2022年平面解析几何初步典型例题整理后.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面解析几何初步 7.1 直线和圆的方程经典例题导讲例 1 直线 l 经过 P（2,3 ）, 且在 x,y 轴上的截距相等 , 试求该直线方程 . 解：在原解的基础上 , 再补充这样的过程 : 当直线过 0,0 时 , 此时斜率为 : k 3 0 3, 2 0 2直线方程为 y= 3 x 2综上可得 : 所求直线方程为 x+y-5=0 或 y= 3 x . 2例 2 已知动点 P到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A1,3 的距离的平方 , 求动点 P的轨迹方程 . 解：接前面的过程 , 方程化为 x-5 2 2+y-32

2、= 21 4 , 方程化为 x+1 2 2+y-32 = - 3 4 ,由于两个平方数之和不行能为负数, 故所求动点P的轨迹方程为 : x-5 2 2+y-32 = 21 4 x 0 例 3m是什么数时,关于x,y 的方程（ 2m 2+m-1）x2+（m 2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？解： 欲使方程 Ax2+Cy 2+F=0 表示一个圆,只要A=C 0,得 2m 2+m-1=m 2-m+2,即 m 2+2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3 ,1 当 m=1时,方程为2x2+2y 2=-3 不合题意,舍去. . 2 当 m=-3 时,方程为14x2+14y2=1, 即 x2+

3、y2=1 14 , 原方程的图形表示圆例 4自点 A-3 ,3 发出的光线 L 射到 x 轴上,被x 2+y 2-4x-4y+7 0 相切,求光线 L 所在的直线方程 . x 轴反射,其反射光线所在直线与圆解：设反射光线为 L, 由于 L 和 L 关于 x 轴对称, L 过点 A-3 ,3 ,点 A关于 x 轴的对称点 A-3 ,-3 ,于是 L 过 A-3 ,-3. 设 L 的斜率为 k,就 L 的方程为 y-3kx-3,即 kx-y+3k-3 0,已知圆方程即 x-2 2+y-2 2 1,圆心 O的坐标为 2 , 2 ,半径 r 1 因 L 和已知圆相切,就 O到 L 的距离等于半径 r

4、1 2 k 2 3 k 3 5 k 51即 k 2 1 k 2 1整理得 12k 2-25k+12 0 解得 k4 或 k33 4L 的方程为 y+34 x+3; 或 y+33 x+3 ；3 4即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0 因 L 和 L 关于 x 轴对称故 L 的方程为 4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 例 5求过直线x2y40和圆x2y22x4y10的交点, 且满意以下条件之一的圆的方程：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1） 过原点；（2）有最小面积 . 解： 设

5、所求圆的方程是：x2y22x4y1x2y402pxp0即：x2y22x22y140（1）由于圆过原点,所以124y20,即7y1. 4故所求圆的方程为：7 4xx02（2）将圆系方程化为标准式,有：x222y225224455当其半径最小时,圆的面积最小,此时2为所求 . 5故满意条件的圆的方程是x42y824. 555例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 Ax 1, y1 ,Bx2, y2（x 1x2 0）是抛物线y2上的两个动点, O是坐标原点,向量OA,OB满意OAOBOAOB . 设圆 C的OB）2,方程为x2y2x 1x2xy1y2y0（1）证明线段AB是圆 C的直径；（2）当圆 C

6、的圆心到直线x2y0的距离的最小值为255时,求 p 的值 . 解：（1）证明OAOBOAOB,（OAOB）2（OA整理得：OAOB0 x 1x2y 1y20 设 M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点,就MAMB0 即xx1xx2yy 1yy20 整理得：x2y2x 1x2xy1y2y0故线段 AB是圆 C的直径 . 名师归纳总结 （2）设圆 C的圆心为 C（x,y）,就第 2 页,共 9 页xx 12x2yy 12y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 122 px 1,y 222px2p0学习必备欢迎下载x 1x 2y 12y22y22

7、2y1y21y 1y24p2又x 1x2y 1y20 ,x 1x2y1y2y 1y2y 12y224 p2x 1x2 0,y1y2 0 y 1y2 4p2xx 12x21y12y221y124p4p4p1y22p2p2p2|p所以圆心的轨迹方程为y2px2p2设圆心 C到直线x2y0的距离为,就|x2y|1y22p22y|yp555p当 y p 时,有最小值p ,由题设得 5p 5255 p 2. 圆锥曲线经典例题导讲名师归纳总结 例 1 设双曲线的渐近线为：y3x,求其离心率 . x 轴上的,当焦点的位置在y第 3 页,共 9 页2解： 由双曲线的渐近线为y3x是不能确定焦点的位置在2轴上时

