n 3 n n 12注 ：熟识常用通项：9, 99,999,a n 10 n1； 5,55,555,a n 5 10 n1 . 94. 等比数列的前 n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题 . 例如, 第

16、一年产量为 a ,年增长率为 r ,就每年的产量成等比数列,公比为 1 r . 其中第 n 年产量为 a 1 r n 1,且过 n 年后总产量为：a a 1 r a 1 r 2 . a 1 r n 1 a a 1 r n .1 1 r 银行部门中按复利运算问题 . 例如： 一年中每月初到银行存 a元,利息为r,每月利息按复利运算,就每月的 a 元过 n个月后便成为 a 1 r n元. 因此,其次年年初可存款：12 11 10 a 1 r 1 1 r 12 a 1 r a 1 r a 1 r . a 1 r = . 1 1 r 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为 a 元； m 为 m 个月将

17、款全部付清；r为年利率 . m mm m 1 m 2 m x 1 r 1 ar 1 ra 1 r x 1 r x 1 r . x 1 r x a 1 rr x1 r m15. 数列常见的几种形式：名师归纳总结 an2pan1qan（ p、q 为二阶常数）用特证根方法求解. 2 如x11x2可 设具 体 步 骤 ： 写 出 特 征 方 程x2Pxq（x2对 应an2, x 对 应an1）, 并 设 二 根x 1, xan .c1xn 1c2xn,如x1x2可设an c1c2n xn 1；由初始值a1,a2确定c1,c2. n2Panqan的2anPan1r（P、r 为常数）用转化等差, 等比数列

18、；逐项选代；消去常数n 转化为a形式,再用特点根方法求an；anc 1c2Pn1（公式法）,c1,c2由a1,a2确定 . 转化等差,等比：an1xP anx an1PanPxxxPr1. 选代法：anPan1rPPan2rrana1Pr 1Pn1Pr1a 1xPn1xPn1a1Pn2rPrr. 用特点方程求解：an1Panr相减,an1anPanPan1an1（P1）anPan1. anPan1r第 6 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由选代法推导结果：c 11rP,c2a 1r1,anc2Pn1c 1（a1Pr1）Pn11rP.

19、P6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn,在d0时,有最大值 . 如何确定使S 取最大值时的 nn值,有两种方法：n项和的推倒一是求使an,0an10,成立的 n 值；二是由Sndn2a 1dn利用二次函数的性质求n 的值 . 22假如数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n项和可依照等比数列前导方法：错位相减求和. 例如：113,1,.2n11,.242n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差d ,1d2的最小公倍数 . 高 考 复 习 科 目 ： 数 学 复习内容：高中数学第四

20、章-三角函数复习范畴：第四章高 中 数 学 总 复 习 （ 四 ）I. 基础学问要点1. 与（ 0 360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合） ：|k360,kZx 终边在 x 轴上的角的集合：|k180,kZZ43y21sinxsinx 终边在 y 轴上的角的集合：|k18090,kZcosxcosxsinxsinxcosxcosx 终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ14 终边在 y=x 轴上的角的集合：|k18045,k32SIN COS三角函数值大小关系图 终边在 y x 轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 如角

21、 与角 的终边关于 x 轴对称,就角 与角 的关系：360 k 如角 与角 的终边关于 y 轴对称,就角 与角 的关系：360 k 180 如角 与角 的终边在一条直线上,就角 与角 的关系：180 k 角 与角 的终边相互垂直,就角 与角 的关系：360 k 902. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1 =0.01745 1=57.30 =57 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零 . 3. 三角函数的定义域：名师归纳总结 三角函数sinxx|x定义域kR1,kZ第 7 页,共 43 页fxx |xfxcosxx |xRfxtanxR 且x2- -

22、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxcot xx|xR 且xk,kZfxsecxx|xxR 且xxkk1,kZ2fxcscxx|R 且,kZ4. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组一sinxsin 2x+cos 2x=1公式组二xsinx公式组三x sinxsinxcscx=1tanx=sin2 ksincosxcos 2 kx cosxcosx cosxxcosxsecx =1x=cosx1+tan 2 x =sec 2xtan2 kx tanxtanx tansinxtanxcotx=1cot2 kx cotxcotx cotx 1+cot 2x=cs

23、c 2x公式组四公式组五公式组六s i n xsinx sinxs i n xs i n xs i n xcosx cosxc o s xc o sc o s xc o stanx tanxt a n xt a n xt a n xt a n xcotx cotxc o t xc o t xc o t xc o t x（二）角与角之间的互换名师归纳总结 公式组一sinsin公式组二2c o s 2112s i n 2第 8 页,共 43 页coscoscossi n 22s i nc o scoscoscossinsinc o s 2c o s 2s i n 2t a n 212t ansin

24、sincoscossin2 t a nsinsincoscossins i n 21c o s2sin1costantantancos21cos1tantan2tantantantan21cos11tantan公式组四sin1coscossin公式组三公式组五1sinsinsincoscos1 22sin12tan22cossin1sinsintan22sin1 2coscoscos1coscos2cos1tan22tan1 2cotsinsin1coscos21tan2sinsincos1 2sin2sin2cos22tan2tan2sinsin2cos2sin2cottan1 2cosco

25、s2cos2cos2cossin1 21tan22coscos2sin2sin2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin15cos75642,sin75cos15642,tan 15cot7523,tan75cot1523. 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：名师归纳总结 ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、 0）定义域R R x|xR 且xk1,kZx|xR 且xk,kZR 2值域,11,11R R A,A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0 非奇非偶当0 奇函数22k,2k1,；2k,2kkZ）k, k1

26、）上 为 减 函2k2A,A数（kZ2 k22k上 为 增 函 数上为增函数（2k12k,上为增函数；22k1上为减函数单调性22k,（kZ）上为增函数；32 k2k2A ,2上 为 减 函 数2k3A（kZ）2上为减函数（kZ）留意：ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地,如yfx在a,b 上递增（减）,就yfx在a ,b上递减（增） . ysinx与ycosx的周期是. yysinx或ycos x（0）的周期T2. xytan x 2的周期为 2（TT2,如图,翻折无效）.Oysinx的对称轴方程是xk2（kZ）,对称中心 （k, 0）；y

27、cosx的对称轴方程是xk（kZ）,对称中心（k1, 0）；ytanx的对称中心（k, 0） . 22第 9 页,共 43 页ycos2x原点对称ycos2x cos2x 当 tantan,1k2 kZ； tantan,1k2kZ. ycosx与ysinx22k是同一函数 ,而y x是偶函数,就yxsinxk1cosx . 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数ytanx在 R 上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,ytanx为增函数,同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是fx具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个

28、条件：一是定义域关于原点对称（奇偶x都要）,二是满意奇偶性条件,偶函数：fxfx,奇函数：fx fx ）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：ytanx是奇函数,ytanx1是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）3奇函数特有性质：如0x的定义域,就f x 肯定有f00.（0x的定义域,就无此性质）ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（ T）；yyx1/2ycosx是周期函数（如图） ；ycosx为周期函数（ T）；y=cos|x|图象ycos x1的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：y=|cos2x+1/2| 图象2yfx 5fxk,kR. yacosbsina2b2sincosb有a2b2y. aII. 竞赛学问要点一、反三角函数 . 1. 反三角函数：反正弦函数 y arcsin x 是奇函数,故 arcsin x arcsin x,x 1,1（肯定要注明定义域,如 x ,没有 x与 y 一一对应,故 y sin