8、,b2,故此题应有两解,即：a3ec1b213或13 . 3aa22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 设点 Px,y在椭圆4x2y学习必备欢迎下载的最大、最小值. 24上,求xy名师归纳总结 剖析： 此题中x、y 除了分别满意以上条件外,仍受制约条件4x2y24的约束 . 当 x=1第 4 页,共 9 页时,y 此时取不到最大值2, 故 x+y 的最大值不为3. 其实此题只需令xcos,y2sin,就xycos2sin5sin,故其最大值为5 ,最小值为5 . 例 3 已知双曲线的右准线为x4,右焦点F 10,0, 离心率e2, 求双曲线方程

9、. 解法一：设Px,y 为双曲线上任意一点, 由于双曲线的右准线为x4,右焦点F 10,0 ,离心率e2,由双曲线的定义知x|10 2|y22 .整理得x22y21.x41648解法二：依题意,设双曲线的中心为m 0, 就a2m4解得a4, 所以b2c2a2641648,ccm10c8c2.m2.a故所求双曲线方程为x22y21.1648例 4设椭圆的中心是坐标原点,长轴x 在轴上,离心率e3,已知点P0 ,3到这个22椭圆上的最远距离是7 ,求这个椭圆的方程. 解： 如b1,就当yb时,d2（从而 d ）有最大值 . 2于是72 b 3 2, 从而解得21 1,此时当 y2 2b7231,

10、与b1冲突. 222所以必有b时,d（从而 d ）有最大值,所以4b2372,解得b2,1a24.于是所求椭圆的方程为x2y21.4例 5 从椭圆x2y21, a b0 上一点 M向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1,a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、B分别是椭圆长、短轴的端点,学习必备欢迎下载QF2AB时,延长 QF2AB OM设 Q是椭圆上任意一点,当与椭圆交于另一点P,如 F1PQ的面积为 203 ,求此时椭圆的方程解： 此题可用待定系数法求解b=c, a =2 c,可设椭圆方程为x2y21A、B 两点,求2c2c2PQAB,

11、kPQ=-1a2,就 PQ的方程为 y=2 x-c,k ABb代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0,依据弦长公式,得PQ652c, 又点 F1 到 PQ的距离 d=26c 3SF 1PQ1PQd453c2 , 由453c2203,得c225,2故所求椭圆方程为x2y215025例 6已知椭圆：x2y21,过左焦点 F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于9弦 AB的长解： a=3,b=1,c=22 ; 就 F（-22 ,0）x 1x232由题意知：l:y1x22与x2y21联立消去 y 得：394x2122x150设 A（x 1y1、B（x2y2,就x1, x2是上面方程的二实根,由违达定理,

12、x 1x215,x Mx 12x2322又由于 A、B、F 都是直线l上的点,24所以 |AB|=11|x 1x 2|2x 1x 224x 1x221815333点评： 也可利用“ 焦半径” 公式运算名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7（06 年全国理科）设学习必备y2欢迎下载1 短轴的一个端点,Q为椭圆上的一P 是椭圆x21 aa2个动点,求 PQ的最大值 . 解： 依题意可设 P（0,1 ）, Q（x, y）,就 PQx 2y 1 2,又由于 Q 在椭圆上,所以,x 2a 21 y 2, PQ2a 2 1 y

13、 2 y 22 y 1 1 a 2 y 22 y 1 a 21 a 2 y1 1a 2 21 1a 2 1 a 2. 由于 | y |1, a 1,如 a 2 ,就 |1 1a 2 |1,当 y1 1a 2 时, PQ取最大值2 2a2 a 1；如 1 a 2 ,就当 y 1 时, PQ取最大值 2. a 1例 8已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F（2,0）作斜率为 3 的直线,交双曲线于5M、N 两点,且 MN =4,求双曲线方程解： 设所求双曲线方程为x2y21 a0 ,b0 ,由右焦点为（ 2,0） 知 C=2,b 2=4- a222ab就双曲线方程为x24y221,设直线 MN的方程

14、为：y3 x 52,代入双曲线方程a2a整理得： 20-8 a2x2+12a2x+5 a4-32 a2=0 设 M（x 1,y 1） ,Nx 2,y 2 ,就x1x 22012a22,x1x25a432a28a208a2MN132x 1x 24 x 1x 25812 a22245 a432a245208 a208 a2解得a21,b2413故所求双曲线方程为：x2y213点、直线和圆锥曲线经典例题导讲名师归纳总结 例 1 求过点0 1, 的直线,使它与抛物线y22x仅有一个交点 . 第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：学习必备欢

15、迎下载0 1, ,所以x0,即 y 轴,当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x 轴,由于过点名师归纳总结 它正好与抛物线y22x相切 . 当所求直线斜率为零时,直线为y = 1平行 x 轴,它正好x 第 7 页,共 9 页与 抛 物 线y22x只 有 一 个 交 点 . 一 般 地 , 设 所 求 的 过 点0 1, 的 直 线 为ykx1k0, 就y2kxx1,y2k2x22k2x10 .令0 解得 k = 1 2 , 所求直线为y1 x 21 .综上,满意条件的直线为：y,1x,0y1x1 .2 例 2 已知曲线 C：y20x2与直线 L：yxm仅有一个公共点,求m的范畴 . 2解：原方程的

16、对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图）,结合图y形易求得 m的范畴为m5 或25m25. 留意：在将方程变形时应时时留意范畴的变化,这样才不会出错. ox 例 3 已知 A、B是圆x2y21与 x 轴的两个交点, CD是垂直于 AB的动弦,直线AC和 DB相交于点P,问是否存在两个定点 E、 F, 使 | | PE | | PF | | 为定值？如存在,求出E、y F 的坐标；如不存在,请说明理由. P 解： 由已知得 A 1, 0 、B 1, 0 , C 设 P x, y , C x0, y0 , 就 D x0,y0, 由 A、C、P 三点共线得xy1xy 01A O D B 0由 D、B、P

17、 三点共线得xy1x0y01 得xy21x 0y02122又x 02y 021, y021x 02,代入得x2y21,即点 P在双曲线x2y21上, 故由双曲线定义知,存在两个定点E 2 , 0 、F 2 , 0 （即此双曲线的焦点） ,使 | | PE | PF | | = 2 即此双曲线的实轴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载长为定值 . 例 4 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆相交于P 和 Q,且 OPOQ, PQ=10 ,求椭圆的方程 2. 2 2解： 设所求椭圆的方程为 x 2 y 2

18、 =1. a b 依题意知,点 P、Q的坐标满意方程组：x2y21a2b2yx1将代入,整理得a2b2x22a2xa21b20,设方程的两个根分别为x 、x ,就直线 y=x+1 和椭圆的交点为Px ,1x +1 ,Qx ,x +1 由题设 OP OQ, OP=10 ,可得 2x 11x2211x 1xx2x 12x 21 x 11 21022整理得x 1x222x 1x210x04 x 116x 1x252解这个方程组,得x 1x 2x213或x 1x2x21144x 1x 122依据根与系数的关系,由式得名师归纳总结 2a23或 2 y22 a211第 8 页,共 9 页 1a2 1b22

19、21a2b22a2ba2 1b2a2b242a2b24解方程组 1 、2 得2 a2或a23 =1. 22 bb223故所求椭圆方程为或x2x2y2=1 ,222233- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例学习必备欢迎下载x 2 y 25 （ 06 年 高 考 湖 南 ） 已 知 椭 圆 C1 ： 1 , 抛 物 线 C2 ：4 32m 2 px p 0 ,且 C1、C2的公共弦 AB 过椭圆 C1的右焦点；（1）当 AB x 轴时,y名师归纳总结 求 m 、 p 的值,并判定抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）如 p 4 ,且抛物线 3C2 的第

20、9 页,共 9 页焦点在直线AB上,求 m 的值及直线AB的方程 . 解：（1）当 AB x 轴时,点 A、B关于 x 轴对称,所以m 0,直线 AB的方程为 x 1,从而点 A的坐标为（ 1,3 ）或（ 1,23 ）,2由于点 A在抛物线上,所以92p, p 9 . 84此时,抛物线C2 的焦点坐标为（9 , 0）,该焦点不在直线 AB上. 16C2 的焦点在直线 AB上时,由（ 1）知直线 AB的斜率存在,设直线AB的方程 2 当抛物线为ykx1 . yk x1由x2y21消去 y 得34k2x28k2x4k212043设 A、B 的坐标分别为（x 1, y1）、（x2, y2）. 就1x ,x 是方程的两根,1x x 38k22. 4k由于 AB既是过 C1的右焦点的弦,又是C2 的焦点的弦,所以 AB（21 x ）（221 x ） 421x1x2,2且AB（x 1p）（x 2p）x 1x2px 1x24. 223从而x 1x2441x 1x232所以x 1x216,即38k221694 k9解得k6. 由于 C2 的焦点 F、（2,m）在直线yk x1 上,所以m1k,33即m63当m6时直线 AB的方程为y6 x1 ；3当m6时直线 AB的方程为y6 x1 . 3- - - - - - -